第三章 空间向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何

第1节 空间向量及其运算

（三）空间向量的运算

1. 掌握空间向量加减法平行四边形或三角形法则

两个向量的加减法有平行四边形法则和三角形法则，其实三角形法则是平行四边形法解析空间向量及其运算 （一）空间向量的概念

1.向量是既有大小又有方向的量。如果把研究范围扩大到空间中就形成了空间向量。 2.数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。

3.过空间任意一点O作向量a ，

b的相等向量OA ,OB ,则 AOB叫做向量a ，

b的夹

角，记作 a , b ，且0 a ,

b 。

（二）空间向量与空间直线、平面

1. l是空间一直线，A,B是直线上任意两

点，则称 AB

是直线l的方向向量。

2. 如果直线l垂直于平面 ，那么直线l的

方向向量

n叫做平面 的法向量。求平面法

向量的一般步骤：

（1）设出平面的法向量

n (x,y,z)；

（2）求出该平面内两个不共线的向量的坐

标a (a

1,b1,c1)b (a2,b2,c2)；

（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的

方程组 n a 0 b 0

；

n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法

向量。

3.在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量平行于该平面。我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量。

则的简化，并不是有两个法则。由平行四边形法则知，向量的加减法运算可由几何作图来完成，因为减去一个向量等于加上其相反向量，所以，向量的减法可以看成向量加法的逆运算。

空间向量的多边形法则是三角形法则的推广，正确灵活运用多边形法则可简化多个向量和与差的代数运算。 2.空间向量的数乘

（1）实数 与a 的乘积 a

仍然是个向量，且与a 平行。实数0与a 的乘积

0仍然是个

向量。

（2）利用向量共线的充要条件可以证明两个向量共线，也即对于空间任意两个向量

a ， b( b

0)只要找到一个实数 ，使得a

b成立即可。

数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。

3.向量的数量积

（1）两个非零向量a ，

b的数量积a b a bcos a ,

b 是一个实数，三个向量a ， b， c的积a b c是一个向量， 0

与任何向量的数量积为0。

（2）a b 0 a

b；

（3）a

（4）cos a , b a

b

ab

（a 0，b 0）。4.共面向量定理

空间中任意向量a

都可用不共线的两个向

量e1，e2唯一线性表示即存在唯一实数 1，

a b

（6）cos a,b

e

2有a 1e1 22，e1，e2称为向量的

一组基底。 （四）空间向量的坐标表示和空间向量基本定理

1.在给定的空间直角坐标系中， i， j，

k分

别为x，y，z轴正方向的单位向量，对空

间任意向量a

，存在唯一一组三元有序实数

（x，y，z）使得a xi yj zk

，把a xi yj zk

叫做向量a 的标准正交分解， i， j，

k叫做a 的标准正交基，（x，y，z）叫做空间向量a 的坐标，记作a =

（x，y，z）。

2.如果向量 e ， e

12，e3是空间三个不共面

的向量那么存在唯一一组实数 1， 2， 3使

得a e

1e1 22 3e3，空间三个不共面的向量 e e

1，e2，3叫做空间的一组基底。 3.设a OA

(x 1,y1,z1)， b OB

(x2,y2,z2),则

（1） AB

(x2 x1,y2 y1,z2 z1) （2）a

b (x1 x2,y1 y2,z1 z2) （3） a

( x1, y1, z1) （4）a

b x1 x2 y1 y2 z1 z2 （5

）a

ab

（a 0，

b 0） （7）a b a

b 0

x1 x2 y1 y2 z1 z2 0

空间向量

（一）向量的加减法运算

例1如图3-1-1在长方体ABCD A1B1C1D1

中下列各式的运算结果为向量 BD

1的是

( )

(1) A

1D1 A1A AB;

(2) BC BB1

D1C1

;

(3) AD AB DD 1

;

(4) B1

D

1

A 1

A DD1

。.

A. (1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D. (1) (4)

图3-1-1

分析：在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量那样运用向量运算定理求解，对减法运算做同样处理。

解：(1) AD

11 A1A AB

AD BD 11 AA1 BA 1;

(2) BC BB

BD 1 D1C11;

(3) AD AB DD BD 2 DD 1

1

1

;

(4) B 1

D1

A1

A DD 1

BD1

DD1

选A。

点评：在对向量进行加减法运算时，一定要运用其运算法则及运算定律来简化，特必要注意有时要将某些向量平移，将其转化到同一个平面去求解。 （二）空间向量共线

例2．已知空间三个不共面的向量 m ，

n，

p 若a 3 m 2 n 4 p ，

b (x 1) m yn 2 p

，且a // b，求实

数x,y的值。

分析：解决向量共线问题的依据是应用共线

向量的充要条件，即a 0时， b a

a // b。

解: a 4 2// b ， b a，

2 y

3 x 1

5解之得： x

2故实数x,y的值分别

y 1

为

5

2

，1。 点评：待定系数法也可以用来解决空间向量

中的有关问题。在解决本题时，有两个关键：一是运用共线向量定理得到相应关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于

,x,y的方程组。

（三）空间向量的数量积 例3．如图3-1-2，S是边长为1的正 ABC所在平面外一点，且SA SB SC 1,若M,N分别是AB,SC的中点，求异面直线

SM与BN所成角的余弦值。

图3-1-2

分析：要求异面直线SM与BN所成角的余

弦值可以转化为求 SM 与 BN

所成角的余

弦值，因此要求， SM BN

以及 SM和 BN

的值，然后代入数量积公式求解。

解: SA a ， SB b， SC c,则a b

c，且它们的夹角均为60 ， a b b c a c 1 SM BN 2

，

12

( SA SB) ( SN SB)

1

1 12a b 2c b

2， cos SM , BN SM BN

2

SM BN

3。 SM与BN所成角的余弦值

23

。 点评：异面直线所成的角的范围为 0,

2

，

而向量的夹角的取值范围为 0, ；

SM

和BN的值就是对应三角形的高，无需用

向量方法再去求。

例4．已知 ABC的三个顶点A(1, 1,7)，

得M(, ,7)。

点评：求三角形内角大小可用向量夹角公式求解，判断向量夹角一定要注意，只有两个5252

B(3, 2,5)，C(2, 3,9)。

（1）求 ABC各边长；

（2）求 ABC三个内角的大小；

（3）求出 ABC的重心G及外心M的坐标。 分析：应用空间两点间的距离公式可求出三角形的三边长；再根据三边长，由数量积公式求出夹角，由三角形重心公式求重心，再根据三角形形状确定其外心坐标。

解:（1） AB

(2, 1, 2)，

AC (1, 2,2)， BC

( 1, 1,4)。

AB 3

， AC 3，BC

三边长分别为 （2）

cosB cos AB ,CB

AB AB CB CB

2。 B 45 同理 C 45 ，

AB AC

, BAC 90 。

（3）设 ABC的重心G(x,y,z)则

x xA xB xC

3

y yA yB yC即G(2, 2,7)。分析

3 zA

z zB zC3知外心必为BC边中点，故由中点坐标公示

向量起点相同时所成角才是两个向量的夹角。

（四）空间向量的基底

例5．若向量a ， b，

c是空间的一组基底，

则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）

A. a ，2 b，3 c B. a b， b c，a c C. a 2 b，2 b 3 c，3a 9 c D. a b c， b， c

分析：看三个向量是否构成空间的一组基底，就是看这三个向量是否共面，这样也就可以用空间向量基本定理推导了。

解：对C令2 b 3

c x a 2 b

y 3a 9 c

(x 3y)a 2xb 9yc

，可

x 3y 0 x得

2x 2即 1

9y 3 y 1， C选项的向

3量组共面，不能构成空间向量的一组基底。

选C。

点评：对于非零向量a ， b，

c，若存在不

全为零的实数x,y,z使得

xa yb zc

0，则向量a ， b， c共面，

若只存在x y z 0，使得

xa yb zc

0，则向量a ， b， c不共

面，而三个不共面的向量就可以作为空间一组基底。

1.已知空间三点A(1,

1,1),B( 1,0,4),

C(2, 2,3),则AB与CA的夹角为（ ） 2 5 D. 3636

2.已知a=(2,4,5), b=(3,x,y),若a∥b,

A.

B.

示向量OG。

C.

则x= ,y= 。

3. 如图3-1-3，已知正方体ABCD A'B' C'D'，点E、F、G分别是AB、BC、AA'的中点.求平面EFG的法向量。

图3-1-3

4．如图3-1-4，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM

13BD,AN 1

3

AE. 求证：MN//平面CDE。

图3-1-4

5. 如图3-1-5，已知空间四边形OABC，其

对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且

MG 2GN，用基底向量 OA , OB , OC

表

图3-1-5

误区一：误用运算法则

例1如图3-1-6，空间四边形ABCD中， AB a 2 c， CD 5a 6 b 8

c，对角

线AC，BD的中点分别为E,F,则 FE

。

图3-1-6

错解：设BC的中点为G,连接EG，FG,

则 FE FG GE 1

CD 1 AB 12(5a

6 b 8 2c) 2

12(a 2c) 3a 3 b 5 c。

剖析：本题的错因在于误认为

FG 1 2CD , GE 1 2

AB

,读者可能会受到

三角形中位线的影响，向量不仅有长度，还

有方向两者缺一不可。

正解： FE FG GE 1 1 2DC

2

BA

3a 3 b 5 c。

误区二：向量知识中的相关概念模糊不清 例2．如图3-1-7，已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则四个数量积结果为a2

有。

① 2 BA AC

②2 AD BD

③2 GF AC ④2 EF CB

图3-1-7 错解：如上图

2 BA AC

=2 BA AC cos60 =a2；2 AD BD

=2 AD BD cos60 =a2；2 GF AC

=2 BA AC cos0 =a2； 2 BA AC =2 EF CB cos60=a2

2

故，

正确的序号为①②③。 剖析：本题的错因是没有弄清向量夹角是当两个向量共起点时的夹角。 正解：

2 BA AC

=2 BA AC cos120 = a2； 2 GF AC

=2 BA AC cos180 = a2； 2 BA AC =2 EF CB cos120

= a22

。 故选②。

误区三：误用重要结论

例3．如图3-1-8，平行六面体ABCD-EFGH中，已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点，且

AM

M,AN

1

2

ND,AR 2RE，AG交平面MNR求于P点，求AG：PG。

图3-1-8

错解： AG AB AD AE 2 AM

3 2

RA

3AN。设AP mA,由 AG

2 AM 3 RA

3 AN 得 AP

2mAM 3 2 2

mRA 3mAN，由于

M,N,R,P共面，所以，

2m 32m 3m=1从而得m 2

7，所以

AG：PG=2:5。

剖析：若对空间任意一点O，都有OP xOA yOB zOC

,其中，

x y z 1，则A,B,C,P共面，要特别

注意它们有公共起点O，而题目缺少这一条件，所以不能生搬硬套。

正解：设 AP mAG ,由 AG AB AD

3

AR 3AN,得2 3

AP 2mAM mAR 3mAN。

2

由于M,N,R,P共面，所以，

32

2m m 3m=1。从而得m ，所以，

AE=2AM

直；还可以证明直线的方向向量与平面的法向量平行。证明空间平面与平面平行可以证明一个平面内的两条相交直线的方向向量，和另一个平面内的两条相交直线的方向向量分别平行；也可证明两个平面的法向量相互平行。

证明面面垂直可以证明其法向量相213APPG 2

11

。 第2节 立体几何中的向量方法

空间向量解立体几何

（一）用向量讨论垂直与平行

1.若空间不重合的两条直线a，b的方向向

量分别为a ， b，则a//b a //

b；a b a

b 0。

2.若直线a的方向向量为a

，平面 法向量为 n且a ，则a// a

// a n a

n 0。

3.若空间不重合的两平面 ， 的法向量分

别为a ， b，则 // a // b； a b a

b 0。

4.平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量；一个平面的法向量有无限多个它们互相平行。

5.证明空间直线与平面平行可证其方向向量与平面内的某一向量平行；也可证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量来表示，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。

6.证明空间直线与平面垂直可证其方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂

互垂直。 4.三垂线定理

平面的一条斜线和平面内的某条直线垂直，则其射影也和这条直线垂直；反之，平面的一条斜线的射影和平面内的某条直线垂直，则这条斜线也和这条直线垂直。

图3-2-1

（1）如图3-1-9三垂线定理的符号语言表述为：斜线AC C,AC在 内的射影为BC,l ，且l AC在，则l BC。 （2）把条件l 改为l// ，结论仍然成立，三垂线定理是证明空间两条直线垂直的依据，应用定理的关键是：要证线线垂直，可转化为，斜线的射影和已知直线垂直，反之也可。

（二）夹角的计算 1.直线间的夹角

（1）当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中不超过90

的角叫做l1与l2的夹角；当两条直线l1与l2异面时，在l1上任取一点A,作AB//l2,我们把l1和AB的夹角称为l1与l2所成的角，如图3-1-9。

图3-2-2

（2）两条异面直线夹角的取值范围是

0,2

。 （3）空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角 由它们的方向向量的夹角确定和计算。已知直线l1与l2的方

向向量分别为 s s

1与s2，当0 s1,2

时，直线l与l

2

12的夹角 s1,s2 ；当

2

s

1,s2 时，直线l1与l2的夹角

s s

1,2 。向量求法: cos

cos s

s 1 s21,s2 s s。

12

2.两平面间的夹角

两个平面所成二面角的平面角的大小就是两个平面的夹角 ，取值范围为 0, 。设

平面 s

1与 2的法向量分别为1与s2，当

0 s

1,s2 2

时，面 1与 2的夹角

s

1,s2 ；当2

s1,s2 时，直

面

1与 2的夹角 s1,s2 。向量求

法: cos cos s ,

ss 1s212 s。

1 s2

3.直线与平面的夹角

平面外一条直线与它在该平面内的射影的夹角为直线与平面的夹角，取值范围为

0,

2

。设直线与平面的夹角为 ，直线的方向向量为 s

1平面的法向量为s2，向量求

法: sin cos s ss

1 s2

1,2 s s。

12

（三）距离的计算 1.点到直线的距离

如图3-2-3设l为过点P，且平行于向量

s的

直线，A是直线l外一定点。作AA'

l，

则点到直线的距离d AA'

，而向量 PA

在

s上的投影为 P A

'

0 sP，A

d

s

0 为s的单位向

量。

图3-2-3

2.点到平面的距离

如图3-2-4，d AA'

PA n

0，n0为n的

单位向量。

图3-2-4

（一）向量法证明平行、垂直

例1．如图图3-2-5，已知正方体OABC

y z 0

, x y z,可取

x z 0

n (1,为1平面A1BC1的一个法向量。O1A1B1C1的棱长为1，E为O1C1上的点，

且C1

1E 2EO1,F是CC1上的点，且

CF 1

12

FC。

（1）求平面A1BC1的一个法向量； （2）证明EF//A1BC

1； （3）证明BO1 ABC11。

图3-2-5

分析：建立恰当的空间直角坐标系，用待定

系数法求出平面ABC

11的一个法向量n；然后证明 n EF 。

解：建立如图3-2-5的空间直角坐标系， 则

B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1)。（1）设

n (x,y,z)为平面A1BC1的一个法向量，

则

n BA , n BA

1,n BC11 0,n BC1 0, BA 1 (0, 1

,1) ,BC1 ( 1,0,1),（2）要证EF//A1BC1，

只需证明 n EF 。 E(0,2,1),F(0,1,2), EF (0,1,1 n 333 3)

EF 13 1 0 EF

, n。

EF

3

//A1BC1，又EF不在A1BC1内，

EF//A1BC1。

（1） 要证B1O A1BC1，只需证明

BO

1//n， B1(1,1,1)， BO1

( 1, 1, 1)，又

n (1,1,1) (1

,1,1) BO， BO

11//n， BO

1 A1BC1。 点评：平面的法向量与某条直线平行，有两

种情况，要么直线在平面内，要么，直线与平面平行，两者必居其一，建立恰当的空间直角坐标系，将点线面用坐标表示出来，然后结合公式定理进行向量运算，就可求出结论；对于线面垂直问题只要证明直线的方向向量与其法向量平行即可。用向量法证明垂直平行的步骤：

（1）建立空间图形与空间向量的关系，根据题目要求可以建立空间直角坐标系，也可以不建立，用空间向量坐标，表示问题中的点、线、面；

（2）通过向量运算研究平行垂直问题； （3）根据运算结果，结合题目所给条件求出结果。

（二）夹角的计算

例3.如图3-2-6，四棱锥

P ABCD中，

PD ABCD,且PD ，在四边形ABCD中， D DAB 90 ,

AB 4,CD 1,AD 2。

（1）求PA与ABCD所成角的大小； （2）求PA与BC所成角的余弦值； （3）二面角A PB C的余弦值。

图3-2-6

分析：建立恰当的空间直角坐标系，找出向量夹角与题中要求的角的关系，用坐标向量求解。 解：建立如图3-2-6所示的空间直角坐标系，（1） PA在ABCD内的射影为AD, PA与ABCD所成角为

PAD。又

P,

A(2,0,0)

，

D

(0,0,0), n DP

可作为

平

面

ABC的

法向量

，

s

1 PA (2,0, 可作为PA的方向

向量，设PA与ABCD所成角的为 ，由

公式

sin cos s s

1n

1n, s

得1 n

sin

PAD 60 ； （2

） P,A(2,0,0)，

s

1 PA (2,0, ，又

B(2,4,0),C(0,1,0)

s 2 BC

( 2, 3,0)，为BC的方向向量，设PA与

BC

所成角的

cos cos s

为 则s

1 s21,s2 s s

12

（3

） P,A(2,0,0)，

C(0,1,0)，B(2,4,0)

PA

(2,0, ，

AB

(0,4,0),设 n1 x1,y1,z1 ， n

2 x2,y2,z2 分别为平面PAB和平面

PBC的法向量，由 n 1 PA 0

可

得

n1 AB 0

x1 1

故可

取 n1 ,0, y

1,同理

1 0

n 2 PC 0得 x2

32y2 C

可

取 n2 B

0

y2 2

n

2

2，由公式设平面3,1

PAB和平面PBC所成的角为 ，则

cos cos n n n

121,n2 n

1 n2

5。

点评：用向量法求夹角问题相比作辅助线求角，要直观，易于把握。但是随之而来的就是计算量的增加，所以同学们不但要牢记夹角公式，还要学会用不同的方法解同一道题，做到举一反三，触类旁通；而面角的大小是由它的平面角来度量的，求平面角有两种主要方法;

(1)定义法 直接在二面角的棱上取点，一般取特殊点，便于计算，分别在两个半平面中作棱的垂线，定义法求值时需要认真观察图形，利用题目所给条件求解。

(2)空间向量法 利用夹角公式

n1 n2

cos cos n1,n2 求解。

n1 n2

（二）向量法求距离

例4．如图图3-2-7，已知正方体OABC

B1A1 (0, 1,0)，由公式B1到A1BC1的

距离d B1A1 n0 。

O1A1B1C1的棱长为1，求B1到平面A1BC1的距离。

图3-2-7

分析：建立恰当的空间直角坐标系，利用点

到平面的距离公式d AA'

PA n

0求

解。 解：建立如图3-2-7的空间直角坐标系， 则

B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1)，B(1,1,0)。

设

n (x,y,z)为平面A1BC1的一个法向

量，则 n BA 1,n BC1,n BA1 0, n BC 1 0

,

BA 1 (0, 1

,1),

BC

1 ( 1,0,1),

y z 0

x z 0, x y z,可取

n (1,为平面1

A1BC1的一个法向量，设 n

0

为

n

的单位向量

则 nn0 n

，

又

点评：空间中各种距离一般都可以转化为点与点的距离，点线距离和点面距离，其中点与点的距离，点线距离都可用空间向量的模来求，而点面距离，则可由平面法向量按公式求解，另外也可以用等体积法求解点面距离。向量法求点面距离的步骤是：

（1）求出该平面的一个法向量

n并利用

n n

0 n

求出单位法向量；

（2）找出从该点出发的平面的任意一条斜

线段对应的向量 m

的坐标；

（3利用公式d m n

0求出距离。

（三）空间向量在立体几何中的综合应用 例5．（2008安徽）如图3-2-8，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形， ABC

4

, OA 底面ABCD, OA 2,M为OA的中点，N为BC的中

点

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD

；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

图3-2-8

分析：对于（Ⅰ）需要证明 MN

OCD的

法向量；对（Ⅱ）分别求出异面直线AB与MD的方向向量，再利用两条直线夹角的向量公式求解即可；对（Ⅲ）根据点到平面的距离公式求解。

解：作AP CD于点P,如图

3-2-9,

图3-2-9

分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系则A(0,0,0)，B

(1,0,0)，

P

2

，

D(

22

，

O(0,0,2)，M

(0,0,1),N(1

44

（Ⅰ） MN (1 44 1)

,

OP

2),OD ( 2)

设平面OCD的法向量为

n (x,y,z),则 n OP 0, n OD 0,即

y 2

2

z 0

2x 2

y 2z 0

取z

解得n

∵ MN n

0 MN‖平面OCD。

（Ⅱ）设AB与MD所成的角为

,

∵ AB (1,0,0), MD ( 22

1)

∴co s ABAB MD MD 12

∴

,

3 ,AB与MD所成角的大小为

3

。 （Ⅲ）设点B到平面OCD的距离为d,则d

为 OB

在向量

n 上的投影的绝

对值,由

OB

(1,0, 2),

得

d OB nn

2

3.所以点B到平面OCD的

距离为

23

。 点评：用向量法证明线面平行只要证明直线

的方向向量与平面法向量垂直即可；求夹角问题需要同学熟记三种类型的夹角的向量计算公式；点到平面距离问题可先求平面法向量再代入公式求解。

1. CB 直三棱柱 ABC—A

1B1C1中，若CA a，b， CC c，则

1 A1B （ A. a b c a ） C. a b B. c D. b c a b c

2.已知两平面的法向量分别为

m (0,1,0)

n (0,1,1)则两平面所成的二

面角度数为 。

3．(2011北京)如图3-2-10，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面

ABCD是菱形，AB 2, BAD 60 .

(Ⅰ)求证：BD 平面PAC;

（Ⅱ）若PA AB,求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

图3-2-10

4. （2011重庆文）如图3-2-11，在四面体

中，平面

平面

，

，

,

.

(Ⅰ)求四面体的体积;

(Ⅱ)

求二面角的平面角的正切值.

图3-2-11

5. （2011湖北）图3-2-12，已知正三棱柱

ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长

为3

，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱

BB

1上，且AE

BF .

(I) 求证：CF C1E；

(II) 求二面角E CF C1的大小。

图3-2-12

误区一：审题不清

例1.设 a (a

1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，且 a b，记| a b

| m，求 a b 与x轴

正方向的夹角的余弦值。

错解：取x轴上的任一向量

c (x,0,0)，

设

所

求

夹

角

为

，∵

(a b) c

(a1 b1,a2 b,a2 b)3 (x,0,0)3 (a1 b1)x，∴ cos

(

|aa b) c

b| |(a b)xa bc|

11mx 11m，

即余弦值为

a1 b1

m

。

剖析：审题不清。没有看清“x轴正方向”，并不是x轴。

正解：取x轴正方向的任一向量

c (x,0,0)，设所求夹角为 ， (a b) c

(a1 b1,a2 b2,a3 b3) (x,0,0) (a1 b1)x，∴

cos (aa b) c

b| |c|

(a b)x a b|mxm，即为所求。

误区二：空间角的取值范围模糊不清 例2.如图3-2-13，已知ABCD A1BC11D1是棱长为2的正方体，E,F分别是棱BC和CD的中点。

（1）求直线DE与B1F所成角的余弦值； （2）二面角C1 EF A的余弦值。

图3-2-13

错解：建立如图3-2-13所示坐标系，则

D(0,2,0),E(2,1,0),F(1,2,0),

B1(2,0,2)C1(2,2,2)。

(1) DE

(2, 1,0) ,B1F ( 1,2, 2),

cos DE , BF

1, 直线DE与B1F

所成角的余弦值为

15

。 (2) C 1, 2), EF

1E (0, ( 1,1,0),可设平面CEF的法向量为

1n (x,y,z)，

C n1E 0

,解得

x y 2z，可取 n EF

n ( 2, 2,1)，又 AA 1 (0,0,2)

是平面AEF的法向量，所以，cos AA 1

1,n 3

，二面角C的余弦值为1

1 EF A3

。

剖析：本题的错因在于忽视了两条异面直线所成的角和二面角的取值范围，对夹角的取值范围模糊不清，要求同学们一定要把角的范围记清，严格依据角的取值范围求解。 正解：直线DE与B1F

所成角的余弦值为

依据图像分析知二面角C1 EF A的余弦值为

13

。

1. 下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是( )

A. 3 2

B.OM 1 1 1 2OA 3OB 5OC

C.OM OA OB OC 0

D. MA MB MC 0

2. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中

点，则EF DC等于（ ） A.

14 B. 14

C.

34 D. 34

3若a (1, ,2)，

b (2, 1,1)，a 与 b的

夹角为600

，则 的值为（ ） A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1

4.（2011天津） 如图3-14，在长方体

ABCD A1BC11D1中，

E,F分别是棱BC，CC1上的点，CF AB 2CE，

AB:AD:AA1 1:2:4。

（Ⅰ）求异面直线EF与A1D所成的角的余弦值；

（Ⅱ）证明：AF 平面A1ED； （Ⅲ）求二面角A1 ED F的正弦值．

图3-14

5. （2011福建）如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2， CDA 45 ．

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（II）设AB=AP．

（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30 ，求线段AB的长；

（ii）在线段AD上是否存在一个点G，得 点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。

图3-15

6．（2011四川）如图3-16，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D。 （Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

图3-16

7. （2011上海）如图3-17，已知

ABCD

1

A1B1C是底面边长为1D

1的正四棱柱，O1是AC11和B1D1的交点。 （1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为 ，二面角A B1D1 A1的大小为 。

求证：tan ； （2）若点C到平面AB1D1的距离为的正弦值。

4

，求 3

正四棱柱ABCD A1BC11D1的高。

图3-17

8. 2010辽宁）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小。

图3-18

9. （2010江西）如图3-19，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD

，AB （1） 求点A到平面MBC的距离； （2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角

图3-19

10. （2010北京） 如图3-20，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CECE AC

EF//AC

,

AB CE EF 1 。

（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

图3-20

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/afim.html