概率论第二版习题

习题一

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习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.

2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）AB；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BC；（7）A?C.

?1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??2??43??，求下列事件的表2?达式：（1）AB；（2）AB；（3）AB，（4）AB.

5. 用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1）A出现，B，C都不出现； （2）A，B都出现，C不出现； （3）所有三个事件都出现；

（4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现；

（8）三个事件中至少有二个出现.

6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，试用Ai的运算表示下列各个事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品.

7. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}（i＝1，2，3），试用A1,A2,A3表示下述事件：

（1）A={前两次至少有一次击中目标}；

（2）B={三次射击恰好命中两次}；

2 工程数学 概率统计简明教程（第二版）

（3）C={三次射击至少命中两次}； （4）D={三次射击都未命中}.

8. 盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记Ai={第i次抽到白球}（i＝1，2，?，r），试用{Ai}表示下述事件：

（1）A={首个白球出现在第k次}； （2）B={抽到的r个球同色}，

其中1?k?r.

*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立： （1）ABC=A；（2）ABC?A.

习题二

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习题二

1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.

2. 一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率.

3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求： （1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率.

4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都是合格品；

（2）1只是合格品，一只是不合格品； （3）至少有1只是合格品.

5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.

6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.

7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.

8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.

9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率： （1）事件A={其中恰有一位精通英语}； （2）事件B={其中恰有两位精通英语}； （3）事件C={其中有人精通英语}.

10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.

11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A={结果为奇数}，事件B={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：

（1）P(A)；（2）P(B)；（3）P(AB)；（4）P(AB).

12. 设一质点一定落在xOy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=

1的左边的概率. 313. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

4 工程数学 概率统计简明教程（第二版）

14. 已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求： （1）P(A),P(B)；（2）P(AB)；（3）P(AB)；（4）P(BA),P(AB)；（5）P(AB).

B)=0.8，试求：P（A-B）

15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P(A与P（B-A）.

*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.

习题三

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习题三

1. 已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率

P(BA)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.

3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

4. 罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.

5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:

保质期内 保质期后 擦伤 18％ 12％ 投诉原因 凹痕 13％ 22％ 外观 32％ 3％ 如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.

6. 给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

P(AB)?P(A)；P(AB)?P(A)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(B).

7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.

8. 设某一工厂有A，B，C三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A，B，C生产的概率.

9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.

10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.

*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.

12. 设事件A,B相互独立.证明：A,B相互独立，A,B相互独立.

习题五

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习题五

1??1. 二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），??1,?，（2，0），

3??且取这些组值的概率依次为

1115,,,.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关631212于Y的边缘分布律.

2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求(X,Y)的分布律及P(X?Y).

*3. 从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X表示从委员会选出来的数据处理人数，Y表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X与Y的联合分布律；（2）P(X?Y).

*4. 盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X={前2次抽中红球数}，Y={4次共抽中红球数}，求（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律：（2）给定X?1，Y的条件分布律.

5. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.

?0,若第二次取出正品,?0,若第一次取出正品,定义随机变量X,Y如下：X??分别就Y??

,若第一次取出次品,,若第二次取出次品,11??下面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样.

求：（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律; （2）关于X及关于Y的边缘分布律;

（3）X与Y是否独立，为什么？

?1,0?x?1,0?y?1,?6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??4xy

?0,其他.?求：（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；（2）P?0?X???11?,0?Y??. 22?7. 设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中区域D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域.求：（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）P??1??1?X?0,0?Y??；

4??4（3）关于X及关于Y的边缘密度函数；（4）X与Y是否独立，为什么？

8. 设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中D为由直线x+y=1，x+y=-1，

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工程数学 概率统计简明教程（第二版）

x-y=1，x-y=-1围成的区域.求：

（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；

（2）P(X?Y)；

（3）X与Y是否独立，为什么？

9. 设随机变量X，Y是相互独立且分别具有下列分布律：

X 概率

Y 概率 写出表示(X,Y)的联合分布律.

10． 设进入邮局的人数服从参数为?的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为p（0

11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从[0,0.2]上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求：(X,Y)的联合密度函数及P(X?Y).

-0.5 1 3 -2 -1 0 0.5 1 41 31 121 31 21 41 4?ke?(3x?4y),x?0,y?0,12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求：（1）系

其他,0?数k;（2）P(0?X?1,0?Y?2);（3）证明X与Y相互独立.

13. 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)???k(1?x)y,0?x?1,0?y?x,，

其他,0?（1）求常数k;（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？为什么.

14. 设随机变量X与Y的联合分布律为：

Y 0 1 X 0 1 2 且P(Y?1X?0)?2 25a b 1 253 252 253，求：（1）常数a，b的值；（2）当a，b取（1）中的值时，X5与Y是否独立，为什么？

*15. 对于第2题中的二维随机变量(X,Y)的分布，求当Y?2时X的条件分布律.

习题五

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*16. 对于第7题中的二维随机变量(X,Y)的分布，求：（1）P???111??X?0?Y??；

42??4（2）当X?x???1??x?0?时Y的条件密度函数fYX(yx). ?2?*17. 设二维连续型随机变量(X,Y)，证明：对任何x，有

P(X?x)??P(X?xY?y)fY(y)dy,

????其中fY()为Y的边缘密度函数.

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习题六

1. 设随机变量X的分布律为

X 概率 -2 -0.5 0 2 4 1 81 41 81 61 32求出:（1）X?2;（2）?X?1;（3）X的分布律.

2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y??量Y的分布律.

3. 设随机变量X的分布密度为f(x)??2（1）2X；（2）?X?1；（3）X.

?0,若X?1,试求随机变

若X?1.?1

?2x,0?x?1,求出以下随机变量的密度函数：

,其他,?04. 对圆片直径进行测量.测量值X服从(5,6)上的均匀分布，求圆片面积Y的密度函数.

1）5. 设随机变量X服从正态分布N（0，，试求随机变量函数Y=X2的密度函数fY(y).

6. 设随机变量X服从参数??1的指数分布，求随机变量函数Y＝eX的密度函数

fY(y).

7. 设随机变量X服从N(0,1)，证明：?X?a服从N(a,?2)，其中a,?为两个常数且??0.

8. 设随机变量X在区间[?1,2]上服从均匀分布，随机变量

?1，若X?0,?Y??0，若X?0,试求随机变量函数Y的分布律.

??1，若X?0.?9. 设二维随机变量(X,Y)的分布律:

Y X 1 2 3 1 2 3 1 41 81 81 40 1 80 0 1 8习题六

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求以下随机变量的分布律:（1）X?Y;（2）X?Y;（3）2X;（4）XY. 10. 设随机变量X,Y相互独立，且X?1?B?1,?，Y?4??1?B?1,?， ?4?（1）记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律； （2）记随机变量U?2X，求U的分布律.

从而证实：即使X，Y服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同.

*11. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，给定X?k，Y的条件分布为参数为k，p的二项分布（0

12. 设二维随机变量X，Y的联合分布律为:

Y X 1 2 3 1 2 0 3 0 01 92 92 91 92 91 9求:（1）U=max(X,Y)的分布律； （2）V?min(X,Y)的分布律； （3）(U,V)的联合分布律.

13. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0，

x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数.

*14. 设随机变量X，Y相互独立，且有相同的分布N(0,1)，U?X?Y，V?X?Y，求:（1）U的密度函数；（2）V的密度函数.

15. 设二维随机变量X,Y的分布密度为f(x,y)，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数.

16. 设随机变量X~N(a,?2)，Y~N(b,?2)，且X，Y相互独立，Z?X?Y，求

ZX?x的条件分布密度函数.

17. 用于计算机接线柱上的保险丝寿命服从参数??0.2的指数分布.每个接线柱要求两个这样的保险丝，这两个保险丝有独立的寿命X与Y.（1）其中一个充当备用件，仅当第一个保险丝失效时投入使用.求总的有效寿命Z＝X+Y的密度函数.（2）若这两个保险丝同时

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工程数学 概率统计简明教程（第二版）

独立使用，则求有效寿命U?max(X,Y)的密度函数.

18. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，记Z是以X，Y为边长的矩形的面积，求Z的密度函数.

*19. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求Z?密度函数.

（提示：使用FZ(z)?P(Z?z)?P(Z?zY?y)fY(y)dy?X与Y的独立性.）

X的Y??P(X?yz)dy，其中用到

01习题十二

23

习题七

1. 设随机变量X的分布律为

X -1 0 1 21 61 2 概率 1 31 6112 1 4求：（1）E(X);（2）E(?X?1);（3）E(X2);（4）D(X).

2. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布（??0），且已知E((X?2)(X?3))?2，求?的值.

3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，试求X的数学期望E(X2).

4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量.它在[2 000，4 000]（单位：吨）上服从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？

5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X).

6. 设随机变量X有分布律:

2pk?P(X?k)?pqk?1(k?1,2,),

其中0?p?1,q?1?p，称X服从具有参数p的几何分布，求E(X)和D(X).（提示：

??1?2???k?1k由幂级数逐项求导的性质可知?kq???q????,

1?qk?1?k?0?????k(k?1)qk?1?k?2?

3????????q1?k?q?2???) ???1?q??k?0????1?q??127. 设随机变量X的密度函数为f(x)?e?x，求:（1）E(X);（2）E(X)的值.

2?2(1?x),0?x?1,8. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??求E(X)，

其他,0,?D(X).

9. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，求E(X?1).

?124

工程数学 概率统计简明教程（第二版）

M?0为整数，10. 设随机变量X服从参数为p的几何分布，求E(Y). Y?max(X,M)，

*11. 设随机变量X有分布律：

?M??N?M?????k??n?k??pk?P(X?k)?,k?0,1,2,?N????n?,n?M，其中n?M?min(n,M).

??n?n?n?1?n(n?1)?n?2???提示:使用????????.?

mm?1m?2mm(m?1)????????*12. 将已写好n封信的信纸随机地装入已写好的n个收信人的对应地址的信封，若有

一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X为n封已随机装好的信的配对数，求E(X),D(X).

??1,第i封信配对,提示:记X?(i?1,2,??i?0,其他??ni=1,n),有X??Xi,先求E(Xi),E(XiXj)i?1n?1i?1n及cov(Xi,Xj),使用公式D(X)=?D(Xi)?2??cov(X,X).?1j?j?j?1?n

?e1?x,x?0,13. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求E(X)，E(2X)，E(X?e?2X)，

?0,x?0,D(X).

14. 设随机向量(X,Y)的联合分布律为:

Y X 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求E(X),E(Y),E(X?2Y),E(3XY),D(X),D(Y),cov(X,Y),?X,Y.

15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X，Y分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X与Y之间的相关系数?X,Y.

16. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为

?2e?2x,x?0,?4e?4y,y?0,fX(x)??fY(y)??求D(X?Y).

,x?0,,y?0,00??*17. 设随机变量X1,求E(Y),D(Y).

,Xn独立，具有公共的（0，1）上的均匀分布，令Y?minXi,1?i?n习题十二

25

?????1??xxe,?*18. 设随机变量X有密度函数f(x)???(?)?0,?x?0,（??0，??0为常数），

其他（?，?）则称X服从具有参数的伽玛分布，记为X~?（?，?），其中?(?)=??0y??1e?ydy.

有性质：对任意实数x，有?(x?1)?x?(x)，特别对正整数n有?(n?1)?n!.今设

Y~?(?1,?)，Z~?(?2,?)，且Y与Z相互独立，W???Z??1??提示:使用独立性,有E(W)?E?E(Z)E????.? ??Y??Y???Z，求E(W) Y*19. 设随机变量X服从参数为（a，b）的贝搭分布，即有密度

??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1,?求E(X),D(X).[提示：已知贝搭函数f(x)???(a)?(b)?0,其他,?1??(?)?(?)???1??1提示:已知贝搭函数?(?,?)?t(1?t)dt,有关系式?(?,?)=.? ??0?(?+?)??????20. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式E(X)??公式E(X)??布密度，即

证明：E(X)??????????xf(x,y)dydx及按

xf(x)dx算得的E(X)值相等.这里，f(x,y),f(x)依次表示(X,Y),X的分

??????????xf(x,y)dydx??????xf(x)dx

21. 设二维随机变量(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+y+1=0所围成的区域，求：（1）E(X);（2）E(?3X?2Y);（3）E(XY)的值.

?12y2,0?y?x?1,22. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求E(X)，E(Y)， 0,其他.?E(XY)，E(X2?Y2)，D(X)，D(Y).

)，1D(X)?2，D(Y)?3.求：23. 设随机变量X,Y相互独立，且E(X)?E(Y?（1）E(X),E(Y)；（2）D(XY).

24. 袋中有2个外形完全相同的球，其中??个标有数字k（k=0，1，?，n），从中不放回抽取m次（每次取1个），以X表示取到的m个球上的数字之和，求E（X）.

n22?n??k?26

工程数学 概率统计简明教程（第二版）

（提示：记Xi=第i次抽到的球上的数字，则X??X,E(X)??E(X).）

iii?1i?1mm25. 设D(X)?25，D(Y)?36，?(X,Y)?0.4，求：（1）D(X?Y);（2）D(X?Y). 26. 设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求

E(2X?Y),D(2X?Y).

27. 设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计P(X?E(X)?7.5)的值. 28. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P(X?Y?6)的值.

29. 在次品率为

1的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取6的产品中次品件数在40与60之间的概率.

30. 有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m.现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30根的概率.

31. 有3 000个同龄的人参加某保险公司的人寿保险，保险期限为1年.假设在1年内每人的死亡率为0.1％，参加保险的人在投保日须交付保费10元，被保险人在保险期间死亡时家属可以从保险公司领取2 000元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.

32. 某种电器有100个独立的电源可供使用.每个电源的寿命服从均值为10 h的指数分布，求这个电器的使用总寿命大于1 200 h的概率.

1?x?,0?x?1,?33. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求X的中位数. 2其他,??0,

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