余弦定理公式

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

建构知识网络

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

CA?BCA?B=sin, sin=cos

2222111（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB

222a?b?cS= pr =p(p?a)(p?b)(p?c) (其中p=, r为内切圆半径)

2cos

（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 2．正弦定理：

abc???2R外 sinAsinBsinC证明：由三角形面积

111absinC?bcsinA?acsinB 222abc??得 sinAsinBsinCabc???2R 画出三角形的外接圆及直径易得：

sinAsinBsinCS?b2?c2?a23．余弦定理：a=b+c-2bccosA, cosA?；

2bc2

2

2

证明：如图ΔABC中，

CbaCH?bsinA,AH?bcosA,BH?c?bcosA

a2?CH2?BH2?b2sin2A?(c?bcosA)2?b?c?2bccosA22

AHcB当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

双基题目练练手

1．(2006山东)在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A?A.1

B.2

C.3?1

D.3 ?3,a?3,b?1，则c? （ ）

2．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（ ）

A.

33233 B. C. D.33

2223．（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是

A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

2A. 85cm B. 610cm2 C. 355cm2 D. 20cm

25.（2006全国Ⅱ）已知?ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________.

6.(2006春上海)在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，则cos2C? .

a2?c2?b2◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.

ac4.组成边长6,7,7时面积最大; 5.

3; 6. 7 25四、经典例题做一做

【例1】(2006天津)如图，在?ABC中，AC?2，BC?1，cosC?（1）求AB的值； （2）求sin?2A?C?的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，

AB?AC?BC?2AC.BC.cosC ?4?1?2?2?1?∴AB?2. （Ⅱ）解：由cosC?2223． 43?2. 43，且0?C??,得 4sinC?1?cos2C?由正弦定理:

7. 4ABBC?, sinCsinA解得sinA?BCsinC1452?。所以，cosA?。由倍角公式 AB88sin2A?sin2A?cosA?且cos2A?1?2sinA?257， 169，故 16sin?2A?C??sin2AcosC?cos2AsinC?37. 8◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

【例2】在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．

asinB3?sin45?3解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b

bsinC(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=?sinBbsinC(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=?sinB2?sin75?6?2, ??2sin452?sin15?6?2 ?2sin45?◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少

度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1?）？

?[解] 连接BC,由余弦定理得

BC2=202+102－2×20×10COS120°=700

于是,BC=107

_ ? ∵sinACBsin120?3?, ∴sin∠ACB=, 207107_ CA_ _ 10_ 20_ B ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援

30° 思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角

形的方法；

【例4】已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有

2Rsin2A?sin2C?解：由已知条件得

???2a?bsinB成立，求△ABC面积S的最大值．

??2R?2?sin2A?sin2B?2RsinB??2a?b．即有 a2?c2?2ab?b2，

?3?a2?b2?c22??又 cosC? ∴ c? ．A?B?

2ab244∴ S?122absinC?ab??4R2sinAsinB 244?2R2sinAsin(?2R2sinA(23??A)4

22cosA?sinA)22R(sin2A?1?cos2A)2R2??[2sin(2A?)?1]24?当2A??4??2,即A?3?2?12(?B)时, Smax?R．

28◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

【研讨.欣赏】

（2006江西）如图,已知△ABC是边长为1的正三角形, M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.设?MGA??(?3???2?). 3(1) 试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为?的函数; (2) 求y?11的最大值与最小值. ?22S1S2解:

(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心, 所以AG?233???, ?MAG?. 3236 由正弦定理

GMsin?6?GAsin(????)6?,得GM?36sin(??)6?,

则S1?1sin?1GM?GA?sin??(或?).

?26(3?cot?)12sin(??)6?GAsin(??)6又GNsin?6?,得GN?36sin(??)6?,

1sin?1则S2?GN?GA?sin(???)?(或?).

?26(3?cot?)12sin(??)6(2)y?11144??2S12S2sin2?????222sin(??)?sin(??)?72(3?cot?). ??66?? 因为

?3???2??2?,所以当??或??时,y的最大值ymax?240; 333 当???2时, y的最小值ymin?216.

提炼总结以为师

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．边角互化是解三角形的重要手段．

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

【选择题】

1”的 ( ) 2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.（2004全国Ⅳ）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，1.（2004浙江）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞△ABC的面积为

A.C.1?3 23，那么b等于 ( ) 2

B.1+3

2?3 D.2+3 23..下列条件中，△ABC是锐角三角形的是 ( )

A.sinA+cosA=

1 5

B.AB·BC＞0 D.b=3，c=33，B=30°

C.tanA+tanB+tanC＞0

4.(2006全国Ⅰ)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? ( )

A.

1322 B. C. D. 4443

【填空题】

b、c分别是?A、?B、?C所对的边。5.（2004春上海）在?ABC中，a、若?A?105?，?B?45?，b?22，

则c?__________

6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.

练习简答：1-4.BBCB; 1.在△ABC中，A＞30°?0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞

＞30°答案：B

121?30°＜A＜150°?A2

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