第六章 定积分及应用习题

第六章 定积分及应用

一、填空题 1．

??20cos5xsinxdx? _______

2．当b?0时，

5?b1lnxdx?0，则b?_______

x3sin2xdx?_______ 3．?4?5x?2x2?14．设f(x)为连续函数则5.

?a?ax2?f(x)?f(?x)?dx? .

? 1 ?1x2?sinx?5x2?dx?

6. 已知f(x)?x?27．若

?10f(x)dx,则f(x)?_______

?310f(x)dx?3,?20f(x)dx?2,则?f(x)dx?

128．利用定积分性质比较下列积分的大小： I1??10exdx I2??(x?1)dx，则 _______

01I3??lnxdx,I4??(lnx)2dx，则_______

ee39. 估计定积分

??01dx的取值范围_______

3?sin3xx???10. 设f(x)可导，且limf(x)?1，则lim11. 设g(x)?x???x?x?2tsin3f(t)dt? t?x20dx，则g??(1)? _______ 1?x312． limx?0?x0cost2dtx? 1

dbarctanxdx? . 13． ?adx14．求曲线y???15．设F(x)＝16. f(x)＝sintdt在x??处的切线方程，_______ t22x2?x20etdt??e?tdt，则F?(x)?_______

x12?x2xe?tdt，则f?(x)?_______

dxcos(t?x)dt?_______ 17．

dx?018．已知当x?0时，F(x)??(x2?t2)f??(t)dt的导数F?(x)与x2为等价无穷小，则f??(0)= _______

0x

19.

???1??1?x2dx?_______

二、选择题

1.f(x)在[a,b]上连续是

?baf(x)dx存在的（ ）.

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要 2. 设I21??21lnxdx,I2??1(lnx)2dx，则（ ）

（A） I1?I2 （B） I1?I2 （C） I1?I2 （D） 无法比较

???3.设 M??2sinx45423??1?x2cosxdx,N?2(sinx?cosx)dx,P?2(xsinx?cos4x)dx 2???2???（2（A） N?P?M （B） M?P?N （C） N?M?P （D）P?M?N 4. lim?nnn?n????n2?1?n2?22???n2?n2???( ) （A）0； （B）12； （C）?4； （D）?2 5.

?????(ecosxsinx?x2)dx?（ ）

A. π32π32π32π3-13

B. 3 C. 2e?3 D. e-e-1?3 x6.

lim?0sint2dtx?0x3=( )

（A）0； （B）1； （C）13； （D）? . 7. 下列结果正确的是（ ）

（A）

dda(?basinx2dx)?sina2 （B） dbdb(?asinx2dx)?sinb2 （C）

d(?bsinx2dx)?sinx2 （D）d(?bsinx2dx)?2xsinx2dxadxa s8. 设f(x)为已知函数,I?t?t0f(tx)dx，其中s?0,t?0,则I的值依赖于（ ）

（A）依赖于s和t； （B）依赖于s，t,x； （C）依赖于x和t，不依赖于s； （D）依赖于s，不依赖于t。 9. 已知f(t),?(t)在???,???上连续，且等式

?x3x1f(t)dt??1?(t)dt恒成立，则?(x)?( (A) f(x3) （B）x3f(x) （C）x2f(x3) （D）3x2f(x3) 10. 已知f(0)?1,f(2)?3,f'(2)?5,则

?2''0xf(x)dx?（

）

（A）12； （B）8； （C）7； （D）6. 11. 广义积分

???dx2x2?x?2=（ ）

）)

（A）ln4 ； （B）0； （C）ln4； （D）发散.

13dx?0x2?4x?3?（ ）

12（A）1?ln3； （B）ln； （C）ln3； （D）发散.

2312、广义积分

2三、基本计算题 （一）定积分计算 1．

??3sin(x?3)dx

?0 2???2. 3.

??sin3x?sin5xdx xsinxdx

dx

1?x?1ln4 014．

?345．

?1ln3dxex?e?x

6.

?4dx

x(1?x)7．8、

???120arcsinxdx exdx

4019、xarctanxdx；

010、

??121?2 1（1?x)arcsinxdx1?x2

11、

0ln?1?x?dx

（二）分段函数积分 1.

?1?01?cos2xdx

?2．3.

???21?cosxdx

?x2x?1dx

04.

??2max{x,x2}dx.

5.

?|lnx|dx

1ee 2?x2, x??0,1?6. 设f?x???，计算?f?x?dx

0?x x?[1,2]7.

? 2 0?1,x?0??1?x f?x?1?dx，其中f?x???1?,x?0??1?exx（三）含变限积分的极限

?1. limx?002tcostdt1?cosxx

2. lim?01?t4dtx3x??

t223.求极限：

??edt?lim x 0 xx?0? 0tedt2t2

4.lim?1x20(1?cost2)dtx52x??0

?5. limx?0x20tetsintdtxex06x2

6. limx?0x??etdtxsin2x2

（四）广义积分 1.

???0dx

x2?6x?182. ?3.

??1dx 2x(1?x)? ?? ??dx 2x?2x?22（五）平面图形面积

1. 求曲线y?3?x,y?2x所围成的平面图形的面积。

2. 求由曲线y?x?1与y?7?x所围成的平面图形的面积。

22

3 求由曲线y?1?x2和直线y?1?x所围成的平面图形的面积。 4 求由抛物线

y?x和直线y?x?0,y?1所围成的平面图形的面积。

（六）旋转体的体积

1、计算抛物线y2?x与直线x?y?2所围成的图形绕y轴旋转所成旋转体的体积； 2、求由曲线y2?2x与直线x?四、综合计算 （一）各类计算 1． 由直线x1，所围图形绕y轴旋转而成的旋转体体积。 2?0，x?2 ，y?0和抛物线x?1?y所围成的平面图形为D，求D的面积；

1. 设抛物线y2?x?1，直线

xy?2与x轴和y轴所围成图形为D，求D的面积.

3、已知xe为f(x)的一个原函数，求4. 求由参数方程x?2?10xf?(x)dx

t0?a(u?sinu)du,0ty??a(1?cosu)du所确定的函数y对x的导数。

?x?tulnudu,?d2y?1(t?1)，求2 5. 设?1dx2?y??2ulnudu,t?x1t26．求正的常数a,b使等式limdt?1成立．

20x?0bx?sinx?a?t7. 设f(x)在?a，b?上连续，且F(x)?8．设

? x a (x?t)f(t)dt，x??a，b? , 试求F??(x)．?x0f(t)dt?arctanx?sinx?ex?1,求f(x)及f/(x)

9. 设f(x)在(??,??)内连续,且F(x)?在(??,??)内为减 函数.

?(x?2t)f(t)dt,证明:若f(x)在(??,??)内为增函数,则F(x)0x1x10.设f(x)在[0,??)连续且单调递增，求证：函数 F(x)??f(t)dt在(0,??)上连续且单调递增。

x011. 当x为何值时，I(x)??x0te?tdt取得极值？

22212. 假设由曲线L1：y?1?x（0?x?1）、x轴和y轴所围成的平面区域被曲线L2：y?ax分为面积

相等的的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值。 13. 设F(x)??x202试求：（1）F(x)的极值；（2）曲线y?F(x)的拐点的横坐标；（3）?xF?(x)dxe?tdt，

?223之值。

（二）．定积分等式的证明

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/af8f.html