2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.文)含详解

2009福建数学试题（文史类）

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}|0.|3A x x B x x =>=<，则A B 等于

A ．{|0}x x <

B {|03}x x <<

C {|4}x x >

D R

1. 解析解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.

解法1 利用数轴可得容易得答案B.

解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A 中，也在集合B 中，故选B.

2.

下列函数中，与函数y = 有相同定义域的是 A .()ln f x x = B.

1()f x x = C. ()||f x x = D.()x f x e = 解析 解析

由y =可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x =的定义域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x x R f x e ∈=定义域是x R ∈。故选A.

3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表

组别 (0,10]

(20,20] (20,30) (30,40) (40,50] (50,60] (60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在(10,40)上的频率为

A. 0.13

B. 0.39

C. 0.52

D. 0.64

解析 由题意可知频数在(]

10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数÷总数可得0.52.故选C. 4. 若双曲线()22

2213

x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于 A. 2

B.

C. 32

D. 1 解析解析

由222123x y a a -===c 可知虚轴e=a ，解得a=1或a=3，

参照选项知而应选D.

5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为

12

。则该集合体的俯视图可以是

解析 解法1 由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是12

，知其是立方体的一半，可知选C. 解法2 当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积是2

1424S πππ??=?= ???，高为1，则体积是4π；当俯视是C 时，该几何是直三棱柱，故体积是1111122V =???=，当俯视图是D 时，该几何是圆柱切割而成，其体积是211144V ππ=??=.故选C.

6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

A ．-1 B. 2 C. 3 D. 4

解析解析当1,2n S ==代入程序中运行第一次是1S =-，然后赋值此

时2n =；返回运行第二次可得111(1)2

S ==--，然后赋值3n =；再返回运行第三次可得1

2112S ==-，然后赋值4n =，判断可知此时

2S =，故输出4n =，故选D 。

7. 已知锐角ABC ?

的面积为4,3BC

CA ==，则角C 的大小为

A. 75°

B. 60°

B. 45° D.30°

解析解析

由正弦定理得11··sin C 43sin C sin C 22S BC CA =?=????=注意到其是锐角三角形，故C=60°，选B

8. 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是

A ．2

1y x =+

B. ||1y x =+

C. 321,01,0x x y x x +≥?=?+

D ．,,0

x x e x o y e x -?≥?=?

,10,123 x x x x y 在（]0,∞-上

单调递减，理由如下y ’=3x 2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数?????≥=-0

,0, x e x e y x x ，有y ’=-x e -<0(x<0),故其在（]0,∞-上单调递减，不符合题意，综上选C 。

9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??-≤??-+≥?

（α为常数）所表示的平面区域内的面积等

于2，则a 的值为

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3解析解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行

域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是

23；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

10. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直

线，则//αβ的一个充分而不必要条件是

A. 1////m l βα且

B. 12////m l l 且n

C. ////m n ββ且

D. 2////m n l β且

解析 解析 要得到,//βα必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项A ，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B ，由于1l 与2l 时相交直线，而且由于1l //m 可得α//2l ，故可得

,//βα，充分性成立，而β

α//不一定能得到1l //m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选

B.对于选项C ，由于m,n 不一定的相交直线，故是必要非充分条件.对于选项D ，由2//l n 可转化为C ，故不符合题意。综上选B.

11.若函数()f x 的零点与()422x

g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，耠则()f x 可以

是

?. ()41f x x =- ? ?B. ()2

(1)f x x =-`

C Ю ()1x

f x e =- ? $0 ` D. ()12f x In x ?

?=-

???

解析 ()41f x x =-??璄零 为x=? EMB 腅D(Equat ?on.? 4

1,()2

(1)f x x =-Е的?傹为x ±, ()1x

f x e =-溅零点?x=0, ()12f x In x ??

=-

???

的?犹为y=15?EMBED 聅quaeégn.3 ?23.现在我们 估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(

21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 2

1),又函数()f x 的零点与()422x

g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

12.设→

a ，→

b ，→

c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足→

a 与→

b 不共线，

→

a ⊥→c ∣→a ∣=∣→c ∣,则∣→

b ?→

c ∣的值一定等于

错误!?A ．以?，→

b 为邻边的平行四边

罢盄面积 B. 以→

b ，→

c 为两边的三角形面积

A ．以?，→

b 为邻边的平行四边罢盄面积 B. 以→

b ，→

c 为两边的三角形面积 C ＞→

a ，→

b 为两边的三角形面积 ? 耠 ( ` D. 以→

b ，→

c 为邻边的平行四边形的面积

解析 假设→

a 与→

b 的夹角为θ，∣→

b ?→

c ∣=︱→

b ︱2︱→

c ︱2∣cos<→

b ，→

c >∣=︱→

b ︱2︱

→

a ︱?∣cos(900

±θ)∣=︱→b ︱2︱→a ︱?sin θ,即为以→a ，→

b 为邻边的平行四边形的面积，故选

A 。

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13. 复数()2

i

1+i 的实部是 -1 。

解析 ()2i 1+i =-1-I,所以实部是-1。

14. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则

劣弧AB 的长度小于1的概率为 。

解析解析：如图可设1AB =,则1AB =,根据几何概率可知其整体事件是其周

长3，则其概率是23。 15. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，

则实数a 的取值范围是 .

解析 解析：由题意该函数的定义域0x >，由()12f x ax x

'=+

。因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x

'=+存在零点。 解法 1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x

=存在交点。当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞

或是{}|0a a <。

解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x

+=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x

=-∈-∞ 16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，

当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。

解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.

这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.

17．(本小题满分)2分）

等比数列{}n a 中，已知142,16

a a == （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

解：（I ）设{}n a 的公比为q

由已知得3

162q =，解得2q =

（Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则38b =，532b = 设{}n b 的公差为d ，则有11

28432b d b d +=??+=?解得11612b d =-??=? 从而1612(1)1228n b n n =-+-=-

所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n

n n S n n -+-==- 18．（本小题满分12分）

袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （I ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。 解：（I ）一共有8种不同的结果，列举如下：

（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、

（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）

（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A

事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A

包含的基本事件数为3

由（I ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为3()8P A =

19．（本小题满分12分）

已知函数()sin(),f x x ω?=+其中0ω

>，||2π?< （I ）若cos cos,sin sin 0,44

ππ??3-=求?的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3

π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

解法一：

（I ）由3cos

cos sin sin 044ππ??-=得cos cos sin sin 044ππ??-= 即cos()04π

?+=又||,24π

π

??<∴=

（Ⅱ）由（I ）得，

()sin()4f x x πω=+ 依题意，

23T π= 又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x π

ω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为

()sin 3()4g x x m π?

?=++????

()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+

=+∈ 即()312

k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=

解法二：

（I ）同解法一

（Ⅱ）由（I ）得，

()sin()4f x x πω=+ 依题意，

23T π= 又2T πω=，故3,()sin(3)4

f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4

g x x m π?

?

=++????

()g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x R ∈恒成立

亦即sin(33)sin(33)44x m x m ππ

-++=++对x R ∈恒成立。 sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44

x m x m ππ∴-++-+ sin 3cos(3)cos3sin(3)44

x m x m ππ=+++ 即2sin 3cos(3)04x m π

+=对x R ∈恒成立。

cos(3)04

m π∴+= 故3()42m k k Z π

π

π+=+∈

()312

k m k Z ππ∴=+∈ 从而，最小正实数12m π=

20．（本小题满分12分） 如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ?

∠=，2,4AB AD ==将 CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥

（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

（I ）证明：在ABD ?中，2,4,60AB AD DAB ?

==∠=

222,BD AB BD AD AB DE ∴=

=∴+=∴⊥ 又 平面EBD ⊥平面ABD

平面EBD 平面,ABD BD AB =?平面ABD

AB ∴⊥平面EBD

DF ? 平面,EBD AB DE ∴⊥

（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥

在Rt DBE ?中，2DB DE DC AB ====

12

ABE S DB DE ?∴=?= 又AB ⊥ 平面,EBD BE ?平面,EBD AB BE ∴⊥ 14,42ABE BE BC AD S AB BE ?===∴=?=

,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD

而AD ?平面1,,42

ADE ABD ED AD S AD DE ?∴⊥∴=?=

综上，三棱锥E ABD -的侧面积，8S =+21．（本小题满分12分）

已知函数

321(),3

f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点； 解法一：

（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++

由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-

（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3

f x x ax a x =++-（ 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-

令'*()0f x =，则1x =-或12x a =-

①当1a >时，121a -<-

当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：

x

(,12)a -∞- (2,1)a -- (1)-+∞ '()f x

+ — + ()f x 单调递增 单调递减 单调递增

由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a -- ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R

③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调

减区间为(1,12)a --

综上：

当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --； 当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；

当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- （Ⅲ）当1a =-时，得

321()33f x x x x =-- 由3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=

由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-

所以函数()f x 在121.3x x =-=处取得极值。

故5(1,).(3,9)3

M N -- 所以直线MN 的方程为

813y x =-- 由22133813y x x x y x ?=--????=--??得32330x x x --+=

令32()33F x x x x =--+

易得(0)30,(2)30F F =>=-<，而()F x 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线， 故()F x 在(0,2)内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点 解法二：

（I ）同解法一

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x

=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值， 故5(1,),(3,9)3M N --

所以直线MN 的方程为813y x =-- 由32133813y x x x y x ?=--????=--??

得32330x x x --+=

解得1231, 1.3x x x =-==

1233121135119,,33x x x y y y =-=??=???∴???=-==-????

? 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-

22．（本小题满分14分） 已知直线220x y -+=经过椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>> 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭

圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3l x =

分别交于,M N 两点。

（I ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这

样的点T ，使得TSB ?的面积为

15

？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由 解法一：

（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴== 故椭圆C 的方程为2

214

x y += （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而

1016(,)33

k M 由22(2)14y k x x y =+???+=??得2222(14)16164k x k x k +++-=0

设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k

=+ 即222284(,),1414k k S k k

-++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ?=--????=??得1031

3x y k ?=????=-??

101(,)33N k

∴- 故161||33k MN k

=+

又16180,||333k k MN k >∴

=+≥= 当且仅当16133k k =，即14

k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，14

k = 此时BS

的方程为64

20,(,),||55

5x y s BS +-=∴= 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ?的面积等于15

，只须T 到直线BS

的距离等于4，所以T 在平行于BS 且与BS

距离等于

4

的直线l 上。 设直线':10l x y ++= 则

由|2=解得3

2t =-或5

2t =-

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