专题3 电场和磁场中的带电粒子

专题三 电场和磁场中的带电粒子

一、考点回顾

1．三种力： 重力

大小

电场力 洛伦兹力

G=mg=GMm/R

F=qE

f=Bqv

2

方向 竖直向下 与E方向平行 与B、v平面垂直（左手定则） 决定因素

由场决定，与物体的运动状态（v）无关 由场和物体的运动状态（v）共同决定

2．重力的分析：

(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；

(2)对于一些实际物体，如带电小球、液滴等不做特殊交待时就应当考虑重力； (3)在题目中有明确交待是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。 3．电场力和洛伦兹力的比较：

(1)在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛伦兹力的作用；

(2)电场力的大小与电荷的运动的速度无关；而洛伦兹力的大小与电荷运动的速度大小和方向均有关；

(3)电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛伦兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直；

(4)电场既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛伦兹力只能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小；

(5)电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛伦兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能；

(6)匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛伦兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧。

4．带电粒子在独立匀强场中的运动：

(1)不计重力的带电粒子在匀强电场中的运动可分二种情况：平行进入匀强电场，在电场中做匀加速直线运动和匀减速直线运动；垂直进入匀强电场，在电场中做匀变速曲线运动(类平抛运动)；

(2)不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动可分二种情况：平行进入匀强磁场时，做匀速直线运动；垂直进入匀强磁场时，做变加速曲线运动(匀速圆周运动)；

5．不计重力的带电粒子在匀强磁场中做不完整圆周运动的解题思路：

不计重力的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r=mv/Bq；其运动周期T=2?m/Bq(与速度大小无关)

(1)用几何知识确定圆心并求半径：因为F方向指向圆心，根据F一定垂直v，画出粒子运动轨迹中任意两点(大多是射入点和出射点)的F或半径方向，其延长线的交点即为圆心，再用几何知识求其半径与弦长的关系；

(2)确定轨迹所对的圆心角，求运动时间：先利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边

0

形内角和等于360°(或2?)计算出圆心角?的大小，再由公式t=?T/360(或?T/2?)可求出运动时间。

6．带电粒子在复合场中运动的基本分析

复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场。带电粒子在这些复合

场中运动时，必须同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用或其中某两种力的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要。所以问题本质还是物体的动力学问题。

分析此类问题的一般方法为：首先从粒子的开始运动状态受力分析着手，由合力和初速度判断粒子的运动轨迹和运动性质，注意速度和洛伦兹力相互影响这一特点，将整个运动过程和各个阶段都分析清楚，然后再结合题设条件，边界条件等，选取粒子的运动过程，选用有关动力学理论公式求解。

(1)粒子所受的合力和初速度决定粒子的运动轨迹及运动性质：

当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止。

当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动。 当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动，且恒力的合力一定为零。

当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理。

(2)匀变速直线运动公式、运动的合成和分解、匀速圆周运动的运动学公式；

(3)牛顿运动定律、动量定理和动量守恒定律； (4)动能定理、能量守恒定律。

7．实际应用模型有：显像管、回旋加速器、速度选择器、正负电子对撞机、质谱仪、电磁流量计、磁流体发电机、霍尔效应等等。

二、经典例题剖析

1．如图所示，在某水平方向的电场线AB上(电场线方向未标明)，将一受到水平向右恒定拉力的带电粒子（不计重力）在A点由静止释放，AB带电粒子沿AB方向开始运动，经过B点时的速度恰好· · 为零，则下列结论正确的有【 】

A．粒子在A、B两点间移动时，恒力做功的数值大于粒子在AB两点间电势能差的绝对值

B．可能A点的电势高于B点的电势，也可能A点的电势低于B点的电势 C．A处的场强可能大于B处的场强

D．粒子的运动不可能是匀速运动，也不可能是匀加速运动

解析：根据动能定理，恒力做的正功跟电场力做的负功，数值相等，即恒力做功跟电势能之差的绝对值应相等，A错误；带电粒子从A点由静止开始向B运动，经过B点时速度为零，这表明带电粒子在恒力和电场力作用下先做加速运动后做减速运动，因此粒子的运动不可能是匀速运动。同时表明电场力的方向向左。粒子先做加速运动，说明水平向右的恒力大于水平向左的电场力，后做减速运动，表明后来水平向左的电场力大于水平向右的恒力，因此粒子不可能做匀加速运动，D选项正确；粒子在B处受到的电场力比A处大，因此B处的场强大于A处的场强，C选项错误；如粒子带正电，电场线方向应由B指向A、B点电势高于A点电势；如粒子带负电，电场线方向应由A指向B，A点电势高于B点电势。因此，A、B两点电势的高低无法判断。答案：BD

点评：此题是动力学观点与电场性质、能量观点等知识点的综合应用判断题目。 2．如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3/4，圆环半径为R，斜面倾角为θ=53°，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？

解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37o，从图中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：F?mvDR2 即：1.25mg?m34vDR2

12由动能定理有：mg(h?R?Rcos37?)?联立可求出此时的高度h=10R

mg?(hcot??2R?Rsin37?)?mv2D

点评：用极限法通过分析两个极端（临界）状态，来确定变化范围，是求解“范围类”问题的基本思路和方法。当F供=F需时，物体做圆周运动；当F供>F需时物体做向心运动；当F供

3．如图所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源A，其电荷量Q = ＋4×10－3 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式为U?kQr，其中k为静电力恒量，r为空间某点到A的距离．有一个

质量为m = 0.1 kg的带正电小球B，B球与A球间的距离为a = 0.4 m，此时小球B处于平衡状态，且小球B在场源A形成的电场中具有的电势能表达式为??kQqr，其中r为q与Q之间的距离。有一质量也为

m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H = 0.8 m处自由下落，落在小球B上立刻也小球B粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运动到达的最高点P。（取g = 10 m/s2，k = 9×109 N·m2/C2），求：

(1)小球C与小球B碰撞后的速度为多少？

(2)小球B的带电量q为多少？

(3)P点与小球A之间的距离为多大？

(4)当小球B和C一起向下运动与场源A距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？

解析：(1)小球C自由下落H距离的速度v0 =

2gH= 4 m/s

小球C与小球B发生碰撞，由动量守恒定律得：mv0 = 2mv1，所以v1 = 2 m/s (2)小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球进行受力分析知：

mg?kqQa2 代入数据得：q?49?10?8C

(3)C和B向下运动到最低点后又向上运动到P点，运动过程中系统能量守恒，设P与A之间的距离为x，由能量守恒得：

12?2mv1?k2Qqa?2mg(x?a)?k25Qqx

代入数据得：x = (0.4＋

) m（或x = 0.683 m）

(4)当C和B向下运动的速度最大时，与A之间的距离为y，对C和B整体进行受力分析有：2mg?kQqy2，代入数据有：y =

25m（或y = 0.283 m）

由能量守恒得：

12?2mv1?k2Qqa?12?2mvm2?2mg(a?y)?kQqy

代入数据得：vm?16?82 m/s（或vm = 2.16 m/s） 点评：此题是动量守恒和能量守恒与电学知识的综合。 4．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示。离子源S产生带电量为q的某种正离子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的。粒子从容器A下方小孔S1飘入电势差为U的加速电场，然后经过小孔S2和S3后沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上。

(1)小孔S1和S2处的电势比较，哪处的高？?q在小孔S1和S2处的电势能，哪处高？如果容器A接地且电势为0，则小孔S1和S2处的电势各为多少？(设小孔极小，其电势和小孔处的电极板的电势相同)

(2)求粒子进入磁场时的速率和粒子在磁场中运动的轨道半径。

(3)如果从容器下方的S1小孔飘出的是具有不同的质量的带电量为q的正离子，那么这些粒子打在照相底片的同一位置，还是不同位置？如果是不同位置，那么质量分别为m,m?1,m?2,m?3,...的粒子在照相底片的排布等间距吗？写出说明。

解析：(1)由于电荷量为带正电的粒子，从容器下方的S1小孔飘入电势差为U的加速电场，要被加速，S1和S2处的电势比较，S1处的高，从小孔S1到S2电场力做正功，电势能减小，所以粒子在小孔S1处的电势能高于在S2处。如果容器A接地且电势为0，而小孔S1和S2处的电势差为U，所以小孔S1和S2处的电势各为0和-U。

(2)设从容器下方的S1小孔飘出的是具有不同的质量的电荷量为?q的粒子，到达S2的速度为v，经S3进入射入磁场区，根据能量守恒，有

12mv2?qU v=

2qUm

设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：mv2R?qBv R?mvqB?1B2Umq ?2B2Umq(3)在磁场中偏转距离d=2R?2mvqB

由于是具有不同的质量的粒子，所以距离d不同，这些粒子打在照相底片的不同位置。从上式可以看出，在磁场中偏转距离d与质量的平方根成正比，所以质量分别为m,m?1,m?2,m?3,...的粒子在照相底片的排布间距不等。

点评：此题是与质谱仪相关的一道习题，考查了学生对基本物理模型的理解和掌握。 5．某同学家中旧电视机画面的幅度偏小，维修店的技术人员检查后诊断为显像管或偏转线圈出了故障。通过复习，他知道显像管的简要工作原理是阴极K发射的电子束经高压加速电场（电压为U）加速后，进入放置在其颈部的偏转线圈形成的偏转磁场中偏转，偏转后的电子轰击荧光屏，荧光粉受激发而发光，如图所

k A U B B P

示是显象管工作原理的示意图。已知阴极k发射出的电子束（初速度可视为零）经高压加速电压U = 22.5 KV加速后（电子从阴极到阳极的过程为加速过程），正对圆心进入磁感应强度为B，半径为r的圆形匀强磁场区，偏转后打在荧光屏P上。(电子的电量为q = -1.6×10-19C，

-30

质量m = 0.91×10kg)。请你帮他讨论回答下列问题：

(1)电子在A处和B处的电势能，哪处高？电场力对电子做的功为多少？电子到达阳极的速度为多少？

(2)若电子的荷质比为K，电子通过圆形磁场区过程的偏转角α是多大？(用字母表示) (3)试帮助维修店的技术人员分析引起故障的原因可能是什么？ 解析：(1)在电子从阴极A到阳极B的过程中要被加速，A和B处的电势比较，A处的高，电场力做正功，电势能减小，所以粒子在小孔A高于B处的电势能。 WAB = q U=1.6×10-19×22.5×103=3.6×10-15 J，是正功

由W?12mv 得v?1222WmmvmvBerR2?2?3.6?100.91?10?15?30m / s = 8.9×10 m / s

7

(2)电子被加速Ue? 电子在磁场中

?vBKP k U B r R θ α 偏转的轨道半径如图，R?

而图中α=2θ，又tan??

K2U由以上四式可得??2arctanrB

⑶由??2arctanrBK2U知，偏转α越大，偏转量越大，荧光屏上的画面幅度越大。

由此可见，故障的原因可能是：①加速电场的电压过高；②偏转线圈的电流过小；③偏转线圈匝间短路，线圈匝数减少，偏转磁场减弱。

点评：此题是一道带电粒子的实际应用题型，考查了带电粒子在电场中的加速、有界圆形磁场中的偏转，运动过程多，需要细致准确的分析和做图。

6．如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为－q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C点进M 入磁场，并以最短的时间从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且

d C E B R 碰撞后以原速率返回。求：

-q , m A (1)筒内磁场的磁感应强度大小； N (2)带电粒子从A点出发至重新回到A点射出所经历的时间。

解析：(1)带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短。

1

由qE＝ mv2 粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为v＝2mv1由r＝ 由几何关系有Rcot30°＝ r 得B＝

qBR(2)粒子从A→C的加速度为a＝qE／md 由d＝at12/2，粒子从A→C的时间为t1＝2d=da

2mE 3q2m qE

3m

2qE

2qE m

粒子在磁场中运动的时间为t2＝T／2＝πm／qB 得t2＝πR求得t＝2t1＋t2＝m3（22d +πR）点评：此题是电场、磁场和碰撞有机结合在一qE2

起的题目，需要对带电粒子的运动有一个准确的分析和求解。

7．如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向里和向外，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向下为正方向建立x轴。板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为

m，电荷量为e，初速度可以忽略。求：

(1)当两板间电势差为U0时，求从小孔S2射出的电子的速度v0；

(2)两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上；

(3)电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。 解析：(1)根据动能定理，得eU0?12mv0 解得v0?22eU0mmveB

?d

(2)欲使电子不能穿过磁场区域而打在荧光屏上，应有r?而eU?12mv由此即可解得U?2deB2m22

(3)若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿过磁场区域打在荧光屏上的位置坐标为x，则由轨迹图可得x?2r?2r2?d2 注意到r?mveB和eU?12mv

2所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为

x?2eB(2emU?2emU?deB)(U≥222deB2m22)

点评：此题是电场中加速、两有界磁场结合一起的题目，需要对带电粒子的运动进行分析和讨论，对临界情况有一准确的判断，从而

B

得出正确的结论。

8．如图所示，在地面附近有一范围足够大

v 的互相正交的匀强电场和匀强磁场。磁感应强

P 45° H

度为B，方向水平并垂直纸面向外。一质量为m、带电量为－q的带电微粒在此区域恰好作速度大小为v的匀速圆周运动。（重力加速度为g）

(1)求此区域内电场强度的大小和方向。

(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°，如图所示。则该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？

(3)在(2)问中微粒又运动P点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向右，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少？

解析：(1)带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，因此：mg=Eq 解得：E?mgq 方向：竖直向下

(2)粒子作匀速圆周运动，轨道半径为R，如图所示。qBv?mv2R 最高点与地面的距离：Hm?H?R(1?cos45?)

mvBq(1?22)

解得：Hm?H?45° P 38T?2该微粒运动周期为：T?2?mBq 运动到最高点所用时间为：t?03?m4Bq

(3)设粒子升高度为h，由动能定理得：?mgh?Eqhcot45＝0-解得：h? ＝2（mg?Eq）4gv212mv

mv2v2微粒离地面最大高度为：H?4g

点评：此题考查了带电粒子在重力场、电场和磁场三场并存情况的分析，需要进行准确的动力学分析，综合应用知识求解。

三、方法总结与2008年高考预测

（一）方法总结

综合上述例析，可以看出：要正确、迅速解答带电粒子在复合场内运动类问题，首先必须弄清物理情境，即在头脑中再现客观事物的运动全过程，对问题的情境原型进行具体抽象，从而建立起正确、清晰的物理情境；其二，应对物理知识有全面深入的理解；其三，熟练掌握运用数学知识是考生顺利解决物理问题的有效手段。

分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处就是多了电场力和磁场力，其思路、方法与解题步骤相同，因此在利用力学的三大观点（动力学、能量、动量）分析的过程中，还要注意：

1．洛伦兹力永远与速度垂直、不做功

2．重力、电场力做功与路径无关，只由初末位置决定，当重力、电场力做功不为零时，粒子动能肯定变化。

3．洛伦兹力随速率的变化而变化，洛伦兹力的变化导致了所受合外力变化，从而引起加速度变化，使粒子做变加速运动。

（二）2008年高考预测

从历年高考试题可以观察到：

1．命题在能力立意下，惯于物理情景的重组翻新，设问的巧妙变幻，即所谓旧题翻新，

具有不回避重复的考查特点；

2．力、电综合命题多以带电粒子在复合场中的运动为载体考查学生理解能力、推理能力、综合分析能力及运用数学知识解决物理问题的能力；

3．带电粒子在复合场中的运动的命题，集中融合力学、电磁学等知识，其特点构思新颖、综合性强，突出考查考生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力。

因此，力、电综合问题，仍将是近年综合测试不可回避的命题热点，应引起足够的关注。

四、强化训练

（一）选择题

1．如图所示，在粗糙绝缘水平面上固定两个等量同种电荷P、Q，在PQ连线上的M点由静止释放一带电滑块，则滑块会由静止开始一直向右运动到PQ连线上的另一点N而停下，则滑块由M到N的过程中，以下说法正确的是【 】

A．滑块受到的电场力一定是先减小后增大 B．滑块的电势能一直减小

C．滑块的动能与电势能之和可能保持不变 D．PM间距一定小于QN间距

2．如图所示，宽h=2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=5cm，则【 】

A．右边界:-4cm4cm和y<-4cm有粒子射出 C．左边界:y>8cm有粒子射出

D．左边界:0

3．如图6所示。在一个半径为R的圆形区域内有一匀强磁场，磁场方向垂直于圆面向里。一个带电粒子从此场边界的A沿指向圆心O的方向进入磁场区域内，粒子将做圆周运动到达磁场边界的C点。但在粒子经过D点时，恰好与一个原来静止在该点的完全相同的粒子碰撞后结合在一起形成新粒子。粒子的重力不计。关于这个新粒子的运动情况，以下判断正确的是【 】

A．在磁场中运动的整个过程中，系统的总机械能不变 B．运动半径将增大，可能到达E点

C．运动半径将不变，在磁场中运动的时间变短 D．运动半径将减小，可能到达F点

4．示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形。它的工作原理等效成下列情况：（如图2所示）真空室中电极K发出电子（初速不计），经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板A、B间的中心线射入板中。在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线垂直的范围很大的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交，电子通过极板打到荧光屏上将出现亮点，若在A、B两板间加上如图乙所示的变化电压，则荧光屏上的亮点运动规律是【 】

O

y/cm 2 x/cm

A．沿y轴方向作匀速运动 C．沿y轴方向作匀加速运动

B．沿x轴方向作匀速运动 D．沿x轴方向作匀加速运动

B 5．回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示.它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近，分别和高频交流电源相连接，两盒间的窄缝中形成匀强电场，使带电粒子每次通过窄缝都得到加速。两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，带电粒子在磁场中做圆周运动，通过两盒间的窄缝时反复被加速，直到达到最大圆周半径时通过特殊装置被引出。如果用同一回旋加速器分别

4加速氚核（3H）和α粒子（2He）比较它们所加的高频交流电源1~ 的周期和获得的最大动能的大小，有【 】

A．加速氚核的交流电源的周期较大，氚核获得的最大动能也较大 B．加速氚核的交流电源的周期较大，氚核获得的最大动能较小

C．加速氚核的交流电源的周期较小，氚核获得的最大动能也较小 D．加速氚核的交流电源的周期较小，氚核获得的最大动能较大 6．如图所示，在某空间同时存在着相互正交的匀强电场E和匀强磁场B，电场方向竖直向下，有质量分别为m1、m2的a、b两带负电的微粒，a的电量为q1，恰能静止于场中空间的c点，b的电量为q2，在过c点的竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动，在c点a、b相碰并粘在一起后做匀速圆周运动，则【 】

A．a、b粘在一起后在竖直平面内以速率动

B．a、b粘在一起后仍在竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动 C．a、b粘在一起后在竖直平面内做半径大于r的匀速圆周运动 D．a、b粘在一起后在竖直平面内做半径为

（二）解答题

1．如图所示，在A点固定一正电荷，电量为Q，在离A高度为H的C处由静止释放某带正电荷的液珠，开始运动瞬间的加速度大小恰好等于重力加速度g。已知静电常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：

(1)液珠的比荷；

(2)液珠速度最大时离A点的距离h；

·B

q2q1?q2rB c E B(q1?q2)m1?m2r做匀速圆周运

的匀速圆周运动

·C A

(3)若已知在点电荷Q的电场中，某点的电势可表示成??kQr，其中r为该点到Q的距

离（选无限远的电势为零）。求液珠能到达的最高点B离A点的高度rB。

2．如图所示，带正电小球质量为m＝1×10-2kg，带电量为q＝l×10C，置于光滑绝缘水平面上的A点。当空间存在着斜向上的匀强电场时，该小球从静止开始始终沿水平面做匀加速直线运动，当运动到B点时，测得其速度vB ＝1.5m／s，此时小球的位移为S

＝0.15m．求此匀强电场场强E的取值范围。(g＝10m／s2)

某同学求解如下：设电场方向与水平面之间夹角为θ，由动能定理qEScosθ＝

mvB2qScos?2-6

12mvB－0

2得E?＝

75000cos?V／m。由题意可知θ＞0，所以当E ＞7.5×104V／m时小球将始终

沿水平面做匀加速直线运动。

经检查，计算无误。该同学所得结论是否有不完善之处?若有请予以补充。

3．如图所示，虚线上方有场强为E的匀强电场，方向竖直向下，虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场，方向垂直纸面向外，ab是一根长为L的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端在虚线上.将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后，小球先做加速运动，后做匀速运动到达b端。已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数μ=0.3，小球重力忽略不计，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，圆的半径是L/3，求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。

a E b B

4．如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁

－3

感应强度均为B＝5.0×10T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m＝6.64×10

－27

㎏、电荷量为q＝＋3.2×10－19C的α粒子（不计α粒子重力），由静止开始经加速电压为

U＝1205V的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（－4，2）处平行于x轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域。

(1)请你求出α粒子在磁场中的运动半径；

(2)你在图中画出α粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；

(3)求出α粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。 y/m 2

5．如图所示，oxyz坐标系的y轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与x轴平行。从y轴上的M点（0，H，0）无初速释放一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，它落在xz平面上的N（L，0，b）点（L>0，b>0）。若撤去磁场则小球落在xz平面的P点（L，0，0）。已知重力加速度为ｇ。

(1)已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向； (2)求电场强度E的大小；

y (3)求小球落至N点时的速率v。

M(0,H,0)

o P(l,0,0) x

N(l,0,b) z

M v B －4 －2 O 2 4 x/m －2 B

6．如图所示，在距地面一定高度的地方以初速度v0向右水平抛出一个质量为m，带负电，带电量为q的小球，小球的落地点与抛出点之间有一段相应的水平距离（水平射程），求：

(1)若在空间加上一竖直方向的匀强电场，使小球的水平射程增加为原来的2倍，求此电场的场强的大小和方向；

(2)若除加上上述匀强电场外，再加上一个与v0方向垂直的水平匀强磁场，使小球抛出后恰好做匀速直线运动，求此匀强磁场的磁感应强度的大小和方向。

（四）创新试题

1．如图(a)所示，x轴上方为垂直于平面xoy向里的匀强磁场，磁感应强度为B，x轴下方为方向平行于x轴但大小一定(设为E0)、方向作周期性变化的匀强电场，在坐标点为(R、R)和第四象限中某点，各有质量为m、带电量为q的正点电荷P和Q（不

y P 计重力，也不考虑P和Q之间的库仑力），现使P在

x O 匀强磁场中开始做半径为R的匀速圆周运动，同时释放Q，要使两电荷总是以相同的速度同时通过y

Q 轴，求：

(1)场强E0的大小及其起始方向和变化周期T；

图（a）

(2)在图(b)中作出该电场变化的E?t图象(以释

放电荷P时为初始时刻，x轴方向作为场强的正方向)，要求至少画出两个周期的图象。

E E

0T2Tt?E0图 (b)

2．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子，设电子重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r。已知电子的电量为e，质量为m。

(1)速度方向分别与Ox方向夹角成60°和90°的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？

(2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？ (3)设在某一平面内有M、N两点，由M点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子。请设计一种匀强磁场分布（需作图说明），使得由M点发出的所有电子都能够汇集到N点。

解析答案：（一）选择题

1．D（由于地面粗糙，滑块可能最终静止在PQ连线的中点上、中点的左方或右方，其动能与电势能的总和将减少，所以PM间距一定小于QN间距）

2．AD 3．D（因完全相同的粒子碰撞后结合在一起，动量守恒mv不变，而电荷量为原来的2 倍，碰撞中机械能有损失。根据r?4．A 5．B 6．D （二）解答题

1．解析：(1)设液珠的电量为q，质量为m

由题意知，当液珠在C点时kQqh2mvqB可知，r变小，故D正确。）

QqH2?mg?mg 解得比荷为：

qm?2gHkQ2

(2)当液珠速度最大时k?mg 得h?2H

kQHkQrB(3)设BC间的电势差大小UCB，由题意得UCB=?C??B??

对由释放至液珠到达最高点(速度为零)的全过程应用动能定理得 qUCB-mg(rB-H)=0 即q(kQH2

?kQrB)-mg(rB-H)=0

2

将第(1)问的结果代入化简rB-3HrB+2H=0 解得rB=2H rB′=H(舍去)

2．解析：该同学所得结论有不完善之处。

为使小球始终沿水平面运动，电场力在竖直方向的分力必须小于等于重力， 即：qEsinθ≤mg 所以tg??mgmvB2S2?2SgvB2?2?0.15?102.25?43

E?mgqsin??1?10?2?10?45V/m?1.25?10V/m 即：7.5×10V/m＜E≤1.25×10V/m

545

1?10?63．解析：小球在沿杆向下运动时，受力情况如图所示： 在水平方向：N=qvB 所以摩擦力f=μN=μqvB 当小球做匀速运动时：qE=f=μqvbB

小球在磁场中做匀速圆周运动时，qvbB?m又R?L3f qvB vbR2N

qE

，所以vb?qBL3m

12mvb

2小球从a运动到b的过程中，由动能定理得：W电－Wf?qBL10m222而W电?qEL??qvbBL?W49 所以Wf?W电－12mv2b?2BqL45m222

则

fW电?

1224．解析：(1)粒子在电场中被加速，由动能定理得 qU?α粒子在磁场中偏转，则牛顿第二定律得qvB?m联立解得r?1B2mUq?10.0052?6.64?10?27mv

v2r

?2（m）

?12053.2?10?19(2)由几何关系可得，α粒子恰好垂直穿过分界线，故正确图象为

y/m

(3)带电粒子在磁场中的运动周期T?2?rv?2?mqBM v B 2 －4 －2 O 2 4 x/m －2 B （4，?2）

α粒子在两个磁场中分别偏转的弧度为

?4，在磁场中的运动总时间

?27?3t?14T??m2qB?3.14?6.64?102?3.2?10?19?5?10?6.5?10?6（s）

5．解答：(1)用左手定则判断出：磁场方向为－x方向或－y方向。

(2)在未加匀强磁场时，带电小球在电场力和重力作用下落到P点，设运动时间为t，小球自由下落，有H?12gt

2小球沿x轴方向只受电场力作用FE?qE 小球沿x轴的位移为l?联立求解，得：E?12at 小球沿x轴方向的加速度a?2FEm

mglqH(3)带电小球在匀强磁场和匀强电场共存的区域运动时，洛仑兹力不做功 电场力做功为WE=qEL 重力做功为WG=mgH

设落到N点速度大小为v，根据动能定理有mgH?qEl?H212mv

2解得v?2g?l2H

126．解答：(1)不加电场时，小球运动的时间为t，水平射程为s?v0t，下落高度h=加电场后小球在空间的运动时为t'，小球运动的加速度为a 2s=v0 h=解得: t′=2t a=

1214gt2

at,2

g 由此可以判断:电场方向竖直向下。

34并解得电场力的大小Eq?mg 即E?3mg4q

(2)加上匀强电场后，小球做匀速直线运动，故小球所受重力、电场力和洛仑兹力三个力而处于平衡，由于重力大于电场力，所以洛仑兹力方向竖直向上。

即mg?Eq?qv0B解得B?mg4qv0 用左手定则可得：磁场方向垂直于纸面向外

（三）创新试题

1．解析：(1)由题意，要使两电荷总是以相同的速度通过y轴，磁场中的电荷必须垂直y轴通过，因P点电荷为正电荷，故起始运动方向竖直向上，且一个周期内P点电荷两次以相反的速度通过y轴。

由牛顿运动定律得qvB?mvR2 电荷在磁场中运动的周期为T?2?mBq

所以电场变化周期和点电荷圆周运动周期相同，即 T?2?mBq

P点电荷经在0—

T4T4第一次通过y轴，Q点电荷在电场中往复直线运动，

T4内有qE0

2=mv 而v?BqRm

可求得E0?2qBR，

?m起始方向为-x方向。 (2)见图

2．解析：(1)当θ=60°时，t1?T6??r3v；当θ=90°时，t2?T4??r2v v (2)如右图所示，因∠OO2A=θ故O2A⊥Ox 而O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向沿x轴正向。

(3)上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀强磁场后，一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下图所示。

注：①四个圆的半径相同，半径r的大小与磁感应强度的关系是r=mv0/qB；

②下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于MN对称且磁场方向与之相反；

③只要在矩形区域M1N1N2M2内除图中4个半圆形磁场外无其他磁场，矩形M1N1N2M2区域外的磁场均可向其余区域扩展。

M2

N2

M N M1 A v θ θ o2 ?o N1 x 五、复习建议

力电综合类题目以力和能量为主线，通过力学知识和电学知识的串接渗透作为背景，进行综合命题，其解题思路和解题步骤如下。

1．画草图，想情景：审题是解题的首要环节，在全面审视题目的条件，解答要求的基础上，对题目的信息进行加工处理，画出示意图(包括受力分析图，运动情景图和轨迹图)，借助图示建立起清晰的物理情景；

2．选对象，建模型：通过对整个题目的情景把握，选取研究对象，通过抽象、概括或类比等效的方法建立相应的物理模型，并对其进行全面的受力分析；

3．分析状态和过程：对全过程层层分析，对每一个中间过程的特点规律加以研究，分析挖掘相邻过程中的临界状态和临界条件，寻找各阶段物理量的变化与联系；

4．找规律、列方程：在对物理状态和物理过程深刻把握的基础上，寻找题设条件与所求未知物理量的联系，从力的观点或能量的观点，依物理规律(牛顿第二定律，能的转化与守恒，动量守恒定律等)列出方程求解；

5．检验结果行不行：对题目的所求结果进行检验，并对其结果进行物理意义上的表述

和讨论。

此外，在解题过程中，要特别注意以下两点。

第一：对物体受力分析要全面，切忌漏力，要时刻关注电场力F＝qE，洛伦兹力F＝ｑvB在具体情景中随物体带电属性(电荷的正负)、运动状态(速度的大小和方向)的变化特点；

第二，力学的规律普遍适于力电综合问题的求解。利用能量观点分析求解时，不再拘泥于机械能间转化，要总揽全局，站在更高的角度来分析能量间的转化途径与转化方向，从而列出能量转化和守恒方程。

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