正交试验结果的统计分析方法

介绍正交试验的分析方法

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规 表 在 律 现 ： () ij正 和 的 数 不 ， 个 平 近 零 1 ε 的 负 个 差 多 多 的 均 于 ； ( 误 小 比 差 的 ； 2) 差 的 误 大 多 ( 不 试 之 ， 差 大 是 相 的 即 ij之 是 此 立 。 3) 同 验 间 误 的 小 不 关 ， ε 间 彼 独 的 用 句 来 ， ij是 互 立 随 变 。 从 态 布 ( , 2) 一 话 说 ε 相 独 的 机 量 遵 正 分 N µ σ

µ ε 是 知 。 真 µ 表 为 式 (2-1-1)中 i和 ij都 未 的 而 值 i可 达 ： µi = µ + (µi µ) = µ + ai式 中 1 p µ = ∑µi p i=1 ai = µi µ (2 1 2)

i =1 ,2,......,p

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µ称为一般平均。ai是µi对于µ的偏移，为Ai的水平效应或主效应。 所以把µi理解为： (一般平均)+(Ai平均效应) ∴Xij = µ + ai +εij i =1,2,......, p (2 1 3)即：Xij = (一般平均)+(Ai平均效应)+(误差) 显然{ai }之间有关系

∑a = 0i i=1

p

(2 1 4)

ai ____ 表示水平Ai对试验结果产生的影响。

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方 分 的 学 型 几 假 差 析 数 模 的 条 定 ( Xij = µ + ai + εij 1) () ai = 0 2∑i=1 p

i =1,2,......, p j =1,2,......,r

() ij是 互 立 遵 正 分 N( , 2) 3 ε 相 独 且 从 态 布 µ σ 由 三 建 的 型 做 性 型 这 条 立 模 叫 线 模 建 数 模 后 统 分 需 解 立 学 型 ， 计 析 要 决两 问 个 题 ( 参 估 1) 数 计 ( 统 检 2) 计 验

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(二)参数估计

参数估 计即通过子样( 样本，一组试验 数据)算出统计 量， 用这些 统计量µ和 i},它 {a 们的估计量用µ 和ai 表示 。 根据子 样平均值的定义_ 1 r 1 r xi = ∑xij = ∑(µ + ai + εij ) = µ + ai + εi r j =1 r j =1 _ ∧ ∧

(2 1 5)_

1 p x= ∑ p r i=1_ _

1 p ∑xij = p r ∑ j =1 i =1r _

∑(µ + a +ε ) = µ +εj =1 i ij

r

(2 1 6) (2 1 7)

1 r 式中 εi = ∑εij : r j =1

1 p ε= ∑ p r i=1

∑εj=1

r

ij

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x是µ的一个 无偏估计量 ，记作 µ = x ai的无偏 估计是xi x_ _

_

∧

_

( --) 2 1 8 (2 1 9) (2 1 10)

即 ai = xi x∧ ∧

∧

_

_

于是(2-1-3)可以改写 为： xij = µ+ ai + lij 式中lij反 映了误差

根据(2-1-10)对试验数 据进行分解， 通过数据的分解 可看出 水平效 应和误差大小 。

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例2-1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同 - 考察温度对一化工产品的得率的影响， 的温度，同一温度做了三次试验， 的温度，同一温度做了三次试验，结果如下： 表2-1测定结果A 温度(℃) ( ) 得 率 (%) 平均得率 A1 60 90 92 88 90 A2 65 97 93 92 94 A3 70 96 96 93 95 A4 75 84 83 88 85 A5 80 84 86 82 84

总 均x = 89.6 平

_

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总 均x = 89.6 平

_

依(2-1-10)式有： l11 = x11 µ a1 = 90 89.6 0.4 = 0 l12 = x12 µ a1 = 92 89.6 0.4 = 2 l13 = x13 µ a1 = 88 89.6 0.4 = 2 这样xij 就

可以分解成三个数之和： x11 = 89.6 + 0.4 + 0 x12 = 89.6 + 0.4 + 2 x13 = 89.6 + 0.4 2∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

µ = x = 89.6a1 = x1 x = 90 89.6 = 0.4∧ _ _ ∧ _

∧

_

a2 = x2 x = 94 89.6 = 4.4 a3 = x3 x = 95 89.6 = 5.4 a4 = x4 x = 85 89.6 = 4.6 a5 = x5 x = 84 89.6 = 5.6∧ _ _ ∧ _ _ ∧ _ _

_

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对其它数据也进行类似分解 ，通过对数据 的分解，可以看到分组因素(温度) 的分解，可以看到分组因素(温度)影响的大 小和试验误差的大小。 小和试验误差的大小。因 ： 即： 移项 ： xij = µ+ aij + lij xij = x+ (xi x) + (xij xi ) (xij x) = (xi x) + (xij xi )_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∧ ∧

(2 1 11)

平均值 上式说明 ，测量值与总平均的 变差，是组平均值与总 之变差已 经测量值与组平均值之 变差的和 。

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方差分析 的基本方程式(即 方差和的加和性原理 ): (xij x) 的加和= (xi x) 的加 + (xij xi )2的 和 加和2 2 _ _ _ _ _

即

总差方和= 组间差方和 +组内差方和 组内差方 和____表 征试验误差的大小

(2 1 12)

式中，组 内差方和____表征分组因素效应 的大小

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(三)统计检验如果统计假设是 对的，即因素A对测量指标没 有影响，则效 应 {ai}全为零。 设为统计假设H0 1、组内变差平 方和的平均值 ： Se = ∑i =1 p

∑(xj =1

r

ij

xi )2

_

(2 1 13)

Se _____ 组内 平方和 组内差方和的平 均值 Se = Se / p(r 1) Se又 称为组内均方_ _

(2 1 14)

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2、组 间变差平方和的 平均值 SA = ∑i =1 p

∑(x x) = r∑(x x)i i j =1 i =1

r

_

_

p

_

_

(2 1 16)

SA _____ 组间平方和 组间差方和的 平均值(又 称为组间均方 )_

∑ ∑(x x)i i =1 j =1

p

r

_

_

2

SA =_

p 12 2

=

r∑(xi x)2i =1

p

_

_

p 1

(2 1 17) (2 1 18)

E(SA ) = rσ A +σ0 rσ2 A 2 0 _

+σ 是SA 的数学期 望或者期望方 差

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如果统计假设 0成立 H ,可作F检验： SA / f A SA rσ A +σe F= = _ = (2 1 19) 2 Se/ fe σe Se 如果统计假设 成立，即分组 因素A对测定值没有影 响，因素A2 2 _

的效应 为零，即组间 方差σ A = 0 。则2

F = SA/ Se 应该是 1 与相近 的一个数。 所以F近于 表 H0成立 1 示 。 F>F 显著 临 F<F 不显著 临

_

_

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可以证明 ST = SA + Se fT = f A + fe (2 1 20)叫变差平方和分解公式 (2 1 21)叫自由度分解公式 (2 1 20) (2 1 21)

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二、正交试验方差分析的数学模型 (一)数学模型 一 数学模型根据一般线性模型的假定,若 次试验结果 如例111中的转化率 次试验结果(如例 中的转化率 中的转化率) 根据一般线性模型的假定 若9次试验结果 如例 以x1、x2,…,x9表示,我们首先假定  、 表示 我们首先假定: 我们首先假

定 (1)三个因素间没有交互作用。 三个因素间没有交互作用。 三个因素间没有交互作用 (2)为9个数据可分解为 个数据可分解为: 为 个数据可分解为 x1=µ+a1+b1+c1+ε1 x2=µ+a1+b2+c2+ε2  x3=µ+a1+b3+c3+ε3  x4=µ+a2+b1+c2+ε4  x5=µ+a2+b2+c3+ε5 2 

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x6=µ+a2+b3+c1+ε6  x7=µ+a3+b1+c3+ε7  x8=µ+a3+b2+c1+ε8  x9=µ+a3+b3+c2+ε9 3 3 2 其中:µ——一般平均 估计=∑xi=x1+x2+……+x9叫全部数据的 其中 一般平均;估计 叫全部数据的 一般平均 估计 总体平均值。 总体平均值。 a1、a2、a3表示 在不同水平时的效应。 、 、 表示A在不同水平时的效应。 表示 在不同水平时的效应 b1、b2、b3表示 在不同水平时的效应。 表示B在不同水平时的效应 、 、 表示 在不同水平时的效应。 c1、c2、c3表示 在不同水平时的效应。 表示C在不同水平时的效应 、 、 表示 在不同水平时的效应。 (3)各因素的效应为零 或者 各因素的效应的加和为零 各因素的效应为零,或者 各因素的效应为零 或者,各因素的效应的加和为零 ∑ai=0 ∑bi=0 ∑ci=0

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(4) {εi}是试验误差 它们相互独立 且遵从标准正态分布 是试验误差,它们相互独立 且遵从标准正态分布N(0,1), 是试验误差 它们相互独立,且遵从标准正态分布 所以多个试验误差的平均值近似等于零。 所以多个试验误差的平均值近似等于零。 (二)参数估计 参数估计 二 参数估计 有了数学模型,还应通过子样的实测值 还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作 有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作 出估计。 出估计。 由数理统计知识 _ E(x )=µ ( )= _ _ _ E(x )——表示 的数学期望。即，x 是µ的一个无偏估计 ( 表示 x 的数学期望。  的一个无偏估计 可表示为： 量。可表示为：

µ=x

∧

_

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§2-2正交试验的方差分析法一、方差分析的必要性极差分析不能估计试验中以及试验结果测定 中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点， 中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点， 可采用方差分析的方法。 可采用方差分析的方法。方差分析法是将因素水平(或交互作用) 方差分析法是将因素水平(或交互作用)的变 化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的 试验结果间的差异区分开来的一种数学方法 所谓方差分析， 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将 总变差平方和进行分解， 总变差平方和进行分解，而你还进行统计检验的一 直数学方法。 直数学方法。

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