东南大学工程矩阵试卷new

*（12%）在C2?2中，已知

V??x?2x????|?x,y?C?， V??x?y??1????y?2y?2?????2x2y??|?x,y?C??????

??分别求V1，V2，V1?V2及V1?V2的基.

*（8%）设f,g为线性空间V上的线性变换，且fg?f. 试证：V?K(f)?R(g)；

*（16%）在C2?2上已知线性变换

f(X)???dc???0a???， ?X???ab???cd??2?2??C 〉求f在基?E11,E12,E21,E22?下的矩阵A；

〉并求A的Jordan标准形.

* 已知A的特征多项式与最小多项式都是?5，分别求A及A2的Jordan标准形.

*（8%）设?,?为欧氏空间V（未必是有限维的）上两正交的单位向量，作线性变换：

f(?)???a??,????b??,???， ???V

求使f为正交变换的实数a与b之一切值.

*（8%）已知n阶方阵A满足A2?2A?8I，且A?2I的秩是r，求det(A?I).

*（10%）设A,B为方阵，作M???AO???OB???，设t是参数.

〉试证：eMt???eAtO????OeBt??；

〉已知A???111???1??01???，B????11???，求eMt. *（10%）设?为n?1矩阵，?为s?1矩阵，作A???H.

〉求A?（用?,?表示）；

〉试证：AF??2?2.

*（10%）试证：若A为n阶正规矩阵，则

H?maxxAx?x?CnxHx??(A)?A2

*（18%）证明下列命题：

〉若方阵A的特征值全为零，则必存在正整数k，使Ak?O.

〉设A是n阶正定矩阵，?1,?2,?,?n是n维非零列向量. 若当i?j时，总有

?HiA?j?0，则?1,?2,?,?n必线性无关.

〉若n阶方阵A与G满足：①. A2?A； ②. GAG?G； ③. R(G)?R(A)

则G2?G（证明时请注明每一步的理由）.

*（16%）已知矩阵A???11??01??，B???23??02??，C2?2的子集

V??X|AX?XA,X?C?，

〉证明：V是C2?2的子空间；

1

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明：B?V，并求B在上小题所得基下的坐标。 *（20%）已知C2?2的子空间

??x?y????xx??V1???yy?|x,y?C?， V2????xy?|x,y?C?

??????分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的一组基及它们的维数。 ?30*（12%）已知矩阵A??31???202?2*（16%）设C上的线性变换

8?6?，求A100。 ?5??f定义为：

0??a?d?ab?2?2， f(X)???X??C???b?c??c?cd?〉求f在V的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数。

*（12%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)相等，均等于(??1)(??2)2，

?100?矩阵B??120?。

?112???〉分别求A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?1234?2341?，证明：A的谱半径?(A)?10。

*（10%）已知矩阵A???3412???4123???000?*（16%）已知矩阵A??000?。

??330??At〉求矩阵函数e；

?〉求A的广义逆矩阵A。

*（12%）设V是n维欧氏空间，??V是单位向量，k是一参数，V上的线性变换f 定义为：

f(?)???k??,???， ???V

问：当k取何值时，f是正交变换？

AtrA*（6%）证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）。

2?2*（20%）设C上的线性变换f定义为：

?tt??ab?2?2， f(X)???X??C????tt??cd?其中，t表示矩阵X的迹tr(X)?a?d。

〉求f在V的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数； 〉问：R(f)+K(f)是否为直和？为什么？

2

*（18%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)相等，均等于(??1)?，矩阵

2?110??。

B??001????000??〉分别求A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?5000????*（12%）已知矩阵A?0111，求A的广义逆矩阵A。

????0101??

?100???At*（12%）已知矩阵A?010，求矩阵函数e。

????111??*（6%）

〉证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）。

〉假设A是正规矩阵。若A的特征值全是实数，证明：A是Hermite矩阵。 *（20%）已知矩阵A??11?，B??52?，M??02?，C????????????〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明B?V，并求B在上小题所得基下的坐标； *（12%）

〉已知n阶方阵A满足A?7I?6A，且A?7I的秩为r，求det(A?2I)； 〉证明：若方阵B的特征值全为零，则必存在正整数k，使B22?2AtrA1020132?2的子集

V??X|AX?XA,X?C2?2?

?O。

*（12%）已知矩阵A的特征多项式C(?)及最小多项式m(?)相等，均等于(??1)?2，矩

?100?阵B??100?。

??110??〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?003?*（18%）已知矩阵A??003?。

?000???〉求矩阵函数e；

?〉求A的广义逆矩阵A。

011311*（20%）已知矩阵A??10?，B??11?，M??02?，C????????????V证明：V是C2?22?2的子集

V??X|AX?XA,X?C2?2?

的子空间；

3

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明B?V，并求B在所得基下的坐标； 〉问：M是否属于V？为什么？

*（12%）已知矩阵A的特征多项式C(?)及最小多项式m(?)相等，均等于(??1)?2，矩

?100?阵B??100?。

?010???〉分别写出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

*（12%）

2〉已知n阶方阵A满足A?I，且A?I的秩为r，求detA；

〉证明：若方阵B的特征值全为零，则必存在正整数k，使B?O。

?000?*（18%）已知矩阵A??000?。

??110??〉求矩阵函数e；

?〉求A的广义逆矩阵A。

*（10%）设V是n维欧氏空间，??V是单位向量，c是参数，V上的线性变换f 定义为：

f(?)???c??,???， ???V

问：当c取何值时，f是正交变换？

*（10%）（任选两题）

〉设?是相容矩阵范数。证明：对任意方阵A，A的谱半径?(A)?A； 〉对任意方阵A，问：A与e的特征值之间有什么关系；证明：对任意方阵A，dete（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）；

〉假设A是正规矩阵。若A的特征值全是实数，证明：A是Hermite矩阵。 *（20%）已知矩阵A??11?，B??52?，M??02?，C????????????〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明B?V，并求B在上小题所得基下的坐标； *（12%）

〉已知n阶方阵A满足A?7I?6A，且A?7I的秩为r，求det(A?2I)； 〉证明：若方阵B的特征值全为零，则必存在正整数k，使B22?2?e1020132?2的子集

V??X|AX?XA,X?C2?2?

?O。

2*（12%）已知矩阵A的特征多项式C(?)及最小多项式m(?)相等，均等于(??1)?，矩

?100?阵B??100?。

?110???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?003?*（18%）已知矩阵A??003?。求矩阵函数e??000??；

4

*（10%）设V是n维欧氏空间，??V是单位向量，k是参数，V上的线性变换f 定义为：

f(?)???k??,???， ???V 问：当k取何值时，f是正交变换？ *（10%）（任选两题）

〉设?是相容矩阵范数。证明：对任意方阵A，A的谱半径?(A)?A；

〉证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）； 〉假设A是正规矩阵。若A的特征值全是实数，证明：A是Hermite矩阵。 *（20%）已知C2?2的子空间

??x?y????xx??V?|x,y?C， V1???|x,y?C???? 2?????xy????yy??分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的一组基及它们的维数。

2?2*（20%）设C上的线性变换f定义为：

0??a?d?ab?2?2， f(X)???X??C???b?c??c?cd?〉求f在V的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数； 〉问：R(f)+K(f)是否为直和？为什么？

*（18%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)相等，均等于(??1)(??2)2，

?111???矩阵B?021。 ????002??〉分别求A和B的Jordan标准形；

〉问：A与B是否相似？为什么？

?2?*（12%）已知矩阵A?0???0?1?*（12%）已知矩阵A?0???300?111?，求A的广义逆矩阵A?。

??101??00?10?，求矩阵函数eAt。

?31??AtrA0*（6%）证明：对任意方阵A，dete?e（这里，det表示矩阵的行列式，tr表示矩阵的迹）。

??11?2?2*假设矩阵A???1?1??。C上的变换定义为f(X)?AX。

??2?2〉证明f是C上的线性变换；

2?2〉求f在C的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基和它们的维数。

*设?1,?2,?3是酉空间V的一组标准正交基，f是V上的线性变换，且

f(?1)??3， f(?2)??2， f(?3)???1

5

〉问：f是否为V上的酉变换？为什么？

〉是否存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵是对角阵？为什么？

210??1??*求矩阵A???1?2?10?的广义逆矩阵。

?0002????000???AtAt*设A???100?，求矩阵函数e及e的特征多项式。

?101????3??1?0?*已知矩阵A??0?0??0??0000000??300000?130000??003000?。 001300??000130??000003?〉试写出矩阵A的特征多项式，最小多项式，及矩阵A?3I的秩；

〉如果矩阵B与A有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且B?3I与A?3I的秩也相同，问：与A是否一定相似？说明你的理由。 *已知线性空间V上的线性变换f满足f?f。记

V1????V|f(?)???， V2????V|f(?)???

证明：V?V1?V2。

n?n*设A?C。

n?n〉记V?{B?C|AB?BA}。证明：V是Cn?n的子空间；

〉若n?2，A???2?1?1?，求这时第一小题中V的一组基； ???01?*设A和V如第二小题，I???0??20??11????J?，。试判断I,J是否属于V，并说明你的理由。???2??11?如在V中，试求其在第二小题所得的基下的坐标。

*设R[x]3的子空间W?p(x)?a0?a1x?a2x2|p(0)?p(1)，则W的一组基为 ； *线性变换f在基

???1,?2下矩阵为???a0??，则f在基?1?k?2,?2下的矩阵??0b?为 ； * 从R2?22?2到R的线性映射f定义为：f(A)?trA，?A?R，则值域R(f)的一组基

为 ，核空间K(f)的一组基为 ； * 作为酉空间C的子空间，齐次线性方程组?6?x1?x4?x5?x6?0的解空间W的正交补空间

x?2x?056? 6

的一组标准正交基为 ； *已知AF?a,BF?b,A2?c,B2?d，作M???O?????。 ????AO??，则M?B?f= ，M2= ；

???a10????* 设A??0a1?，则sinA???00a??????*（8%）设A?C2?22满足A?A?6I且r(A?2I)?k，求detA。

*（10%）已知C2?2的子空间V1??B|AB?BA?，其中A????01???，00???y??|z?x?y?0?。分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的基。 t????11?2?22?2*（10%）已知C上的线性变换f(X)?(a?b?c?d)??11??，?X?C。

??〉求f在基E11,E12,E21,E22下的矩阵； 〉求f的特征值及相应的特征子空间的基。

At*（8%）已知矩阵A的最小多项式为?(??1)2，t为复数。试将e表示成A的次数不超过2

的多项式。

*（10%）设dimV?n，f?Hom(V,V)，且R(f)?K(f)。 〉试证：f2?O，且n是偶数； 〉求f的矩阵的Jordan标准形。 *（9%）

??xV2??????z?1000????〉设A??012?，求A；

?012????s?n〉设A?C，r(A)?r。求AA的Jordan标准形。

* 证明下列命题：

〉若内积空间V中向量???与???的长度相等，且?与???正交，则?是零向量； 〉若A是正规矩阵，则A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的模全为1；

〉若n阶Hermite矩阵A为正定阵，又B是n阶方阵且A?BAB也是正定阵，则B的谱半径?(A)?1。 *（15%）设A?C〉记V?{B?C〉若n?3，

n?nH。

n?n?1?A??0?10??010???|AB?BA}。证明：V是Cn?n的子空间；

00??，求这时第一小题中V的一组基；

?100??010?，试判断I,J??，??I??010?J??001??001??000?????〉设A和V如第二小题，是否在V中,并说明你的理由。

7

如在V中，试求其在第二小题所得的基下的坐标。

*（8%）设矩阵A,B的Frobenius范数和算子2-范数分别为A?OB???11?定义C2?2上的变换*（18%）设矩阵M?????1?1????AO?。试求M的Frobenius范数MB2?d，矩阵M????FF?a, A2?b, B2F?c,

及其算子2-范数M。

f为：对任意X?C2?2，f(X)?MX。

〉证明：f是C〉求f在C2?22?2上的线性变换；

的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的核子空间K(f)及值域R(f)的各一组基； 〉问：K(f)+R(f)是否为直和？为什么？

?3??1?0*（15%）已知矩阵?A??0?0??0??0000000??300000?130000?。 ?003000?001300??000130??000003?〉试写出矩阵A的特征多项式，最小多项式，及矩阵A?3I的秩；

〉如果矩阵B与A有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且B?3I与A?3I的秩也相同，问：B与A是否一定相似？说明你的理由。

?2000??*（12%）设矩阵A??001?1?。试求A的广义逆矩阵A。

???00?11????000?At*（12%）设矩阵A??100?。试求e。

???0?11????3* (8%)设二阶方阵A?????1*（15%）已知矩阵A?????1?1???2?2At?，证明矩阵e的行列式与?,?无关。 ??6?1?，C2?2的子集 ???V?X|AX?O,X?C2?2

〉证明：V是C的子空间； 〉求V的一组基及V的维数；

〉证明A?V，并求A在上小题所得基下的坐标； 〉找出C2?2??的一组基，使得每个基向量均不属于V。

?010?* (15%)已知矩阵J??000?。判断下列矩阵是否与J相似，并说明你的理由：

???00?1????100??1?1?3??100??000????????? A??500?,B??1?11?,C???1?11?,D??1?10??79?2??00?1??00?1??110?????????

8

*（20%）设矩阵C2?2上的变换f定义如下：

0??a2?2??X?C， 其中a?trX。 f(X)????a?a???10??01??00??00?下的矩阵M； 的基E11????????,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??????????〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数；

〉求f在C2?2〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

* (14%)求下列矩阵的广义逆矩阵：

?1000???； A??1000??0003???2?2B??T?，其中??(1,1,?,1),??(1,1,?,1)分别是s维和n维行向量。

?100???，求矩阵函数sin* (16%)设

A??001??001???3At，并给出sinAt的特征多项式。

* (10%)设R的子空间V?L(?,?)，其中，??(1,0,?2),??(0,1,1)，??(1,1,1)，求?0?V使得???0?min???。

??V*（10%）（在下述三题中任选两题）

〉证明：若正定矩阵A满足A?A?2I?0，则A?I。

〉设Hermite矩阵A,B均是正定的，AB?BA。证明：AB是正定矩阵。 〉假设A是n阶方阵，n>1，且A?O。证明：A与A肯定不相似。 1*（15%）已知矩阵A???1?，C2?2的子集 ??1?1????n22V?X|AX?O,X?C2?2

〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明A?V，并求A在上小题所得基下的坐标； 〉试给出C2?22?2??的两个不同的子空间W及W'，使得C?012?2?V?W?V?W'。

* (15%)已知矩阵J??00?0??。判断下列矩阵是否与J相似，并说明你的理由： 0??00?1???00??100??1?10??1?????? A???100?,B??1?10?,C???1?10??34?2???21?1???21?1???????

1?1?2?2*（20%）设矩阵A??,C上的变换f定义如下： ???1?1???f(X)?XA， ?X?C2?2

〉证明：f是线性变换；

9

10??01??00??00?下的矩阵M； 的基E11????????,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??????????〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数；

〉求f在C2?2〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？ * (14%)求下列矩阵的广义逆矩阵：

?111???； A??1?10??000???2?2B??T?，其中??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bm)。

*（10%）

〉证明：若酉矩阵A满足A?3A?2I?0，则A?I。

〉设Hermite矩阵A,B均是正定的，证明：AB的特征值均为正实数。 *(16%)设

?100???，求矩阵函数eAt，并给出eAt的特征多项式。 A??100??011???32* (10%)设R的子空间V?{(x,y,z)|2x?y?3z?0}，??(1,1,1)，求?0?V使得

???0?min???。

??V*（20%）已知A???20?2?22?2?，C的子集V1??B|AB?BA?，C的子空间 ?12???xy???V2???|z?x?y?0? ?zt?????的子空间；

〉证明：V1是C2?2〉分别求V1，V2基及它们的维数；

〉分别求V1?V2，V1?V2的基及它们的维数； 〉问：V1?V2是直和吗？为什么？

*填空. （每题2分）。

〉设A=(aij) s×n 为常量矩阵, X=(xij) n×s , 则

d(trXA)= ______ dX〉设n阶Hermite 阵A的特征值为?1??2? …??n , 用Rayleigh商表示，我们有：

?k= ______

?100.11???〉设A=0.190.1. 则A的盖尔圆系中的2区为 ：______ ????10.13??〉设V1，V2 是线性空间V的两个有限维子空间，由维数定理，我们有：dim(V1+V2)= ______

10

101??1?0?11?2??+

*（15分）设A=??23?5?12?， 求 A .

??1013?????12?3?7??1??12??, 求A100 - 4A25.

1*（10分）设A=21????0?4?1??01??0??*（15分）设A=2?12 , ?????10?2??〉求变换矩阵P 使PAP=J, 这里J表示Jordan标准形. 〉求 e.

*（5分）设 A=(aij)n×n?C ?（A）?||A||.

* （5分）已知线性变换f与g满足 f=f, g=g . 试证 f与g有相同的核的充分必要条件是fg=f, gf=g.

2

2

n×n

At

-1

, 对任意一类相容的矩阵范数 || || ，都有

?Ir*（8分）设f ?Hom（V， V）， dimV=n,且f=I, 证明 f 的矩阵必相似于 ??0 20??In?r??（0?r?n）. *（12分）设A?C

⊥

H

s×n

, 证明：

〉[R(A)] =K(A)； 〉K(A)=K(AA).

*（5分）证明上三角的正规阵必是对角阵.

* (5分) 设V是一个线性空间,f 是V上的一个线性变换.证明f的值域R(f)和核K(f)都是f的不变子空间. *（20%）已知C2?2H

H

上的线性变换f定义如下：f(X)???a?b?c?d?c?d?b?c?d??，?d??ab?2?2C。 ?X?????cd?2?210?〉求f在C的基E11??????,E12?00??01??00??00?下的矩阵M；

?????,E?,E??00?21?10?22??01???????? 11

〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C2?2的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

?2000000???1200000???0120000???。 *（15%）已知矩阵

A??0002000??0001200????0000120??0000002???〉试写出矩阵A的特征多项式，最小多项式，及矩阵A?2I的秩；

〉如果矩阵B与A有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且B?2I与A?2I的秩也相同，问：B与A是否一定相似？说明你的理由。

?0?0*（12%）已知矩阵A???1??100001?10?1000020003??0??，求A的广义逆矩阵A。 0??0?A的次数不超过2的多项式；求A2eAt的特征多项式。

?000?2At*（12%）设A???121?。试将Ae表成

???1?10???3*（12%）设R的子空间V?{(x,y,z)|x?y?z?0}，??(2,2,?3)，求?0?V使得

???0?min???。

??V*（9%）假设A是正规矩阵，证明：A是酉矩阵当且仅当A的特征值的

??x2?210??*已知矩阵A?，C的子空间W???????0?0?1?〉证明：V是C2?2y??2?2?|?x,y,z?C?,C的子集 z??V??X|AX?XA,X?C2?2?，

的子空间；

〉求子空间V、W的各一组基及它们的维数；

〉求V?W及V?W的各一组基及它们的维数； 〉问：V?W是不是直和？为什么？ 1*已知矩阵A???1?，C2?2的子集 ??1?1????V?X|AX?O,X?C2?2

〉证明：V是C的子空间；

〉求V的一组基及V的维数；

〉证明A?V，并求A在上小题所得基下的坐标； 〉试给出C2?22?2??的两个不同的子空间W及W'，使得C2?2?V?W?V?W'。

?2ac???。 J??02b??00?1???*假设3维线性空间V上的线性变换f在V的基?1,?2,?3下的矩阵为

12

问：当a,b,c,d满足什么条件时，存在V的一组基，使得f?200?的矩阵是K??2d0?？

???222???*已知C2?2上的线性变换f(X)?(a?b?c)??11??ab?2?2C，。 ?X??????11??cd?〉证明：f是线性变换；

10??01??00??00?下的矩阵M 的基E?????????,E?,E?,E?11122122?00??00??10??01??????????〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式；

〉求f在C2?2〉问：能否找到C*已知矩阵

2?2的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

?011?。判断下列矩阵是否与J相似，并说明你的理由： ??J??0?10??000????100??1?10??000? ??????A???100?,B??1?10?,C???1?10??300???21?1??00?1????????0*求矩阵?0A???0??30020111?100001??1?的广义逆矩阵。 0??0?*设

?100???。 A???100??101???At〉求矩阵函数e；

〉写出e的特征多项式。

?123??a00????相似，问：数a,b,c,d,e应满足什么条件？ *已知矩阵A??012?与B??c50???005??edb??????460?100*设A???3?50?，求A。

????361???*证明题：

〉假设A是正规矩阵。证明：若A?O，则A?O；

〉假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意x?V，

2Atf(x)?x?2?x,???。证明：f是V上的正交变换。

HH*设A是n阶正规矩阵，?1,?2,?,?n是A的特征值。记A是A的共轭转置。证明：矩阵AAH及AA的特征值为?1,?2,?,?n。

222*问：下述命题是否成立？若成立，请给出简单证明；若不成立，请举出反例。

〉线性空间V的子空间V1,V2,V3的和V1?V2?V3是直和的充分必要条件是：对任意的i?j，

Vi?Vj只含零向量。

??〉对任意矩阵A，AA一定相似于对角阵。其中，A是A的广义逆矩阵。

13

*已知A???20?2?2C，的子空间 ??12???xy??V1??B|AB?BA?， V2????|z?x?y?0?。 ?zt?????分别求V1，V2，V1?V2，V1?V2的基及它们的维数。

?11??ab?2?22?2*已知C上的线性变换f(X)?(a?b?c)?，?X?????C。

?11??cd?1?1?2?22?2*设矩阵A??,C上的变换f定义如下：f(X)?XA， ?X?C ???1?1???〉证明：f是线性变换；

10??01??00??00?下的矩阵M； 的基E11????????,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??????????V求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数；

〉求f在C2?2〉试求M的Jordan标准形，并写出f的最小多项式； 〉问：能否找到C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？ *求下列矩阵的广义逆矩阵：

?111???； A??1?10??000???2?2B??T?，其中??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bm)。

*已知矩阵A的特征多项式与最小多项式相等，均为(???0)4，给出A、A、e及e的Jordan标准形。 *矩阵函数：

?100???，求矩阵函数eAt，并给出eAt的特征多项式。 A??100??011????000?2At2A〉设A???121?。试将Ae表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求Ae。

???1?10???2AA2

可能

〉设

*设R的子空间V?{(x,y,z)|2x?y?3z?0}，??(1,1,1)，求?0?V使得

3???0?min???。

??V* 证明：若酉矩阵A满足A?3A?2I?0，则A?I。

* 设Hermite矩阵A,B均是正定的，证明：AB的特征值均为正实数。 〉求f在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。 〉求f的特征值及相应的特征子空间的基。 〉求f的最小多项式。问：是否存在C2?22的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？

?2ac???。 J??02b??00?1???*假设3维线性空间V上的线性变换f在V的基?1,?2,?3下的矩阵为

14

问：当a,b,c,d满足什么条件时，存在V的一组基，使得f?200?的矩阵是K??2d0?？

???222???00??0??2At2A*设A???121?。试将Ae表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求Ae。

?1?10????00111???001?11?的广义逆矩阵。 *求矩阵A???02000????30000?*设?1,?2,?3是欧几里德空间V的一组标准正交基。

???1??2??3,???1??2??3。

〉证明：?与?的长度相等。 〉求一个正交变换f使得f(?)??。

*设A是n阶正规矩阵，?1,?2,?,?n是A的特征值。记A是A的共轭转置。证明：矩阵AAH及AA的特征值为?1,?2,?,?n。

222HH*（20%）假设C2?2的子空间

??ab????xV1???|?a,b,c?C， V?????2cb??????x分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及其维数。

y??|?x,y?C? ?x??00??0??AtA??121*（12%）设矩阵??。试将e表示成A的次数不超过2的多项式。

?1?10????a?bc?d??ab?2?22?2*（20%）C上的线性变换f：f(X)??，X?????C

?c?da?b??cd?2?2〉求f在C的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；

〉问：C?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?0011????*（15%）假设矩阵A??00?1?1?，求A的广义逆矩阵A。

?2000????a21??100?????*（15%）设矩阵A??01b?，B??110?。

?001??21?1?????〉试求矩阵A及B的所有可能的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数a,b应满足什么条件？试说明你的理由。

2?2 15

的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；

11??12??21??22???00??00??10??01?〉试求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及它们的维数； 〉求f在C2?2〉问：R(f)＋K(f)是不是直和？为什么？

??x1???x1???????xx12010??????244?2??*设R的子空间V?????R|???x????，求V的一组标准正交基。 ??x?1012??3?0????3?????x4???x4???*假设V为欧氏空间，k为实数，??V是单位向量。V上的线性变换f定义如下：

f(?)???2k??,??? ???V

问：当参数k取什么值时，f是V上的正交变换？

?322???*假设矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于(??3)(??4)2，并且B??0?45?。

?00?4???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?308???10050*已知矩阵A??316?，求A?2A。

??20?5????11100???11100?，求A的广义逆矩阵A?。 *已知矩阵A???00011???00023??* 假设A是n?n酉矩阵,B是n?n矩阵。证明：AB是酉矩阵当且仅当B是酉矩阵。 * 假设A、B都是n?nHermite矩阵。证明AB是Hermite矩阵当且仅当AB?BA。

n?n* 假设C的子空间

??xy????xx??， V1???V2????|?x,y?C??|?x,y?C?

???x?y????yy??分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。

?11?2?2?，在C上定义变换f如下： ?00?f(X)?AX， ?X?C2?2。

2?2〉证明：f是C上的线性变换。

* 假设A??的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；

11??12??21??22???00??00??10??01?〉试求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及它们的维数； 〉求f在C2?2〉问：R(f)＋K(f)是不是直和？为什么？

21

??x1???x1???????xx12010??????244?2??* 设R的子空间V?????R|???x????，求V的一组标准正交基。 ??x?1012??3?0????3?????x4???x4???* 假设V为欧氏空间，k为实数，??V是单位向量。V上的线性变换f定义如下：

f(?)???2k??,??? ???V

问：当参数k取什么值时，f是V上的正交变换？

?322???* 假设矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于(??3)(??4)2，并且B??0?45?。

?00?4???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?308???10050* 已知矩阵A??316?，求A?2A。

??20?5????11100???11100?，求A的广义逆矩阵A?。 * 已知矩阵A???00011???00023??* 假设A是n?n酉矩阵,B是n?n矩阵。证明：AB是酉矩阵当且仅当B是酉矩阵。 * 假设A、B都是n?nHermite矩阵。证明AB是Hermite矩阵当且仅当AB?BA。

n?n*（20%）假设C的子空间：

??x?x????ab??V1???|?x,y?C，V?|a,b,c,d?C且a?b?c?d?0???? ?2???y?y????cd??分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。 *（20%）假设A???1?1?2?2?，在C上定义变换f如下：

?00?f(X)?AX， ?X?C2?2。

上的线性变换。

〉证明：f是C〉求f在C2?22?2的基E??10?,E??00?,E??01?,E??00?下的矩阵M；

11??21??12??22???00??10??00??01??ab? ?，写出S在上述基下的坐标，求f(S)，并写出f(S)在上述基下的坐标；

?cd??ab?〉假设S???，问：a,b,c,d满足什么条件时f(S)＝Ｏ？

cd??〉试给出f的核空间的一组基。

* (10%)假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的映射f定义如下：对任意x?V，

〉假设S?? 22

f(x)?ax?2b?x,???。 〉证明：f是V上的线性变换；

〉问：当参数a,b取什么值的时候，f是V上的正交变换？说明你的理由。

?101?*（14%）设A???21?1???。

?002??〉求A100；

〉将矩阵函数eAt写成关于A的多项式。

*（１４%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)?(??2)2(??3)4,A的最小多项式

mA(?)?(??2)(??3)2。

〉写出A的所有可能的Jordan标准形；

〉如果已知矩阵A?3I的秩为3,写出A的所有可能的Jordan标准形；

???231111??0?21111?〉假设矩阵B???003000???002300?,问:A与B是否相似？为什么？

???001230???001123?????11200?*（12%）已知矩阵A??00011????00022?，求A的广义逆矩阵A?。

?00011??*（１０%）判断下列结论是否成立。若成立，请给予证明；若不成立，请举出反例： 〉两个Hermite矩阵的乘积还是Hermite矩阵； 〉两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。 *（20%）假设A???1?1??1?，C2?2的子空间：

?1?V2?21??X?C2?|AX?O?， V2??X?C2|XA?O?

分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。 *（20%）定义C2?2上的线性变换f如下：

f(X)???a?bc?d?， ?ab?2?2?a?bc?d???X???cd???C

〉求f在C2?2的基E?10??01??00??00?11??0?,E12??0??,E21???10??,E22???01?下的矩阵M；?0??0?〉假设S???ab??cd?，问：a,b,c,d满足什么条件时f(S)＝Ｏ？

?〉求f的核空间K(f)的一组基及其维数；

23

〉求f的值域R(f)的一组基及其维数；

〉问：是否有C2?2?R(f)?K(f)？为什么？

* (10%)假设?是n维欧几里德空间V中的单位向量，V上的映射f定义如下：对任意x?V，

f(x)?ax?b?x,???。

〉证明：f是V上的线性变换；

〉问：当参数a,b取什么值的时候，f是V上的正交变换？说明你的理由。

?101???*（14%）设A??21?1?。

?00?1???〉求A的特征多项式、最小多项式及A的Jordan标准形；

10050〉求A?2A；

At〉将矩阵函数e写成关于A的多项式。

*（14%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)?(??2)2(??3)4,A的最小多项式

mA(?)?(??2)(??3)2。

〉问：A是几阶矩阵？请写出A的所有可能的Jordan标准形； 〉如果矩阵A?3I的秩为3,写出A的Jordan标准形；

??23??0?2?00〉如果矩阵A?3I的秩为3,矩阵B???00?00??00?么？

1111??1111?3000??,问:A与B是否相似？为什

2300?1230??1123???1111????*（12%）已知矩阵A??1001?，求A的广义逆矩阵A。

?1111???H* 若A是n阶正规阵，Q是n阶酉矩阵，证明：矩阵B?QAQ也是正规矩阵。

?* 假设n阶方阵A,B满足ABA?A，且BA是Hermite矩阵。证明：BA?AA（请注明每一

步的理由）。 *（20%）假设C2?2的子空间：

??x?x????ab??V1???|?x,y?C， V?|a,b?C???? ?2???y?y????ba??分别求V1,V2,V1?V2,V1?V2的基及它们的维数。

*（20%）假设A???1?1?2?2?，在C上定义变换f如下：

?1?1?f(X)?AX， ?X?C2?2

上的线性变换；

〉证明：f是C2?2 24

〉求f在C2?2的基E11???10??00??01??00?,E?,E?,E??21??12??22??下的矩阵M； 00100001????????〉假设X???ab??，分别写出X及f(X)在上述基下的坐标列向量x,y，并问：x,y,M之

?cd?间有什么关系？

?ab??，问：a,b,c,d满足什么条件时f(S)＝Ｏ？ cd??〉求f的核空间K(f)的一组基， 〉问：f的值域R(f)的维数是多少？

〉假设S???x1?x2?x3?x4?0* (10%)设V是齐次线性方程组?的解空间，??(1,1,1,1)T，求?0?R4使得

?x1?x2?x3?x4?0???0?min???。

??V?120???*（14%）设A??010?。

?12?1???〉求A的特征多项式、最小多项式及A的Jordan标准形；

5025〉求A?2A；

At〉将矩阵函数e写成关于A的多项式。

*（14%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)?(??1)2(??1)4,A的最小多项式

mA(?)?(??1)(??1)2。

〉写出A的所有可能的Jordan标准形；

〉如果矩阵A?I的秩为4,写出A的Jordan标准形；

??10???2?1?11〉如果矩阵A?3I的秩为3，矩阵B???11?11??11?么？

0000??0000?1234??，问:A与B是否相似？为什

0123?0012??0001???11200????*（12%）已知矩阵A??00011?，求A的广义逆矩阵A。

?00022???*（１０%）证明题：

〉假设n阶Hermite矩阵A是正定阵，C是n阶可逆矩阵。证明：矩阵B?CAC也是正定

矩阵。

〉若n阶上三角矩阵A是正规阵，证明A一定是对角阵。

H 25

?01?2?2V?X?C|AX?XA?。 ，???00?2?2〉证明V是C的子空间，并求V的基和维数；

??a0??2?2|?a,b?C〉假设C的子空间W????，求W的基和维数； ???ba??*（20%）假设矩阵A??〉求V?W,V?W的基和维数。

?000?At*（12%）设A??11?1?。求A的特征多项式和最小多项式，并求e。

???11?1???*（20%）假设矩阵A???11?2?22?2?，在C上定义映射f如下：对任意X?C， ?00?f(X)?AX

〉证明：f是C〉求f在C2?22?2上的线性变换；

的基E11,E21,E12,E22下的矩阵M；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； 〉问：C2?2?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?1?*（15%）假设矩阵A??1?0???1?*（15%）设矩阵A??3?4?1100150???10?，求A的广义逆矩阵A?。 00??0??1y2????0?，B??010?。

?00x?1????1〉求矩阵A的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。

*（10%）假设?1?(1,1,0), ?2?(1,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1,?2)，

3

??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。

??V* 假设A是n?n正规矩阵，U是n?n酉矩阵。证明：UAU也是正规矩阵。 * 证明：对于任意矩阵A,A2?AF。其中, A2是A的算子2范数,AFrobenius范数。 *（20%）假设A?C记V(A)?{X?C〉证明：V(A)是C〉若n?2，A??n?nHF 是A的

。 的子空间。

n?n|AX?O}。

n?n?00??，求这时V(A)的一组基及其维数。 ?10??00?2?2〉若A???，记W(A)?{X?C|XA?O}。求W(A)的一组基及其维数。

?10?

26

〉V(A)?W(A)是否为直和？说明你的理由。 *（15%）假设A??〉证明：f是C〉求f在C2?22?2?11?2?22?2?X?CC，在上映射如下：，。 f(X)?XAf???1?1?上的线性变换。

的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；

11??12??21??22???00??00??10??01?〉分别求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及其维数；

*R的子空间V?{(x,y,z)|x?2y?z?0}，??(1,0,0)，求?0?V使得???0?min???。

??V3?000???At*（15%）设A??300?，求A的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数e。

?400???*（１5%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)都等于(??2)(??3)2，并且矩阵?200???B??1?30?。

?10?3???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?22000???11000?，求A的广义逆矩阵A?。 *（15%）已知矩阵A???00000???00013??*（8%）证明题：

〉假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意x?V，

f(x)?x?2?x,???。证明：f是V上的正交变换。

〉假设A是n?n酉矩阵,B 是n?nHermite矩阵，并且AB?BA。记M?AB。证明：存在

H酉矩阵U，使得UMU是对角阵。

?11?2?2V?X?C|AX?XA?， *（20%）假设矩阵A??，???01?〉证明V是C〉假设C2?22?2的子空间，并求V的基和维数；

的子空间W?????ab??|?a,b,c?C?，求W的基和维数； ???cb??〉求V?W,V?W的基和维数。

?100?At*（12%）设A??32?1?。试将e表示成关于A的次数不超过2的多项式。

???110???*（20%）假设矩阵A???11?2?2?，在C上定义映射f如下：

??1?1? 27

对任意X??〉证明：f是C〉求f在C2?22?2?ab?2?2， f(X)?XA ?C??cd?上的线性变换；

的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； 〉问：C2?2?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?1?*（15%）假设矩阵A??2?3???1?*（15%）设矩阵A??2?1?200??400?，求A的广义逆矩阵A?。 600??00??1y3????10?，B??015?。

?00?1?x1????〉讨论矩阵A及B的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。

*（10%）假设?1?(1,3,2), ?2?(2,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1?2)，

3

??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。

??V*（8%）证明题

2〉假设n?n矩阵A的算子2范数为a，证明：矩阵AA的算子2范数为a。

H〉设??C，且???1。证明：I???是正定矩阵。 *（20%）假设A?C记V(A)?{X?Cn?nnHH。

|AX?O}。证明：V(A)是Cn?n的子空间。 ?00?〉若n?2，A???，求这时V(A)的一组基及其维数。

?10??00?2?2〉若A???，记W(A)?{X?C|XA?O}。求W(A)的一组基及其维数。

?10?〉V(A)?W(A)是否为直和？说明你的理由。

?11?2?22?2?X?f(X)?XACCf*（15%）假设A??，在上映射如下：，。 ???1?1?2?2〉证明：f是C上的线性变换。

n?n的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；

11??12??21??22???00??00??10??01?〉分别求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及其维数； 〉求f在C2?2* (12%)设R的子空间V?{(x,y,z)|x?2y?z?0}，??(1,0,0)，求?0?V使得

3???0?min???。

??V 28

?000???At*（15%）设A??300?，求A的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数e。

?400???*（１5%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)都等于(??2)(??3)2，并且矩阵?200???B??1?30?。

?10?3???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？

?22000???11000?，求A的广义逆矩阵A?。 *（15%）已知矩阵A???00000???00013??

*（8%）证明题：

〉假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意x?V，

f(x)?x?2?x,???。证明：f是V上的正交变换。

〉假设A是n?n酉矩阵,B 是n?nHermite矩阵，并且AB?BA。记M?AB。证明：存在

H酉矩阵U，使得UMU是对角阵。

?01?2?2*（20%）假设矩阵A???，V??X?C|AX?XA?。

?00?〉证明V是C〉假设C2?22?2的子空间，并求V的基和维数；

的子空间W?????a0??|?a,b?C?，求W的基和维数； ?ba????〉求V?W,V?W的基和维数。

?000?At*（12%）设A??11?1?。求A的特征多项式和最小多项式，并将e表示成关于A的次数

???11?1???不超过2的多项式。

?11?2?22?2*（20%）假设矩阵A???，在C上定义映射f如下：对任意X?C，

?00?f(X)?AX

〉证明：f是C〉求f在C〉问：C2?22?22?2上的线性变换；

的基E11,E21,E12,E22下的矩阵M；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；

?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

29

?1?*（15%）假设矩阵A??1?0???1?*（15%）设矩阵A??x?1?11001y1???1?1?，求A的广义逆矩阵A?。 00??0??113????0?，B??015?。

?00?1?1????1〉讨论矩阵A及B的Jordan标准形；

〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。

*（10%）假设?1?(1,1,0), ?2?(1,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1,?2)，

3

??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。

??V*（8%）证明题

2〉假设A是n?n正规矩阵，A的算子2范数A2?a。证明：矩阵A的算子2范数A22?a2。

〉设列向量??C，且???1。证明：I???是正定矩阵。

nHH?11?2?2*（20%）假设矩阵A???，V??X?C|AX?XA?，

?02?2?2〉证明：V是C的子空间；

??ab??2?2〉假设C的子空间W????|?a,b,c?C?，分别求V,W,V?W,V?W的基和维数。

cb?????100???At*（12%）设矩阵A??32?1?。试将e表示成A的次数不超过2的多项式。

?110????11?2?2C*（20%）假设矩阵A??，在上定义映射f如下： ??1?1???ab?2?2对任意X????C， f(X)?XA

?cd?〉证明：f是C〉求f在C〉问：C2?22?22?2上的线性变换；

的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；

?R(f)?K(f)是否成立？为什么？

?00?11????*（15%）假设矩阵A??1200?，求A的广义逆矩阵A。

?2400????x00??153?????*（15%）设矩阵A??210?，B??015?。

?1y1??00?1????? 30

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