2014全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题4（数学）

2014全国名校真题模拟专题训练09

三、解答题(第四部分)

立体几何

76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1． （1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值；

（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值．

????????????解：以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴，z轴的 正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、 D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．

?????????????? 于是，DE?(3,?3,0),EC1?(1,3,2)，FD1?(?4,2,2)． （

）设EC1与FD1所成角

??????????EC1?FD11?(?4)?3?2?2?221??????|?|cos??|????|?．

22222214|EC1|?|FD1|1?3?2?(?4)?2?21

为

?

，

则

（2）设向量n?(x,y,z)与平面C1DE垂直，则有

????n?DE??1?3x?3y?0?????????x?y??z．

2n?EC1??x?3y?2z?0?zzz∴n?(?,?,z)?(?1,?1,2),其中z＞0．

222取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量． ????∵向量AA1=（0，0，2）与平面CDE垂直，

????∴n0与AA1所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．

????n0?AA1?1?0?1?0?2?262??????∵cos??，∴tan??．

32|n0|?|AA1|1?1?4?0?0?477、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）.

（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；

（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC

把几何体分成的两部分VPDCMA:VMACB?2:1；

（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD

是否平行面AMC.

（I）证明：依题意知：CD?AD.又?面PAD?面ABCD

?DC?平面PAD.

…………2分

错误！未找到引用源。

又DC?面PCD?平面PAD?平面PCD.…4分

（II）由（I）知PA?平面ABCD ∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD， 设MN=h

111hS?ABC?h???2?1?h? 332311(1?2)1…………8分 VP?ABCD?S?ABC?PA???1?1?

33221hh1要使VPDCMA:VMACB?2:1,即(?):?2:1,解得h?

2332则VM?ABC? 即M为PB的中点. …………10分

（Ⅲ）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD

∴O不是BD的中心……………………10分 又∵M为PB的中点

∴在△PBD中，OM与PD不平行 ∴OM所以直线与PD所在直线相交 又OM?平面AMC

∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分

78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点． （1）求证：面PCC1⊥面MNQ；

错（2）求证：PC1∥面MNQ． 错误主要得分步骤：（1）AB⊥面PCC1； 4′ 误MN∥AB，故MN⊥面MNQ MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ； 7′

错错（2）连AC1、BC1，BC1∥NQ，AB∥MN 错错面ABC1∥面MNQ 11′

PC1在面ABC1内．

∴PC1∥面MNQ． 13′

79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱ABC?A1B1C1,?BCA?90?,AC?BC?2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知

错误

BA1?AC1.

(Ⅰ)求证：AC1?平面A1BC； (Ⅱ)求CC1到平面A1AB的距离； (Ⅲ)求二面角A?A1B?C的大小.

解法1：(Ⅰ)∵A1D?平面ABC,∴平面AAC11C?平面ABC, 又BC?AC,∴BC?平面AA1C1C, 得BC?AC1,又BA1?AC1,

∴AC1?平面A1BC.…………………4分

(Ⅱ)∵AC1?AC,四边形AA1C1C为菱形,故AA1?AC?2, 1又D为AC中点,知∴?A1AC?60?.取AA1中点F,则

错错误错错错错错误错误AA1?平面BCF,从而面A1AB?面BCF,…………6分

错?过C作CH?BF于H,则CH?面A1AB,在Rt?BCF中,BC?2,CF?3,故CH错2127,即CC1到平面A1AB的距离为CH?2217.…………………8分

(Ⅲ)过H作HG?A1B于G,连CG,则CG?A1B,从而?CGH为二面角A?A1B?C的平面角,在Rt?A1BC中,AC?BC?2,∴CG?2,…………10分 1在Rt?CGH中,sin?CGH?CHCG427427?,故二面角A?A1B?C的大小为arcsin.

…………………12分

解法2：(Ⅰ)如图,取AB的中点E,则DE//BC,∵BC?AC,∴DE?AC, 错错又A1D?平面ABC,以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间坐标系, …………1分 ?????误则A(0,?1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),AC1?(0,3,t), ?????????????????BA1?(?2,?1,t),CB?(2,0,0),由A1C?CB?0,知AC?CB, 1又BA1?AC1,从而AC1?平面A1BC.…………………4分

错错错错错误错误????????? (Ⅱ)由AC1?BA1??3?t2?0,得t?3.设平面A1AB的法向量

????????????????n?AA1?y?3z?0为n?(x,y,z),AA1?(0,1,3),AB?(2,2,0),?????, ???n?AB?2x?2y?0?设z?1,则n?(3,?3,1).…………6分

?????|AC1?n|221??∴点C1到平面A1AB的距离d?.…………………8分

|n|7错错?????????? (Ⅲ)设面A1BC的法向量为m?(x,y,z),CA1?(0,?1,3),CB?(2,0,0),

????????m?CA1??y?3z?0∴??????.…………10分 ???m?CB?2x?0????????m?n7????,根据法向量的方向 设z?1,则m?(0,3,1),故cos?m,n???|m|?|n|7可知二面角A?A1B?C的大小为arccos77.…………………12分

80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD

是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.

（Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小； （Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；

（Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小. （I）解：取AD中点O，连结PO，BO. 错误！未找到引用源。 △PAD是正三角形，所以PO⊥AD，…………1分 又因为平面PAD⊥平面ABCD，

所以，PO⊥平面ABCD， …………3分 BO为PB在平面ABCD上的射影，

所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.…………4分 由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=3，

所以PB与平面ABCD所成的角为45°. ………………5分 （Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB， ………………6分 又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB， ………………8分 所以PB⊥平面ADMN. ………………9分 （Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影， 因为AD⊥PO，所以AD⊥NO， ………………11分 故∠PON为所求二面角的平面角. 因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°……………12分

81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD； （2）证明：面PDC⊥面PAD； （3）求锐二面角B—PD—C的余弦值． 解：（1）如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点， ∴AC必经过F 又E是PC的中点， 所以，EF∥AP

2分

1分

∵EF在面PAD外，PA在面内， ∴EF∥面PAD

4分

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD?面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，

又AP?面PAD，∴AP⊥CD

6分 7分 8分

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD 又AD?面PAD，所以，面PDC⊥面PAD

（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则

A（1，0，0），P（0，0，1）

9分

????由（2）知AP?(?1,0,1)是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），

????????BD?(?2,?1,0)，PD?(?1,0,?1) ?设面BPD的法向量n?(x,y,z)， ????????????2x?y?0由n?PD,n?BD得?

?x?z?0??取x?1，则n?(1,?2,?1)，

10分

?????(1,?2,?1)?(?1,01)3??向量AP?(?1,0,1)和n的夹角的余弦

326所以，锐二面角B—PD—C的余弦值11分

3 3 12分

82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面

互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）求证：AM//平面BDE； （2）求二面角A—DF—B的大小.

（1）解：记AC与BD的交点为O，连接OE………………1分

∵O，M分别是AC、EF的中点，且四边形ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM//OE，

又OE?平面BDE，AM?平面BDE，

错误！未找到引用源。

∴AM//平面BDE.……………………4分

（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF，垂足为S，连接BS，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD?AF=A，

∴AB⊥平面ADF.…………………………6分 又DF?平面ADF，

∴DF⊥AB，又DF⊥AS，AB?AS=A，

∴DF⊥平面ABS. 又BS?平面ABS， ∴DF⊥SB.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.……………………8分 在Rt△ASB中，AS?∴tan?ASB?6,AB?2, 33

∴∠ASB=60°.……………………………………10分 （本题若利用向量求解可参考给分）

83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图，正方形ACDE所在的平面与平

面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC?BC，且AC?BC． （1）求证：AM?平面EBC；

（2）求直线AB与平面EBC所成的角的大小； （3）求二面角A?EB?C的大小． 解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE是正方形，

?EA?AC,AM?EC． ………………………1分

∵平面ACDE?平面ABC，又∵BC?AC，

?BC?平面EAC． ……………………2分 ?AM?平面EAC，?BC?AM．……………3分 ?AM?平面EBC． ………………4分 (Ⅱ)连结BM，

?AM?平面EBC，

??ABM是直线AB与平面EBC所成的角． ………5分 设EA?AC?BC?2a，则

AM?2a，AB?22a， ………………………6分

AM1?sin?ABM??， ??ABM?30?．

AB2即直线AB与平面EBC所成的角为30?…8分

（Ⅲ）过A作AH?EB于H，连结HM． ……………………9分

?AM?平面EBC，?AM?EB．?EB?平面AHM．

??AHM是二面角A?EB?C的平面角． ……10分 ∵平面ACDE?平面ABC，?EA?平面ABC．

?EA?AB．

在Rt?EAB中， AH?EB，有AE?AB?EB?AH． 由(Ⅱ)所设EA?AC?BC?2a可得

AB?22a，EB?23a， ?AH?AE?AB22a?． ………………10分 EB3

?sin?AHM?AM3?．??AHM?60?． AH2∴二面角A?EB?C等于60?． ……………………12分 解法二: ∵四边形ACDE是正方形 ，?EA?AC,AM?EC， ∵平面ACDE?平面ABC，?EA?平面ABC， ………2分 ∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴， 分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系A?xyz．

设EA?AC?BC?2，则A(0,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),E(0,0,2)，

?M 是正方形ACDE的对角线的交点， ?M(0,1,1)．……………4分

（Ⅰ）AM?(0,1,1)，EC?(0,2,0)?(0,0,2)?(0,2,?2)， CB?(2,2,0)?(0,2,0)?(2,0,0)，

?AM?EC?0,AM?CB?0， ……………………………………4分

?AM?EC,AM?CB?AM?平面EBC． ………………5分

（Ⅱ） ?AM?平面EBC，?AM为平面EBC的一个法向量，…………6分

?AM?(0,1,1),AB?(2,2,0)，?cosAB,AM?1?．……………7分

AB?AM2AB?AM?AB,AM?60?．∴直线AB与平面EBC所成的角为30?． ……8分

(Ⅲ) 设平面EAB的法向量为n?(x,y,z)，则n?AE且n?AB，

?n?AE?0且n?AB?0．

?z?0,?(0,0,2)?(x,y,z)?0,?? 即?

x?y?0.(2,2,0)?(x,y,z)?0.??取y??1，则x?1， 则n?(1,?1,0)．………………10分 又∵AM为平面EBC的一个法向量，且AM?(0,1,1)，

?cosn,AM?n?AMn?AM??1，设二面角A?EB?C的平面角为?，则2co?s?cons,AM?1，???60?．∴二面角A?EB?C等于60?．…12分 284、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 错误！未找到引用源。

为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. （Ⅳ）求证：平面BDF⊥平面ABCD

解法一：（Ⅰ）?BF?平面ACE. ?BF?AE.

∵二面角D—AB—E为直二面角，且CB?AB， ?CB?平面ABE.

?CB?AE. ?AE?平面BCE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=2，

错误！未找到引用源。

?BF?平面ACE，

（Ⅲ）过点E作EO?AB交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h，?VD?ACE?VE?ACD,

11?S?ACB?h?S?ACD?EO. 3311AD?DC?EO?2?2?123 2?AE?平面BCE，?AE?EC. ?h?2??.113AE?EC2?622

∴点D到平面ACE的距离为

23. 3错误！未找到引用源。

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直 线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行 于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，如图.

?AE?面BCE，BE?面BCE， ?AE?BE， 在Rt?AEB中,AB?2,O为AB的中点，

?OE?1.?A(0,?1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

AE?(1,1,0),AC?(0,2,2). 设平面AEC的一个法向量为n?(x,y,z)，

??y??x,?AE?n?0,?x?y?0,则?解得? 即?z?x,2y?2x?0.???AC?n?0,?

令x?1,得n?(1,?1,1)是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为m?(1,0,0)，

?cos(m,n)?m,n|m|?|n|?13?33.∴二面角B—AC—E的大小为arccos. 33（III）∵AD//z轴，AD=2，∴AD?(0,0,2)， ∴点D到平面ACE的距离d?|AD|?|cos?AD,n??|AD?n||n|?23?23. 385、(山西大学附中2008届二月月考)如图，正三棱柱ABC?A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H. （1）求证：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大小（用反三角函数表示）； （3）求点B1到平面A1BD的距离.

（1）证明：建立如图所示， AE?(?2,?1,0) A1D?(?1,2,0)

错误！未找到引用源。

BD?(0,0,?3)

∵AE?A1D?2?2?0 AE?BD?0?0?0(?3)?0

∴AE?A1D,AE?BD 即AE⊥A1D， AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD （2）设面DA1B的法向量为n1?(x1,y1,z1)

n1?(2,1,0)?z1(?3)?0由n1?A1D?0 n1?BD?0?? ∴取

??x1??2y1?0设面AA1B的法向量为 n2?(x2,y2,z2)，则由n2?A1B?0,n2?A1A?0

??x?2y2?3z2?0??2 ?取n2?(3,0,3)， ?n1,n2???2y2?0由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos（3）B1B?(0,2,0)，平面A1BD的法向量取n1?(2,1,0) 则B1到平面A1BD的距离d=|65?12?15 515 5B1B?n1|n1||?25?25 586、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在长方体ABCD?A1B1C1D1中（如图），

AD=AA1=1，AB?2，点E是AB上的动点

(1)若直线D1E与EC垂直，请你确定点E的位置，并求出此时异面直线AD1与EC所成的角

(2) 在（1）的条件下求二面角D1?EC?D的大小 [解]解法1：由D1E与EC垂直?DE与CE垂直-----1分 设AE=x,在直角三角形DEC中求得x?1-----2分 所以点E是AB的中点--------------3分

取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以?D1AQ是所求的角------4分

?-------------5分 3?异面直线AD1与EC所成的角为-------6分

3求解?D1AQ得?D1AQ=

解法2：利用向量法

分别以DA，DC，DD1所在的直线为X轴建立坐标系---------------------------------1分 设AE=x， 根据直线D1E与EC垂直?x?1-----2分

所以点E是AB的中点--------------3分

写出A（1，0，0） E（1，1，0 ） C （0，2，0） D1（0，0，1）---------4分

?????????AD1?(?1,0,1),CE?(1,?1,0)

?????????1设AD1与CE的夹角为? cos?=?----------------5分

2?-----------6分 3（2）解法1：由D1E与EC垂直?DE与CE垂直，

异面直线AD1与EC所成的角为

所以?D1EC是所求D1?EC?D的平面角---8分

求解直角D1DE得 tg?DD1E?二面角D1?EC?D是arctg2-------11分 22--------12分 22 2解法2：利用向量法求得二面角D1?EC?D是arctg

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