江西省上饶市2022-2022学年高二上学期期末数学(文)试题

2020-2021学年高二上学期数学试题

上饶市2020-2021学年度第一学期期末教学质量测试

高二数学(文科)试题卷

一?选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).

1. 设

1

1

i

z

i

，则z=（

）

A. 2

B.

C. D. 1

D

先化简z i

=-，即得解.

由题得

2

1(1)2

1(1)(1)2

i i i

z i

i i i

---

====-++-

，

所以1

z=.故选：D

本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课?休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（）

7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 8

3 1 0

4 9 2 3 1 4 9 3

5 8 2 0 9 3

6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 8

7 4

8 1

A. 25

B. 24

C. 29

D. 19

C

根据随机数表结合编号逐次取可得正确的编号.

从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字，依次取出的编号为：25，30，24，29，故选出来的第4个学生的编号为29.故选：C.

3. 某学生一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（）

1

2020-2021学年高二上学期数学试题

2

A. 10%

B. 8%

C. 5%

D. 4%

D 根据图2可得牛奶开支占食品开支的

比例，结合图1，即可得答案.

由图2可得，牛奶开支占食品开支的比例为

4043040100805030

=++++， 根据图1可得该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为430%4%30?=.故选：D 4. 利用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ）

A. a ，b ，c 中至多有一个数大于1

B. a ，b ，c 中至多有一个数小于1

C. a ，b ，c 中至少有一个数大于1

D. a ，b ，c 中都小于1

D

否定原命题的结论可得结果.

“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”的否定为：a ，b ，c 都小于1，故选：D

5. 执行如图所示的算法，若输出的结果2y ≥，则输入的x 满足（ ）

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3

A. 4x ≥

B. 1x ≤

C. 1x ≤-或4x ≥

D. 14x -≤≤

C

解不等式后可得输入的输入的x 的取值范围. 流程图的作用是求分段函数(),01,02x x x f x x ?>?=???≤? ???

?的函数值.

2y ≥的解即为20x x ≥>??或0122x x ≤?????≥ ????

?，故1x ≤-或4x ≥，故选：C. 6. 已知(1,2)a =，(,4)b x =，且10a b ?=，则a b -=（ ）

A. 5

B. 5

C. 10

D. 10

B

利用向量数量积的坐标运算公式求解x ，再根据向量线性运算公式以及模长公式求解即可. 由(1,2)a =，(,4)b x =，

得2410a b x ?=+?=，

解得2x =，(2,4)b =

故(1,2)a b -=--， 22(1)(2)5a b -=-+-=，故选：B

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4

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则DF =（ ）

A. 12

33AB AD -+

B. 132

3

AB AD -

C. 1

536

AB AD - D. 1334

AB AD -

C

先用,AB AD 表示AE ，再结合DF AF AD =-可得正确的表示形式.

因为1

2

=+=+

AE AB BE AB AD ， 故11115

33636

DF AF AD AE AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=-，故选：C.

8. 在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离002

2

Ax By C d A B

++=

+，类比可得

在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ） A. 4 B. 5 C.

16

3

D.

203

A

类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为0002

2

2

Ax By Cz D

d A B C

+++=++，即为即

可得出结果.

类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222

Ax By Cz D

d A B C +++=++，

故点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离：

2

2

2

223244

4122

d +?+?-=

=++，故选：A.

9. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数a 、b ，则直线0ax by -=与2

2

55x y 相切

2020-2021学年高二上学期数学试题

5

的概率为（ ） A.

16 B. 112 C. 118 D. 130 B

本题首先可以通过直线0ax by -=与圆2255x y 相切以及点到直线距离公式得出2a b =，然后通过题意确定(),a b 数对一共有多少种以及满足2a b

=的(),a b 数对有几种，最后通过概率计算公式即可得出结果．

因为直线0ax by -=与圆2255x y 相切，

所以圆的圆心为0,555b a b ，化简得2a b =， 因为一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数为a 、b ，

所以(),a b 数对共有36种，其中满足2a b =的数对有()2,1、4,2、6,3三种， 故3

13612P ，故选B ． 本题考查直线与圆的位置关系以及古典概型的相关计算公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，考查计算能力与推理能力，是中档题．

10. 边长为m 的正方形内有一个半径为2??< ??

?m n n 的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为

12，则圆周率π的值为（ ） A. 2m n B. 2n m C. 222m n D. 222n m

C

根据几何概型的思想,求出圆的面积占正方形面积的比例即为豆落在圆内的概率,再化简求得圆周率π的表达式即可. 根据几何概型可知, 边长为m 的正方形内有一个半径为2??< ??

?m n n 的圆， 向正方形中机扔一粒豆子它落在该圆内的概率为

22

22122n m m n

ππ=?=.故选：C

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6

本题主要考查了根据几何概型的运用,属于基础题.

11. 若A 为不等式组002x y y x ≤??≥??-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a

+=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）

A .

1

B. 1.5

C. 0.75

D. 1.75

D 先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x y a +=的变化范围，最后由三角形的面积公式解之即可. 如图，不等式组002x y y x ≤??≥??-≤? 表示的平面区域是AOB ， 动直线x y a += (即y x a =-+)在y 轴上的截距从-2变化到1， 知ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，EOC △是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积为： ADC EOC S S S 阴影

131311222 7 1.754

.故选:D . 本题考查的是线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，是基础题. 12. 已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，三角形OCD 的顶点C ?D 在半圆弧AB 上运动，且120COD ∠=?，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ?的取值范围是（ ）

2020-2021学年高二上学期数学试题

A.

1

,1

2

??-????

B.

353

,

424

??

--

??

??

C.

373

,

424

??

--

??

??

D.

153

,

224

??

--

??

??

A

建立如图所示的平面直角坐标系，设()()

22

cos,sin,cos,sin,cos,sin

33

D C P

ππ

ααααθθ

??

????

++

? ?

?

????

??

，其中0

3

π

α

≤≤，0θπ

≤≤，求出PC、PD的坐标后可求数量积的取值范围.

如图，设()()

22

cos,sin,cos,sin,cos,sin

33

D C P

ππ

ααααθθ

??

????

++

? ?

?

????

??

，

其中0

3

π

α

≤≤，0θπ

≤≤.

22

cos cos,sin sin

33

PC

ππ

αθαθ

??

????

=+-+-

? ?

?

????

??

，

()

cos cos,sin sin

PDαθαθ

=--，

所以()

2

cos cos cos cos

3

PC PD

π

αθαθ

??

??

+-?-

?=?

??

??

??

()

2

sin sin sin sin

3

π

αθαθ

??

??

++-?-

?

??

??

??

，

122

1cos cos cos sin sin sin

233

ππ

θααθαα

????

????

=-+-?++-?++

? ?

????

????

????

7

2020-2021学年高二上学期数学试题

8

1cos sin sin cos 266ππθαθα????=-?--?- ? ????? 1sin 26παθ??=

--+ ???， 因为03πα≤≤

，0θπ≤≤，故3πθαπ-≤-≤，7666πππθα-≤-+≤ 故1sin 126παθ??-≤-+≤ ???，故1,12PC PD ???∈-????

.故选：A. 方法点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．

二?填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上)

13. 设i 为虚数单位，若复数z 满足()

21z i -?=，则z =___________. 2i + 利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z . ()21z i -?=，1

22z i i

∴=+=-，因此，2z i =+. 故答案为：2i +.

14. 已知随机事件A ，B 互为对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________.

34

根据对立事件的概率关系可求()P A .

因为随机事件A ，B 互为对立事件，故()()1P A P B +=，而故()()3P A P B =，

故()34

P A =

， 故答案为：34. 15. 锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、

b 、

c ，sin sin sin a b C B c A B

-=+，且a =则ABC 面积的取值范围是___________.

2020-2021学年高二上学期数学试题

9

11,2? ??

利用正弦定理、余弦定理可得出cos A 的值，可求得角A 的值，利用正弦定理、三角恒等变换

思想可得出12242ABC S B π??=-+ ??

?△，求出角B 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得ABC 面积的取值范围.

由正弦定理可得a b c -==

222a b c -=，

可得222

b c a +-=

，所以，222cos 2b c a A bc +-== 0A π<<，4

A π

∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin b c a B C A

===，2sin b B ∴=，2sin c C =，

(

)11sin 2sin sin sin sin 224ABC S ac B C B B A B B B π??===+=+ ???

△)211cos 2cos sin sin cos sin sin sin 222B B B B B B B B -=+=+=

+1242B π??=-+ ??

?， 因为ABC 为锐角三角形，则022

4B B ππππ?<<????<+<??，解得42B ππ<<，32444B πππ∴<-<，

sin 2124B π??∴<-≤ ???

，则111sin 22422B π??<-+≤ ??

?. 因此，ABC

面积的取值范围是11,2?+ ??

.

故答案为：11,2? ??

. 方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

16. 给出下列说法：

2020-2021学年高二上学期数学试题

10

①回归直线???y

bx a =+恒过样本点的中心(),x y ； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近1；

③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；

④在回归直线方程?20.5y

x =-中，当变量x 增加一个单位时，?y 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________.

①②④.

①中，根据回归直线方程的特征，可判定是正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是不正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.

解:对于①中，回归直线???y

bx a =+恒过样本点的中心(,)x y 所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据平均数的计算公式可得744471

x ?+==+,根据方差的计算公式()2217244 1.7528s ??=?+-=<?

?，所以是不正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程?20.5y

x =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量?y

平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故答案为：①②④.

关键点点晴：本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键.

三?解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明?演算步骤)

17. 已知22a b ==，且向量a 在向量b 的方向上的投影为1-，求： （1）a 与b 的夹角θ;

（2）()

2a b b -?.

（1）23π；（2）3-. （1）由题知2,1,cos 1a b a θ===-，进而得出cos θ，即可求得θ.

2020-2021学年高二上学期数学试题

11

（2）根据数量积的定义cos a b a b θ?=??即可得出答案. 解：（1）由题意，2,1,cos 1a b a θ===-，所以1cos 2

θ=-. 又因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）()2222122cos 22121332a b b a b b a b b π??-?=?-=??-=??--?=- ???

. 本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.

18. 已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-.

（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；

（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围.

（1）2-；（2）(4,4)-.

（1）根据纯虚数的性质，列出方程组，即可求得答案；

（2）根据题意，可得复数z 对应点的坐标，根据题意，列出不等式，即可求得答案.

（1）由题意得：225602530m m m m ?++=?+-≠?

，解得2m =-； （2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-，

直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>，

所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>，

解得44m -<<，

所以m 的取值范围为(4,4)-.

19. 设x ，y 满足约束条件2101000

x y x y x y --≤??-+≥??≥??≥?.

2020-2021学年高二上学期数学试题

12

（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域；

（2）若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，求

1123a b

+的的最小值. （1）答案见解析；（2）最小值为4.

（1）由题意可知不等式组表示的平面区域为在第一象限内两直线与y 轴所围成的区域；

（2）由图可知当直线z ax by =+经过可行域上的点C 时取得最大值1，即有231a b +=，从而有1111(23)2323a b a b a b ??+=++ ???，化简后利用基本不等式可求得其最小值 解：（1）画出约束条件2101000

x y x y x y --≤??-+≥??≥??≥?表示的平面区域， 如图阴影四边形AOBC 所示；由题意知，1(0,1),,02A B ?? ???

，

2020-2021学年高二上学期数学试题

13

由21010

x y x y --=??-+=?，解得23x y =??=?，即(2,3)C ； （2）目标函数z ax by =+经过可行域上的点C 时取得最大值1，即231a b +=； 所以11112323(23)222423233232a b a b a b a b a b b a b a ?????+=++=++≥+?= ? ? ???

??， 当且仅当1232

a b ==时取等号；所以1123a b +的最小值为4. 20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为164km h -?．

（1）求a ，b 的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；

（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关． 认为安装监控测速装置十分必要

认为安装监控测速装置没有必要 男司机 70

30 女司机

50 50 附：2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

2020-2021学年高二上学期数学试题

2

()

P K k0.100 0.050 0.010 0.001

k 2.706 3.841 6.635 10.828

（1）0.04

a=，0.03

b=，中位数为65；（2）有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．

（1）根据频率和为1以及平均数为64可以建立起关于a，b的二元一次方程，从而可以求出a，b的值，进而可以由频率分布直方图求出中位数；

（2）根据2

K的计算公式计算出2K的值，与临界值比较，即可得出结论.

（1）根据频率和为1可得：10(0.020.01)1

a b

?+++=，

化简为0.07

a b

+=，①

又450.1550.26510751064

a b

?+?+?+?=，

所以6575 4.85

a b

+=，②

由①②联立得，0.04

a=，0.03

b=；

由于前两块矩形的面积分别为0.1和0.2，

故所求的中位数为

()

0.5100.010.02

601065

0.4

-?+

+?=；

（2）根据表中数据，计算

2

2

200(70503050)25

8.333 6.635

100100801203

K

??-?

==≈>

???

，

所以有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．

21. 用综合法或分析法证明：

（1）已知三角形ABC中，边BC的中点为D，求证：向量22

AB AC AD BD

?=-.

（2）已知a b c

>>，且0

a b c

++=

2

3

b ac

-

<.

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

14

2020-2021学年高二上学期数学试题

15

（1）用综合法证明：因为2AB AC AD +=，2

AB AC DB -=由22AD DB -化简得证； （2

<，即证223b ac a -<，逐步推出其成立的充分条件. 证明：（1）2AB AC AD +=，2

AB AC DB -= ()

222211242AB AC AD AB AC AB AC ??+∴==++? ??? ()

222211242AB AC DB AB AC AB AC ??-==+-? ??? 22

AB AC AD DB ∴?=-

（2

）要证a

<

< 即证223b ac a -<即2230a b ac -+>

又因为c a b =--即证223()0a b a a b -+-->

即证2220a ab b -->

即证()(2)0a b a b -+>

又因为a b >，0a b ->，即证20a b +>，又因为a b c +=-即证0a c ->

即证a c >

又由已知，a c >，故原不等式成立.

【点晴】方法点晴：综合法由定义、定理公理等逐步推出结论成立；分析法从结论出发，推出其成立的充分条件，直到得到一个显然成立的条件.

22. 已知关于x 的一元二次方程210x ax b -+-=，记该方程有两个不等的正实根为事件A . （1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为a 、b ，求事件A 发生的概率；

2020-2021学年高二上学期数学试题

16

（2）利用计算器产生两个随机数x 、y ，且[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，若21a x =-，254

b y =-+，求事件A 发生的概率.

（1）512；（2）416

π-. （1）计算出基本事件的总数，列举出事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得()P A ，即为所求；

（2）根据题意求出事件A 所构成的区域，作出图形，利用面积比可求得()P A ，即为所求. （1）抛掷两枚质地均匀的骰子所得点数构成有序数对(),a b 的所有基本事件数为2636=，

用事件A 表示“方程210x ax b -+-=有两个不等的正实数根”，则()2410a b ?=-->且

10b ->，

则事件A 包含的基本事件有：()3,2、()3,3、()4,2、()4,3、()4,4、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15个基本事件，

所以，()1553612

P A ==； （2）用事件A 表示“方程210x ax b -+-=有两个不等的正实数根”，

()()2

22221114102140424a b x y x y ?????=-->?---+>?-+> ? ?????， 211100042

b y y ->?->?≤<， 12102

a x x =->?>， 所以事件A 构成的区域如下图中的阴影部分区域如下图所示：

2020-2021学年高二上学期数学试题

17

阴影部分区域的面积为2

111444216S ππ-??=-??= ???， 因此，()24416116

P A π

π--==. 方法点睛：常见的几何概型类型如下： （1）长度型；

（2）面积型；

（3）体积型.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aevq.html