数值分析考试卷及详细答案解答

姓名 班级 学号 一、选择题

1.F?2,5,?3,4?表示多少个机器数(C ).

A 64 B 129 C 257 D 256

2. 以下误差公式不正确的是( D)

A．??x1*?x2*????x1*????x2*? B．??x1*?x2*????x1*????x2*? C．??x*?x*??x*??x*??x??x*? D．??x*/x*????x*????x*?

12121221123. 设a??2?1?6, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值

计算上将给出a较好的近似值？(D )

A

1(2?1)63 B 99?702 C (3?22) D

1(3?22)3

4. 一个30阶线性方程组, 若用Crammer法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )

A 31×29×30! B 30×30×30! C 31×30×31! D 31×29×29!

5. 用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度, 读出的长度1235mm, 桌子的精确长度记为（ D ）

A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5mm D 1235±0.5mm

二、填空

1.构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。 2.十进制123.3转换成二进制为1111011.01001。

3.二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。 4. 二进制0101.转换成十进制为

5。 75.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。 6. ln2=0.69314718…，精确到10?3的近似值是 0.693 。

7.x???3.14159265 和3 。

8.设

*?3.1416，x*，则x12?3.141的有效数位分别为

x*?2.001,y*??0.8030是由精确值x和y经四舍五入得到的近似值，则

x*?y*的误差限 0.55×10-3 。

9．设

x?2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值x*? 2.3150 。

10．设有多项式函数p?x??2x3?10x2?7x?8，给出计算法

p?x?的计算量较小的一个算

((2x+10)x-7)x+8 。

1

三、计算

1.指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。

2.000 4 －0.002 00

―

解： 因为x1=2.000 4＝0.200 04×101， 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 15，即m=1，n=5，

1故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限?r??101?5?0.000025

2?a1

x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限?r=

1?101?3=0.002 5 2?2*?999.9和x*?1000和它的两个近似值为x12?1000.1分别计算它们

的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值x的两个近似值x1,x2，则有效数位n大的则其绝对误差限就越小?

2.对准确值x1??10m?n，n越大，通常绝对误差限越小，但绝对误差限也与m有2*关 ，因此上述结论并不总是正确。如准确值 x?1000，它的两个近似值为 x1?999.9和*****x2?1000.1，x1,x2 的绝对误差限均为x?x1?x?x2?0.1，但x1*有3位有效数字，

解答：?(x)?x?x*而x2则有4位有效数字。

3.如要求?*10的近似值的相对误差小于?0.1%，则?至少要取几位有效数字？

?(?10)10(?*)9?(?)?(?)解：?r(?)???10?10??r(?)?0.1%

(?*)10(?*)10?*10

从而?r(?)?10?4，又?r(?)?1?101?n，a1?3，即要求2a1?r(?)?

1?101?n?10?4，从而解出n?5 2a1

4.设x?0，已知近似值x*的相对误差为a，估计lnx*的绝对误差。

解：

1?(lnx*)x*?(x*)?(x*)1a*?r(lnx*)?????(x*)?lnx? rlnx*lnx*x*lnx*lnx*

从而?(lnx*)??r(lnx*)?lnx*?a

姓名 班级 学号

2

一、选择题

1.通过点(x0,y0)， (x1,y1)， (x2,y2)所作的插值多项式是( C )

(A) 二次的 (B) 一次的 (C) 不超过二次的 (D) 大于二次的

3.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( C )， 则P(x)是不超过一次多项式。

(A) 初始值y0=0 (B) 所有一阶差商为0 (C) 所有二阶差商为0 (D) 所有三阶差商为0 3.通过点(x0,y0),(x1,y1)的Lagrange插值基函数l0?x?,l1?x?满足（A，C）

?A?l0?x0??1,l1?x1??1 ?B?l0?x0??1,l1?x1??0

?C?l0?x0??1,l1?x0??0 ?D?l0?x0??0,l1?x1??0 4．已知n对观察数据?xk,yk?,k?1,2,,n。这n个点的拟合直线y?a0?a1x，则a0,a1是使（C）最小的解。 (A)

(C)

?yk?1nk?1nk?a0?a1xk (B)??yk?a0?a1xk?

2n??yk?a0?a1xk? (B)

??yk?1k?1nk?a0?a1xk2?

5.设P?x?是在区间上的[a,b]上的y?f?x?分段线性插值函数，以下条件中不是P?x?必须满足的条件是（C）

（A）P?x?在[a,b]上连续，（B）P?xk??yk，（C）P?x?在[a,b]上可导，

（D）P?x?在各子区间上是线性函数

二、填空

`1.设一阶差商f[x1,x2]?f(x2)?f(x1)?1?4??3,f[x2,x3]?f(x3)?f(x2)?6?1?5, 则

x3?x24?22x2?x12?1二阶差商f[x1,x2,x3]? 11/6

22.设f(x)?3x?5，xk?kh,k?0,1,? ，则f[xn,xn?1,xn?2]? 3 ，

和 f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]? 0 。

3.设f(x)?ax?bx?c(a?0), 取5个不同节点作f(x)的拉格朗日插值多项式P(x)，则

3P(x)是__3___次多项式。

那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 1 。 5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S?x?在[a,b]上具有直到___2 _阶的连续导数。

三、计算与证明

1.已知函数y=f(x) 的观察数据为

xk －2 0 yk 5 1 试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(－1)。 解：先构造基函数

3

4 －3 5 1

l?(x)?x(x??)(x??)x(x??)(x??) (x??)(x??)(x??)(x??)(x??)(x??) ??l?(x)??(????)(????)(????)??(??(??))(???)(???)?? l?(x)?(x?2)x(x?4)(x?2)x(x?4) (x??)x(x??)x(x??)(x??) l3(x)????(5?2)(5?0)(5?4)35(???)(???)(???)??所求三次多项式为P3(x)=

?ylk?03kk(x)

x(x??)(x??)(x??)x(x??)＋

????

＝???x(x??)(x??)＋(x??)(x??)(x??)－(??)?????＝?x???x????x?? ?????? P3(－1)＝??????? ????????????2.已知函数y?f(x)的数据如下表。计算它的各阶差商和N3(x)的形式， 解:先构造差商表如下：

N

-2 -56 -1 -16 40

0 -2 14 -13 1 -2 0 -7 2 3 4 3 1 2 0

(x) = –56 + 40(x + 2) –13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x3

2a?x?bxk -2 -1 0 1 3 f(xk) -56 -16 -2 -2 4

3.设f(x)?C[a,b]，试证：maxf(x)?[证：由于f(x)的线性插值

x?bx?a1f(a)?f(b)]?(b?a)2maxf''(x)

a?x?ba?bb?a8f(b)?f(a)x?bx?a(x?a)?f(a)?f(b)?L1(x)（直线的点斜式）

b?aa?bb?af(b)?f(a) 于是 maxf(x)?[f(a)?(x?a)]

a?x?bb?a f(a)?f''(?) ?maxf(x)?L1(x)?max(x?a)(x?b)（a???b）

a?x?ba?x?b2!1'' ?max(x?a)(x?b)maxf(x)

a?x?b2a?x?b12'' ?(b?a)maxf(x)

a?x?b84.要给出y?cosx等距节点函数表，如用线性插值计算y的近似值，使其截断误差限为1?10?5，则函数表的步长应取多大？ 2 4

5．给定数据表

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.

5

6．已知

f?x??ln?x?2?,?1?x?1，求f?x?

的二次最佳平方逼近，其中取权为1，并

求平方误差。

1解：由于勒让得多项式在[-1，1]上正交，所以设?0?x??1，?1?x??x，?2?x???3x2?1?

2

??x??a??2? x??a0?0?x1??1?x?a2而??0,?0??2,??1,?1??22,??2,?2?? 35?y,?0??1.29584,?y,?1??0.352082,?y,?2???0.0374965

得，a0所以??0.647918,a1?0.528122,a2?-0.0937412

?x??0.647918?0.528122x-0.0468706(3x2-1)

其平方误差为

??y???x??dx=0.0524489

?112姓名 班级 学号 一、选择题

1.已知等距节点的插值型求积公式

?f?x?dx??Af?x?，那么?A2kkk?0k?0533k?（C）

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

6

2.已知求积公式

1?2?1f1?kf?????f?2?，则k＝（D） ?16?3?6A． 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3

2f?x?dx?3.在牛顿-柯特斯求积公式：

?baf?x?dx??b?a??Ci?n?f?xi?中，当系数Ci??是负值时，

ni?0n公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（B）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用 A. n?10 B. n?8 C. n?7 D. n?9 4.为使两点数值求积公式为（D ）

A．任意x0,x1 B.x0??1,x1?1 C.x0?x1?5.三点的高斯求积公式的代数精度为( B ).

?f?x?dx?f?x??f?x?具有最高阶代数精度，则求积结点应

?1011111,x1? D. x0?? 333A. 2 B.5 C. 3 D. 4

二、填空

??(?)??,C?(?)?,C??，那么C?(?)＝ 1/8 ???2.已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得

1.已知n=3时，Cotes系数C?(?)?f?x?dx?2.367，用三点式求得f?(1)? 1/4 .

133.求积公式

Akf(xk)的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有?af(x)dx?k??0bn( 2n+1 )次代数精度。

4.数值微分中，已知等距节点的函数值

?x0,y0?,?x1,y1?,?x2,y2?, 则由三点的求导公式，

f??x1?=

1??y0?y2? 2h5. 运用梯形公式和Simpson,计算积分，其结果分别为0.5 和0.25 三、解答与证明

1.确定求积公式

?20f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?A2f(2)中的待定参数，使其代数精度尽量

2高，并指出所得公式的代数精度。

解:令f(x)?1,x,x，假定求积公式均准确成立，从而有：

??202dx?2?A0?A1?A2 xdx?2?A0?0?A1?1?A2?2

0?20x2dx?8?A0?02?0?A1?12?A2?22 37

解以上三元线性方程组从得：A0?A2?14,A1?，代回求积公式有 33

?20f(x)dx?141f(0)?f(1)?f(2) 333141f?x??x3代入公式，有：左边=4,右边=?0??1??23?4。

333321414204令f?x??x代入公式，有：左边=，右边=?0??1??2?,

53333令

则，左右不等，因此代数精度为3

2．如果用复化梯形公式计算定积分取多少？

?x解：复化的梯形公式的截断误差为M2?maxf??(x)?max(e)?1

0?x?10?x?1???e?xdx，要求截断误差不超过0.5×10－4，试问n至少

I?Tn?b?a21?4，n=40.8 ，取n?41。 hM2??0.5?1021212n1sinxsinx，根据下表数据求?dx的近似值，计算复合梯形公式n?4,8时

0xx的T4,T8，以及n?4复合Simpson公式S4的值。

3．对于f(x)?k 0 1 2 3 4 解

：xk 0 0.125 0.25 0.375 0.5 f(xk) 1.000 000 0 0.997 397 8 0.989 615 8 0.976 726 7 0.958 851 0 k 5 6 7 8 xk 0.625 0.75 0.875 1 f(xk) 0.936 155 6 0.908 851 6 0.877 192 5 0.841 470 9 T4?4[f(0)?2?(f(0.25)?f(0.5)?f(0.75))?f(1)]?0.9445135，

21?01h??

44711?01T8?[f(0)?2?f(xk)?f(1)]?0.9456909 h? ?

1688k?111?01 S4?[f(0)?4?(f(0.125)?f(0.375)?f(0.625)?f(0.875)) h ??

442441 ?2?(f(0.25)?f(0.5)?f(0.75))?f(1)]?0.9460832（或利用S4?T8?T4）

33

4．建立高斯型求积公式 解：令

1?1?1f(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)

f(x)?1,x,x2,x3代入求积公式有下列线性方程组：

8

?A0?A1?2?Ax?Ax?00011??2 ?22?A0x0?A1x1?3?33??A0x0?A1x1?0解之得，A0?A1?1x0??33x1?3， 3所以，高斯型求积公式为

?1?1f(x)dx?f(?33)?f()33

5．对于求积公式

（1）求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度； （2）用所求公式计算

?h0x2dx的值。

9

姓名 班级 学号 一、选择题

?4x1?x2?4x3??1?1.当a（ D ）时, 线性方程组?3x1?5x2?x3?4的迭代解一定收敛。

??4x?2x?ax??123?1A >=6 B =6 C <6 D >6

2.解方程组AX=b的简单迭代格式收敛的充要条件是（ A ）

10

A ρ(A)<1 B ρ(B)<1 C ρ(A)>1 D ρ(B)>1

?0.50?k3.设A??，则limA?( C ). ?k?k?160.5?A 不存在 B I C 0 D 0.5

4.对方程组AX=b的建立迭代格式求解，下列说法不正确的是（ A ）。 A 若Jacobi迭代收敛，则Gauss-Seidel迭代一定收敛。 B Gauss-Seidel迭代收敛，Jacobi迭代不一定收敛。 C Jacobi迭代收敛，Gauss-Seidel迭代不一定收敛。

D 若Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都收敛，则Gauss-Seidel迭代收敛速度较快。 5. 设有方程组AX=b，下列说法正确的是（ C ）。

A 若A对称正定，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛。 B 若A对称正定，则Gauss-Seidel迭代和超松弛迭代都收敛。

C 若A严格对角占优，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛。 D 超松弛迭代收敛的充要条件是超松弛因子0???2。

二、填空

?x1?2x2?2x3?1?(k??)1.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组?x1?x2?x3?3的迭代格式中x?＝

?2x?2x?x?523?1 。（5?2x12.A??(k?1)(k?1)?2x2）

?11?，则A的谱半径?(A)? 。（?(A)?6） ???51??12?2??x1??1??0?22???????3.设111x2?1，则Jacobi法迭代矩阵BJ? 。（??10?1?） ??????????????221x1????3?????2?20???1a?4.方程组AX=b中，A???，则求解方程组的Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代均收敛

4a1??的a的范围是___________。（-0.5

5.取x(0)?4x1?x2?x3?5T???1,1,1?，用Gauss-Seidel迭代求解方程组?2x1?5x2?2x3??4，迭代一次所

?x?x?3x?33?12）

得结果为： 。（

三、计算与证明

1．讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中

?30?2???. A??021???212???解

11

?0?0?BJ??00???1?1?2?2?3?1???2?0???0?23111??3?212??I?BJ?0?1??0?12，

??(BJ)?11?112

?

即Jacobi迭代收敛

?3BG??0????10210?0??2???1?0?0???0000?12??3???1??0??0???1??60121?4?0?0??0??0??1???02??000?0?2????1??0??0???0??0002?3?1???2?11?12??

2 ?I?BG??(??12)?0 ，得?(BG)?12?1,Gauss__Seidel迭代收敛

11111111 又?1212<

2．已知方程组

?sSeid迭代快。el ?Gaus

?210??x1??1??????? 131x2??1 ????????012????x3????1??（1） 证明高斯－塞德尔法收敛；

（2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式； （3） 取初始值X?0???0,0,0?，求出X?1?。

T解：（1）因为A严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯－塞德尔法迭代公式为：

1?(k?1)(k)x?(1?x2)1?2??(k?1)1(k) ?x1?(?1?x1(k?1)?x3),k?0,1,?

3?1(k?1)(k?1)?x3?(1?x2)?2?113T?1??1??1??0? （3）取初值X??0,0,0?，计算得x1?，x2??，x3?

2243．试证明以下方程Jacobi迭代收敛，而Seidel迭代不收敛。

?12?2??x1??1??111??x???1? ???2?????221????x3????1??

12

?解：BJ的等特征方程det(?I?BJ)?12?2?21?0??3?0??(BJ)?0?1

2因此Jacobi迭代收敛收敛

??2?2?1?0??(??2)2?0??(BG)?2?1 BG的等特征方程?2?2??因此GS法不收敛。

4.设线性代数方程组Ax?b的系数矩阵为

?1aa??，证明： A??a1a????aa1??（1） 当?0.5?a?1时，用Gauss-Seidel迭代法及SOR（0???2）法求解Ax?b收敛

（2） ?0.5?a?0.5时，用Jacobi迭代法求解Ax?b收敛

证明：（1）只要证A对称正定即可，对称易知，?-1/2＜a＜1 ,顺序主子式detA1?1?0，

detA2?1aa1?1?a2?0，detA3?(1?a)2(1?2a)?0?故A对称正定，由定理知

GS及SOR法收敛. （2）?0.5?a?0.5时，A为严格对角占优矩阵，由定理知Jacobi迭代法收敛，此时Gauss-Seidel迭代法也收敛。 5.给定线性方程组Ax?b，A??x(k?1)?x(k)?可使迭代收敛最快？

?32??3?，用迭代公式,b?????12???1???(b?Ax(k)),k?0,1,?求解Ax?b，间取什么实数?可使迭代收敛？什么

?1?3??2??解：所给迭代公式的迭代矩阵为B?I??A???

??1?2?????(1?3?)2? 其特征方程为?I?B??0

???(1?2?)

即??(2?5?)??1?5??4??0

222 ??(2?5?)??(1??)(1?4?)?0

[??(1??)][??(1?4?)]?0

从而?1?1??,?2?1?4?

13

??1?4?,当??0?2??(B)?max{1??,1?4?}??1－?，当0???（通过做图可看出） ．．．．．．．5??4??1,当??2?5?

?(B)?1当且仅当0???,所以取0???,迭代收敛，当??3，此时收敛最快。 512122时，?(B)达到5最小值

姓名 班级 学号 一、填空

?4?10?T

1.A???14?1?，则A的LDL分解中，L?

????0?14???400???2. 已知 A=?011?，则A1= 4 ；A?= 4 ；||A||2= 4 ；。

?0?10????32??2?A?x?3．设??21???3?,则||A||??_________, ||x||1?________,

??,??||Ax||1?___________.（||A||??5，，||x||1?5，||Ax||1?7） 4．解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是 。 （减少舍入误差）

5．求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是 。

（各阶顺序主子式均大于零）

6.设n×n矩阵G的特征值是λ1,λ2,…..λn, 则矩阵G的谱半径) ρ(G )=___ _____.

二、解答

14

1.试举例证明：非奇异矩阵不一定都有LU分解。 解：令A???01?，显然A非奇异，若A有LU分解，则有： ??10?d??01??1??bd??bA?????a1??c???abad?c?

10????????比较等式两边元素得b?0,ab?1，显然矛盾，故非奇异阵A不能进行LU分解。

??x??x???x????2.用顺序消去法解线性方程组???x???x??x???

??x???x???x????解：顺序消元

??????????? r?r?(??)?r?(?)?[A?b]?????????r???r???(???)????????????.????.???r???r???(???.?)????.???????????????????.????.???????????x???.? 于是有同解方程组：?x???x????.??x????x???? ????x?????

回代得解： x3=－1， x2=1，x1=1。原线性方程组的解为X＝(1，1，－1)T。

3.用列主元消去法解线性方程组

??2x1?3x2?4x3?6,?3x?1?5x2?2x3?5, ?4x1?3x2?30x3?32.解：

??2346?33032??3525???433032????4525?????3525???3?433032????2346????2346????433032??433032????011/4?41/2?19?????011/4?41/2?19??? ?03/2?11?10????002/114/11???433032????011?82?38????0012???即?4x1?3x2?30x3?32,?x1?13,?11x?82x??23??38,??x2?8, ?x3?2.??x3?2.

15

????.?????? ??

4.已知方程组 .

(1) 证明系数矩阵正定；

(2) 用平方根法 (LLT分解)解此方程组。

解：(1)

?1?4?4>0 ??14?14?11?14.25?16>0 ?1??14.252.75?16>0

12.753.5 ?系数矩阵正定

00??2T （2） 由LL分解得L???0.521?

????0.51.251??

7TT由 LY?b得 Y?(2,,1) 再由LX?Y得 X?(1,1,1)

2

5用追赶法求解方程组

?x1??3??2?1?

?x??1???13?2?

?2??????

?x3??0???24?2?

?????? ?25???x4???5?解： c115c2l?b?2u???l?b?au?u?11122212

l22l21

5c126 l4?b4?a4u3?l3?b3?a3u2?u3?3??2 5l35 1??2??1????? 252?1?????1?? 4??13?2??2???1? ???????512??24?2?? ?2??5?5?????1?? ?25??6??5?? ?2???1?2????f3f?ay221由Ly=f解出y y?1??1.5,y??1

1??45l122l216

y3

又由Ux=y解出x

?f3?a3y25?,l36y4?f4?a4y3??1l4

x4?y4??1,x3?y3?u3x4?0x1?y1?u1x2?2

x2?y2?u2x3?1,6.设有方程组AX?b，其中

?1??2??10?1????,b??1?,A??221???3???2??022???????3??

?11?已知它有解X??,?,0?。

?23?如果右端有小扰动?b?T1??10?6，试估计由此引起的解的相对误差。 2??11?1???Cond(A)?22.5,解： A?1??2?11.5??????21?1??16?10?X?由公式 有 ?22.5?2?1.6875?10?5X?2/3

姓名 班级 学号 一、填空题

1． 用二分法求方程f(x)?x3?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 , 进行两步后根的所在区间为 。（[0.5,1]， [0.5,0.75]）

2． 求方程x?f?x?根的牛顿迭代格式是xn?1?xn?xn?f(xn)。

1?f?(xn)3． ?(x)?x?a(x2?5)要使迭代式xk?1??(xk)局部收敛到x*?5，则a的取值范围

1?a?0） 54． 二分法求非线性方程f?x??0在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为 2-9 。

是 。（? 17

5． 迭代法xk?1?21xk?2收收敛于x*?33，此迭代式是 二 阶收敛。 3xk6． 求方程x2?x?1.25?0的近似根，用迭代公式x?那么x1x?1.25，取初始值x0?1，

? .（1.5）

7． 如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分 10 次。

8． 方程xex?1?0的一个有根区间为 ，可构造出它的一个收敛的迭代格式为 。 （（0，1），xk?1?1ek）

9． 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛。（局部平方收敛） 10．

迭代过程xk?1 ???xk?（k=1,2,…）收敛的充要条件是 。（???x??1）

二、 计算与证明

1．为求方程x?x?1?0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，判断各迭代公式的收敛性，给出理由。

(1) x??

32?,迭代公式:xk???x???,迭代公式:xk??x??,?(x)?x???x??? （2）x???

xk???????

xk

????/?(3) x???x,迭代公式:xk???(??xk)

解：在(1)中，x??,??(x)???????.??????,

?(x??)?/??(?.???)?/?故迭代不收敛。

1121?,?(x)?1?,?x?[1.3,1.6],?x)????0.901?1，

x2x2x31.3311?(x)?[1?2,1?2]?[1.3,1.6]，故迭代收敛。

1.61.32x2?1.6?(x)?31?x2,?x?[1.3,1.6],??x)???0.5515?1，(3)中，22/322/33(1?x)3(1?1.3)(2)中，x?1??(x)?[31?1.32,31?1.62]?[1.3,1.6]，故迭代收敛。

18

322． 设f(x)?(x?a)

（1） 写出解 f(x)?0的Newton迭代格式 （2） 证明此迭代格式是线性收敛的

32证明：（1）因f(x)?(x?a)，故 f(x)?6x(x?a)，由Newton迭代公式：

'23xk?1?xk?f(xk),k?0,1,? 'f(xk)3(xk?a)25a 得xk?1?xk?，k?0,1,? ?x?k2326xk(xk?a)66xk5a5a?3' （2）因迭代函数?(x)?x?，而?(x)??x。

6636x251511*'?3又x?3a，而?(3a)??(3a)????1?0故此迭代格式是线性收敛的。

63632，

3．设方程(1) 证明对(2) 取

,均有

的迭代法

,其中

为方程的根.

=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.

(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论. 解：（1）迭代函数

，

，则有各次迭代值

，对

有

（2）取

取

，其误差不超过

（3）

故此迭代为线性收敛。

19

4． 对非线性方程

(1)取x0f?x???x?1?(x?2)?0(小数点后保留用5位)。

3?0.9，用牛顿迭代法计算x1,x2；

?0.9，用计算重根牛顿迭代格式计算x1,x2；

（2）取x0 (3)取x0?0.9，x1?1.1，用截弦法计算x2,x3。

姓名 班级 学号

20

一、 选择题

1.改时欧拉法的局部截断误差为( C ). 2.求解初值问题y??A．O?h5?B．O?h4?C．O?h3?D．O?h2?

f?x,y?,y?x0??y0的近似解的梯形公式是yn?1?( A ). hhfx,y?fx,y?y?y??f?xn,yn??f?xn?1,yn?1??A. yn?1?yn?? B. ????nnn?1n?1?n?1n? 2?2?hhfx,y?fx,y?y?y??f?xn,yn??f?xn?1,yn??C. yn?1?yn?? D. ?nn??n?1n?1??n?1n???22hf?xn,yn??f?xn?1,????3.改进欧拉公式的校正值yn?1?yn??.D ??2A．yn?1 B．yn C．yn D．yn?1 4．四阶龙格-库塔法的经典算法公式是yn?1?( B ).

hhA. yn??K1?K2?K3?K4? B. yn??K1?2K2?2K3?K4?

66hhC.yn??K1?2K2?K3?2K4? D. yn??2K1?K2?K3?2K4?

665．求解常微分方程初值问题y??f?x,y?,y?x0??y0的中点公式?yn?1?yn?hK2?的局部截断误差为（ B ） ?K1?f?xn,yn???K2?f?xn?h/2,yn?hK1?A．O?h4?B．O?h3?C．O?h2?D．O?h?

二、 填空

1．幂法是计算矩阵按模最大特征值及相应特征向量的一种迭代法。 2．雅可比法是求实称矩阵全部特征值及相应特征向量的一种变换方法。 3．反幂法是求实方阵的按模最小的特征值与特征向量的反迭代法。

4．设A是非奇异方阵，令A1=A，对A1进行QR分解，得A1=Q1R1，则A2= R1Q1 。

?cos?5．把直角坐标系的xy轴逆时针旋转θ,则旋转矩阵是 。??sin??sin??。

cos??? 21

三、 计算与证明

1．取步长h?0.2，用向前Euler法求解初值问题。

?y'??y?xy2 ,0?x?0.6 ??y(0)?12解：f(x,y)??y?xy，Euler格式为

22yn?1?yn?hf(xn,yn)?yn?0.2(?yn?xnyn)?0.8yn?0.2xnyn

由y0?1计算得：

y(0.2)?y1?0.78，y(0.4)?y2?0.599664，y(0.6)?y3?0.450963

2． 用梯形公式解初值问题

?y'?8?3y ,1?x?1.4，取步长h?0.2，小数点后至少保留5位。 ??y(1)?2解：f(x,y)?8?3y，梯形公式为

h0.2 yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]?yn?[8?3yn?8?3yn?1]

22716 整理得：yn?1?yn?，由y(1)?y0?2，计算得

1313y(1.2)?y1?2.30769，y(1.4)?y2?2.47337

3． 证明：向前欧拉公式yn?1?yn?hf?xn,yn?是一阶的，并求其局部截断误差主项.

2h''Proof: 'y(xn?1)?y(xn?h)?y(xn)?h?y(xn)?(1)

2y(xn)?'? yn?1?yn?h?f(xn,yn)?y(xn)?h?f(xn,y(xn))?y(xn)?h?y(xn)

'' yn?y(xn),y(x)?f(x,y(x))?y(xn)?f(xn,y(xn)) (2)

由(1)（2）式有

h2''y(xn?1)?yn?1?y(xn)??O(h2)h2''2y(xn) 故向前欧拉公式是一阶的，且局部截断误差主项是

2?y??x?y4． 用改进欧拉法求解?(0?x?1)，h=0.2，取两位小数，并写出mathematica程

y(0)?1?序。

解：改进欧拉公式为

1?y?y?(k1?k2)n?1n?2???k1?hf(xn,yn) ??k2?hf(xn?h,yn?k1)?? n?0,1,2,?

其中f(x,y)?x?y，y0?1，h=0.2，n?0,1,2,3,4，代入上式得：

22

n xn yn 1 0.2 1.24 2 0.4 1.58 3 0.6 2.04 4 0.8 2.64 5 1.0 3.42 Mathematica程序为：x[0]=0;y[0]=1;h=0.2;

x[n_]:=n*h;f[u_,v_]:=u+v;K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]]；K2[n_]:=f[x[n-1]+h,y[n-1]+h*K1[n]]; y[n_]:=y[n-1]+h/2*(K1[n]+K2[n]); Table[{x[n],y[n]},{n,0,5}]//N; Table[{n,x[n],y[n]},{n,0,5}]//N; Print[\ \

MatrixForm[Table[{n,x[n],y[n]},{n,0,5}]//N]] Data=Table[{x[n],y[n]},{n,0,5}]//N;

A0=ListLinePlot[Data];A1=Graphics[{PointSize[0.02],Blue,Point[Data]}]; Show[A0,A1,PlotRange—>All] ?y??2xy0?x?0.45． 取步长h=0.5，用四阶R-K公式求解初值问题 ??y(0)?1并写出mathematica程序。 解：

f?x,y??2xy,x0?0,y0?1,h?0.2

由四阶R-K公式可得

100

1 k?f(x,y)?0h,y?k)?f(0.1,1)?0.2 k?f(x?h22h,y?k)?f(0.1,1.02)?0.204 k?f(x?h22 k?f(x?h,y?hk)?f(0.2,1.0408)?0.4163220030024003 0.2 ，把

y1?y0?(k1?2k2?2k3?k4)?1.0408116y2?1.17351

?x1,y1?代入四阶R-K公式可得

Mathematica程序为：

f[x_,y_]:=2xy;

y0=1;a=0;b=0.4;n=2; h=(b-a)/n;

xx=Table[a+(i-1)h,{i,1,n+1}]//N; y=Table[0,{i,1,n+1}]; y[[1]]=y0//N;

For[i=2,i?n+1,i++,

k1=h f[xx[[i-1]],y[[i-1]]];

k2=h f[xx[[i-1]]+h/2,y[[i-1]]+k1/2]; k3=h f[xx[[i-1]]+h/2,y[[i-1]]+k2/2]; k4=h f[xx[[i-1]]+h,y[[i-1]]+k3];

y[[i]]=y[[i-1]]+1/6 (k1+2k2+2k3+k4); Print[i-1,\\data=Table[{xx[[i]],y[[i]]},{i,1,n+1}];

a1=Graphics[{PointSize[0.02],Blue,Point[data]}]; a2=ListLinePlot[data,PlotStyle?Dashed];

Show[a2,a1]

23

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