拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题

一、单项选择题（每题2分）

1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}}

④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}}

2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 3、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{b}} 4、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{b},{c},{a,b}} ② T?{X,?,{a},{b},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 5、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b},{a,c,d}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{c},{a,c}} 6、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{b},{b,c}} ② T?{X,?,{a,b},{b,c}} ③ T?{X,?,{a},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}}

1

7、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）

①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d}

8、 已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b,c,d}=（ ）

①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 9、 已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）

①φ ② X ③ {a} ④ {b}

10、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）

①φ ② X ③ {a} ④ {b}

11、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）

①φ ② X ③ {a,b} ④ {b,c,d}

12、已知X?{a,b,c,d}，拓扑

T?{X,?,{a}},则{c}=（ ）

①φ ② X ③ {a,c} ④ {b,c,d}

13、设X?{a,b,c,d}，拓扑

T?{X,?,{a},b{c,d,,则}X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

14、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为

（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

15、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为

（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

16、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

17、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）

2

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

18、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b},{a,b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集

的个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q 是（ ）

① ? ② Q ③ R -Q ④ R 20、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ）

① ? ② Q ③ R -Q ④ R 21、在实数空间中，整数集Z的内部Z 是（ ）

① ? ② Z ③ R-Z ④ R 22、在实数空间中，整数集Z的边界?(Z)是（ ）

① ? ② Z ③ R-Z ④ R 23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）

① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）

① ? ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A

27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A

28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（

3

） ）

） ① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A)

29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① d(A)?? ② d(A)?X?A ③ d(A)?A ④ d(A)?X

30、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ）

① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A ③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X

31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）

① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X ③ 若A={x1,x2},则d(A)?X?A ④ 若A?{x1,x2},则d(A)?A

32、设X?{a,b,c,d}，令B?{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（ ）

① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}} ③ { X,?,{c},{a,b,c}}

④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}

33、设X是至少含有两个元素的集合，p?X,T?{G?X|p?G}?{?} 是X的拓扑，

则（ ）是T的基.

① B?{{p,x}|x?X?{p}} ② B?{{x}|x?X}

③ B?{{p,x}|x?X} ④ B?{{x}|x?X?{p}}

34、 设X?{a,b,c},则下列X的拓扑中（ ）以S?{X,?,{a}}为子基.

① { X, ?,{a},{a,c}} ② {X, ?,{a}} ③ { X, ?,{a},{b},{a,b}} ④ {X,? } 35、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

4

36、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 37、实数空间R中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭

11138、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则A＝（ ）

234①φ ② R ③ A∪{0} ④ A

39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z?

41、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

42、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ） ① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个

43、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个

① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 44、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,

U?T?U?T ④ 当T??T时,

U?T?U?T

45、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

46、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

47、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,2},则X的子空间A的拓扑为( )

① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,X,{1},{2},{1,2}} ③ T?{?,A,{1},{2}} ④ T?{?,X,{1},{2}}

48、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,3},则X的子空间A的拓扑为( )

5

① T?{?,{1},{3},{1,3}} ② T?{?,A,{1}} ③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}}

49、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2,3},则X的子空间A的拓扑为( )

① T?{?,{3},{2,3}} ② T?{?,A,{2},{3}} ③ T?{?,X,{2},{3},{2,3}} ④ T?{?,X,{3}}

1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1},则X的子空间A的50、设X?{拓扑为( )

① T?{?,{1}} ② T?{?,A,{1,2}} ③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}}

1,2,3}51、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2},则X的子空间A的

拓扑为( )

① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,A} ③ T?{?,X,{2}} ④ T?{?,X,{1,2}}

1,2,3}52、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{3},则X的子空间A的

拓扑为( )

① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,{X},{1,3}} ③ T?{?,X,{3}} ④ T?{?,{3}}

53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（ ）

① T?{?,Z} ② T?P(Z) ③ T?Z ④ T?{Z} 54、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,则P1,X6的积空间.P1是X到X1的投射，

是（ ）

① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 55、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P2是X到X2的投射，则

6

P2是（ ）

① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 56、设X?X1?X2?则P3是（ ）

① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 57、设X?X1?X2?则P4是（ ）

① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 58、设X?X1?X2?则P5是（ ）

① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 59、设X?X1?X2?则P6是（ ）

① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

60、设X1和X2是两个拓扑空间，则有（ ） X1?X2是它们的积空间,A?X1，B?X2，

① A?B?A?B ② A?B?A?B ③(A?B)?A?B ④ ?(A?B)??(A)??(B) 61、有理数集Q是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对 62、整数集Z是实数空间R的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 63、无理数集是实数空间R的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对

7

?X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P3是X到X3的投射，

?X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P4是X到X4的投射，

?X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P5是X到X5的投射，

?X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P6是X到X6的投射，

64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y?Z?Y, 则Z为( )

①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 65、设X1,X2是平庸空间，则积空间X1?X2是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 66、设X1,X2是离散空间，则积空间X1?X2是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间

67、设X1,X2是连通空间，则积空间X1?X2是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 68、实数空间R中的连通子集E为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 70、实数空间R中的连通子集E为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 71、下列叙述中正确的个数为（ ）

（Ⅰ）单位圆周S1是连通的； （Ⅱ）R?{0}是连通的 （Ⅲ）R2?{(0,0)}是连通的 （Ⅳ）R2和R同胚

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 72、实数空间R( )

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 73、整数集Z作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 75、无理数集作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

8

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 76、正整数集Z?作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 77、负整数集Z?作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 78、2维欧氏间空间R2（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 79、3维欧氏间空间R3（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 平庸性 ② 连通性

③ 离散性 ④ 第一可数性公理 81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性

82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 第一可数性公理 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性

83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 平庸性 ② 可分性

③ 离散性 ④ 第二可数性公理 84、设X是一个拓扑空间，若对于?x,y?X,x?y,均有{x}?{y},

则X是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 85、设X?{1,2}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 86、设X?{1,2}，T?{X,?,{2}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 道路连通空间 87、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )

9

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 88、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2，3}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 89、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{13}}，，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 90、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1，2}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 91、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是( )

①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 92、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，

则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 93、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，

则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

94、设X是一个拓扑空间，若对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域

V,使得V?U,则X是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

95、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得V?U,则X是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间

3}，T?{X,?,{1},{2，3}}，则(X,T)是( ) 96、设X?{1,2，①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间

3}，T?{X,?,{2},{1，3}}，则(X,T)是( ) 97、设X?{1,2，①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间

10

98、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{3},{1，2}}，则(X,T)是( )

①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正则空间

99、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是( )

①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 100、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是( )

①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间

101、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是( ) ①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间

102、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）

① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ）

① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 106、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（ ）

① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 107、实数空间R的子集A?{1,2,3}是（ ）

① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 108、实数空间R的子集A?{1,2,3,4}是（ ）

① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集

109、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（ ）

① T1空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 二、填空题（每题2分）

1、设X?{a,b},则X的平庸拓扑为 ; 2、设X?{a,b},则X的离散拓扑为 ; 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________.

5、x?d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 ;

11

）

6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ; 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ; 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ; 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;

10、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{2,3}},则X的子集A?{1,2} 的内部

为 ;

3则X的子集A?{1,3}11、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{1},{2,, 的内部

为 ;

3则X的子集A?{1,2}12、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{1},{2,, 的内部

为 ;

13、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{2,3}},则X的子集A?{1,3} 的内部

为 ;

14、设X?{a,b,c},则X的平庸拓扑为 ; 15、设X?{a,b,c},则X的离散拓扑为 ;

16、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{3},{2,3}},则X的子集A?{1,3} 的内部

为 ;

3}17、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{1},{3},{1,,则X的子集A?{1,2} 的内部

为 ;

18、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .

19、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .

20、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集

f(U)是Y中的一个开集，则称映射f是一个 ;

21、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集

12

f(U)是Y中的一个闭集，则称映射f是一个 ;

22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；

23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；

24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 ； 25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个 ;

26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射

下的象所具有，则称这个性质是一个 ； 27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所

具有，则称这个性质是一个 ； 28、若任意n?1个拓扑空间X1,X2,,Xn,都具有性质P,则积空间X1?X2??Xn也具

有性质P，则性质P称为 ;

29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称

X是一个 ；

30、若X1,X2满足第一可数性公理，则积空间X1?X2满足 ; 31、若X1,X2满足第二可数性公理，则积空间X1?X2也满足 ;

32、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质P,则称性质P为 ;

33、设D是拓扑空间X的一个子集，且D?X,则称D是X的一个 ； 34、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个 ；

35、设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X是一个 ；

36、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性质P,则称性质

P为 ; 37、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质

P为 ; 38、设X是一个拓扑空间，如果 则称X是一个T0空间;

39、设X是一个拓扑空间，如果 则称X是一个T1空间;

40、设X是一个拓扑空间，如果

13

则称X是一个T2空间;

41、正则的T1空间称为 ； 42、正规的T1空间称为 ； 43、完全正则的T1空间称为 ；

44、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间

X是一个 . 45、设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，

则称Y是拓扑空间X的一个 .

46、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空

间X是一个 .

47、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是

一个 .

48、设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑

空间X是一个 .

三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）

1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )

2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( ) 3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ） 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）

5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ） 6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）

7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得

A?B??,A?B?（X ）

8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( ) 9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（ ）

10、若拓扑空间X满足第二可数性公理，则X的子空间Y也满足第二可数性公理

（ ）

11、若拓扑空间X满足第一可数性公理，则X的子空间Y也满足第一可数性公理

（ ） 12、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是T3空间.( ) 13、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是T3空间.( )

3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T1空间.( ) 14、设X?{1,2，

14

15、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T4空间.( ) 16、T3空间一定是T2空间.（ ） 17、T4空间一定是T3空间.（ ）

18、设A,B是拓扑空间X的两个紧致子集，则A?B是一个紧致子集.( ) 19、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( ) 四．名词解释(每题2分)

1．同胚映射 2、集合A的内点

3、集合A的内部 4．拓扑空间(X,T)的基

5．闭包 6、序列

7、导集 8、不连通空间 9、连通子集 10、不连通子集 11、A 1空间 12、A 2空间 13、可分空间 14、T0空间： 15、T1空间： 16、T2空间：

17、正则空间： 18、正规空间：

19、完全正则空间： 20、紧致空间 21、紧致子集

22、可数紧致空间 23、列紧空间

24、序列紧致空间

五．简答题（每题4分）

1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gf:X?Z也

15

是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集.

4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集.

5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 6、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 8、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 9、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 10、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 11、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .

16

12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由. 13、试说明实数空间R是可分空间.

14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理. 15、设X是一个T1空间，试说明X的每一个单点集是闭集.

16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间. 17、设(X,T)是一个T1空间，?是任何一个不属于X的元素.令X*?X?{?}和

T*?T?{X*}，试说明拓扑空间(X*,T*)是一个T0空间.

18、若X是一个正则空间，试说明：对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得V?U.

19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得V?U.

20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集. 21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 22、如果X?Y是紧致空间，则X是紧致空间. 23、如果X?Y是紧致空间，则Y是紧致空间.

24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集. 六、证明题（每题8分）

Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通1、设f:X?子集.

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.

3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B. 4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集.

5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果

Y??????,则

Y????是X的一个连通子集.

6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果

A?B??,则A?B.

7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??.

8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.

17

10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公

理，证明：Y也满足第二可数性公理.

11、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第一可数性公理，证明：Y也满足第一可数性公理.

12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点. 13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数

族. 14、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都含有A中的无限

多个点.

15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有U?A是无限集. 16、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一.

17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff空间当且仅当积空间X?X的对角线

??{(x,x)?X?X|x?X}是一个闭集.

18、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的

闭子集.

19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别有开邻域U和V使得U?V??.

20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：A和B分别有开邻

域U和V使得U?V??.

21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭集A,B都存在

一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：

X是一个正规空间.

22、若T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集. 23、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B

使得x?B1?B.

24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且f?f?f．证明:f(X)是X的闭集．

25、设X是T1空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无 限集．

18

26、若拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一. 27、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.

28、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.

29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集. 30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：

A?AA是X的一个紧致子集.

31、设f:X?Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.

32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集. 33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集. 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??. 35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集. 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．

37、设X是一个Hausdorff空间．如果A,B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别

有开邻域U和V使得U?V??．

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