第21届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

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第21届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA p2= p1 经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为

（1）

V2??(H??H)A （2）

?? p2p2V2 （3） V2?渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为

V1??V1??HA

（4） （5）

??2?gΔHp1?p2式中??为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程pV?nRT可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数

?n??V1?p1V1p1 ?RTRT（6）

在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数

N??nNA

（7）

式中NA为阿伏伽德罗常量．

渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p

经过2小时渗透室上部分中空气的压强为

?p?ΔnRT V0（8）

??p0??p p0（9）

测试过程的平均压强差

?p?1??p1?)? ?(p0?p1)?(p02（10）

根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数

k?Nd?ptS?2.4?1011Pa?1m?1s?1

（11）

评分标准：

本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分． 二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC． 因卫星椭圆轨道长轴的长度

1

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AB?r近＋r远

式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒

mv近r近＝mv远r远 (2)

式中m为卫星的质量．由机械能守恒

A O ?1 12mv2GMm12GMm近－r?mv远－ (3) 近2r远已知

r近＝2R， v3GM近＝4R

得 r远?6R

所以

AB?2R?6R?8R 在△ABC中用正弦定理

sin?1?sin?π??1??2?BCAB 所以 BC?sin?1sin????AB

12?地心与星体之间的距离为OC，在△BOC中用余弦定理

OC2?r22远?BC?2r远?BCcos?2

由式(4)、(5)、(7)得

OC?2R9?16sin2?1sin?sin2??1???242??1cos?2sin???

12?评分标准：

本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．

三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命

?0?2.0?10?6s

根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，

???01??vc?2 代入数据得 ? = 1.4×10－5s

相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为

N?t??N?0?e?t?

根据题意有

2

(1)

B

C (4) (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(1)

(2)

(3)

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对上式等号两边取e为底的对数得

代入数据得

N?t??e?t??5% N?0?(4)

t???ln5 100(5)

t?4.19?10?5s

(6)

根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有

h?vt

(7)

代入数据得

h?1.24?104m

评分标准：

本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．

四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光

S1 源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中MM?表h S2 ?、S2?、S3?为三个光束中心光线示组合透镜的平面，S1h 与该平面的交点． S2O2 ＝ u就是物距．根据透镜成圆2 像公式 可解得

u?[L?L2?4fL]

M (8)

??????u O1 O3 ? S1O2(S2’) L M’ 图1 P z S3’ 111?? (1) uL?uf12

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得

u?(6?32)h≈1.757h (2)

此解满足上面的条件．

分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 O1O2?O2O3?L?u11h?(?2)h?0.854h L24(3)

?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1?O1?h?O1O2?0.146h (4) S1?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必同理，O3的位置应在S3须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．

2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．

3

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图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况（纸面为MM?平面）．图中C1、C2表示L1、L2

?、S2?为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点． 的边缘，S1?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）为圆心的圆2分别是S1光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径

均为

??utan??0.439h (5) 根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知

0.439h h T N 0.439h Q K 圆1 S1’ O1 W2 C1 0.146h Q’ N’ T’ x2 0.854h

???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75h (6) O1K???O1S1故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进

入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．

W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ x1 图2 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和

O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．

现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为

d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h

?O1?? x1M?r?S1x1M?0.457h

（7）

由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，

?O1的值，得 代入r，??和S1

代入(7)式，得

(8)

x2m?d?x1M?0.189h (9)

由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，

x2M?r??

代入r和??的值，得

x2M?0.311h (10) x1m?d?x2M?0.335h （11）

由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．

评分标准：

本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，

第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．

如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．

4

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五、1．解法Ⅰ：

?的位置应?的位置应位于OP1的延长线上的某点B1处，q2如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q1位于OP2的延长线上的某点B2处．设A1为S面

A1 上的任意一点，根据题意有

kq1A1P1q2A1P2?k?q1A1B1?q2?0 (1)

B2

SO ??P2 a a P1 R图1 B1

k?kA1B2?0 (2)

怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系．

?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1

2OP1?OB1＝R

(3) (4)

即

OP1OA1?OA1OB1

则

△OPOA1B1 1A1∽△

有

A1P1A1B1

?OP1OA1?a R(5)

? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1

???q1Rq1 a(6)

?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 由 (3) 式知，等效电荷q1

R2OB1?

a(7)

同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷

???q2Rq2 a(8)

?的位置B2到原球壳中心O位置的距离 等效电荷q2 解法Ⅱ：

R2OB2?

a(9)

?两者在A1点产生的电势和为零．有 ?，OB1?d．根据题意，q1和q1在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1

kq1q??k1?0 r1r1?（1＇）

式中

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aelt.html