基于数学解题变式的高三教学主张

基于数学解题变式的高三教学主张

江志杰

【专题名称】高中数学教与学 【专 题 号】G312 【复印期号】2013年06期

【原文出处】《中学数学教学》(合肥)2013年1期第54～58页 【作者简介】江志杰，福建省惠安第三中学（362100）.

【编 者 按】新课改实施以来，新的教学模式、教学方法层出不穷，在我们关注新教法的同时，也不应忘记那些“传统”而有效的教学方式.变式教学是我国双基教学的一个重要特征，有的学者认为变式教学是“促进有效的数学学习的中国方式”，因此，我们有必要继承和发扬这种有特色的数学教学方法.本期专题文章就如何设计变式、开展变式教学的时机等问题展开探讨，着重介绍如何在复习课中运用变式教学，希望能对教师朋友们的教学实践工作有所助益.

一、高三数学解题教学现状

当前我们的高三数学课堂常存在着这种现象：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，探究活动少；应付任务多，精神乐趣少等.高三数学教学离不开以解题训练来加深和巩固已获知识，但怎样的问题训练可以既帮助学生提高数学素质和思维能力，而又不重蹈“题海”呢？关键是我们教师要引领学生学会变式.通过对适量典型题目的变式，概括总结一类问题的解决策略，这样以少胜多的劳动才是高效自主的. 二、数学解题变式的涵义

所谓数学解题变式，就是数学解题中，相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含问题情境、基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，在数学解题过程中不断地变更数学问题中的情境或改变思维的角度，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置各种实际应用的环境等，以期暴露问题的本质特征或内在联系的教学方法.但这些变化所得到的不同表现形式和原有的问题之间保持一定的相似性，这些变化所得到的不同表现形式称为原来问题的变式.它在变化（条件变化、结论发散、形式变换、适时引申、背景复杂）中求不变，以不变应万变，万变不离其宗，使学生从中获得概括的认识，并提高识别、应变、概括能力.美国数学教育家G.波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展”，其在《怎样解题》中提到：在解题过程中，时刻提醒自己“能以不同的方式推导这个结果吗”，也就是一题多解变式；在得到某一种解题方法后提问“能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗”，也就是进行多题一解变式.“变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律. 三、数学解题变式的若干方面 1.形式变式

指保留本质属性不变，仅改变表达形式.常见的有语言变式和图形变式.这种变式只是呈现问题的外表形式发生了变化，问题本质是一致的.其目的是培养学生“透过现象看本质”的能力.

（1）数学语言变式.它指的是对数学中的一些概念、公式、定理、命题实行文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转换.数学解题时要加强数学语言的教学，让学生灵活地建立起三种语言的互译关系.数学教材中的概念、公式、定理、法则等一般是以一种数学语言给出的，而学生要真正理解、掌握和运用它们，必须学会灵活地运用三种数学语言进行表述.

值范围.

变式5 若点P（1+cosα，sinα）（α∈R）落在直线kxy+k=0上，求实数k的取 数学题目是永远做不完的，但是，如果善于运用变式，在变式中掌握一类问题的解

法，则会以少胜多，大大提高教学的效率、消除和防止因思维僵化、想法呆板而带来的问题. （2）图形变式.将揭示某一概念的图形由标准位置改变为非标准位置，由基本图形改变为非基本图形.应用图形变式，让学生通过观察，分解出其中的各种特点进行比较，抽象出它们的共有的本质属性，舍弃它的非本质属性，然后加以概括，这是形成几何概念的基础.在利用标准图形让学生准确把握概念的同时，要注意标准图形容易限制思维的灵活性，甚至不恰当地缩小概念的外延.可以以基本图形为“生长点”，通过将其引申变换为组合图形而得到变式题组，从而培养想象能力、变换能力及创新意识.

2.内容变式

它指数学内容的多种变化形式，常见的有概念变式、定理变式、公式变式和问题变式.

（1）概念变式.它包括反映概念本质属性的各种变化形式.如符号表示、等价说法、图形变式及反例等.概念学习要注重在变式中掌握概念的本质.

（2）定理变式.数学定理揭示了几个概念之间的某种本质联系，是经过严格论证的数学命题.掌握定理就意味着明确定理的结构特征（条件和结.论），弄清定理的来龙去脉、推证方法和适用范围.改变条件或改变结论，会产生怎样的命题？该命题正确吗？探讨定理的逆命题是否成立？探寻定理的等价命题等等，都是定理变式.定理变式对理解和掌握定理十分重要.如现行人教A版《椭圆》和《双曲线》两节中均给出这样一个探究题：“一个动点和两个定点连线的斜率之积是一个常数，探究动点的轨迹.”这是圆锥曲线的另一种产生方法，以此让学生探究验证得到：

（3）公式变式.对于教学中安排的例题、习题，引导学生对题目的变式多观察、分析，从中发现一些规律，以加深对公式的理解，提高辨析能力，同时也学到了例题、习题变式的方法.公式教学往往偏重结论、强调应用，学生目的不明，方法不清，死记硬背，难以掌握知识的来龙去脉，无法正确地理解公式.因此，要设置公式发生的情境，重现公式的形成过程，让学生自己去归纳概括.这不仅加深了学生对公式的认识和记忆，而且能提高学生的概括水平、思维能力.

比如挖掘例题：“求曲线y=lnx在点（1，0）处的切线方程”极有意义.由切线和曲线的位置关系易得lnx≤x-1（x＞0）成立，这一不等式模型是很多高考题的“源泉”：如（2010全国卷1理20）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1.（Ⅰ）若xf'（x）≤

+ax+1，

求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）·f（x）≥0.

（4）题目变式.即一题多变，其实质是问题结构的变式.从一道例（习）题出发，运用逆向或横向思维，通过改变题目的条件、变化题型、变数字、变字母、变符号、一般化、

特殊化等手段，使原来的一道题变成一组变式题.通过研究这组变式题，形成完整的知识结构.题目变式有利于培养问题意识，有利培养创新品质，有利于提高解题能力.

围绕利用导数工具解决函数单调性问题，本题可命制为：

围绕利用导数工具解决函数极值最值问题，本题可命制为：

数α的取值范围.

利用函数导数知识与高等数学和谐接轨，本题可命制为：

上恒成立，求实

3.方法变式

它指从不同角度寻找解决问题的不同方法，常见的有一题多解变式和一法多用变式. （1）一题多解变式.即对同一个题目引导学生在自己的知识和能力范围内，从不同角度加以思考，探求出不同的解决方案.一题多解的实质是问题解法的变式.一题多解是创新意识的具体运用，其作用有三：一是开拓解题思路、激发探索兴趣；二是寻找解题捷径，培养求简意识；三是创新解题模式，提高创新能力.一道题目往往具有多种不同的解法和多种

可能的解答，我们要善于从一题多解和一题多变中去发展学生的思维能力，拓展学生的知识面，让学生去领悟数学知识的奥妙和魅力. 如例题：“若不等式

+2x-1＞0在R上有解，求实数a的取值范围.”

解法1（数形结合法）从研究函数f（x）=+2x-1图象的位置入手.1）当a=0时，直线f（x）=2x-1上显然存在着位于x轴上方的点；

2）当a＞0时，抛物线f（x）=+2x-1开口向上，显然存在着位于x轴上方的点； 3）当a＜0时，抛物线f（x）=+2x-1开口向下，若要存在着位于x轴上方的点，则需Δ＞0.解得-1＜a＜0. 综上，a＞-1.

这样的问题可以使学生明白通过不同途径去剖析一个问题，不仅仅是简单地得到一个答案，而是发现数学知识之间的关联.对于问题解决过程来说，用三种方法解答一个问题比解答三个问题而每个问题只用一种解法更有价值.

（2）一法多用变式.指对某一问题的方法加以归纳、总结，形成技巧，并用以解决其他的问题.通过这种变式，达到“多题归一”“万变不离其宗”的目的，有利于培养迁移能力，有利于提炼通性通法.在解题教学中，不少例（习）题的解法体现出了共同的教学的重要思想方法，或者在知识背景、解题思路上等带有某种共性，若将它们集中起来进行串讲，

区分异同，加强联系，可使知识由孤立到系统，有利于学生重新审视看问题的角度和方法，增强他们思维的广阔性和深刻性，促使学生打破思维的时空限制，扩大自主探究的空间.下面我们来研究几道高考题的共性之处：

四、高三数学解题变式的若干原则

（1）针对性原则——变式要有的放矢，应根据教学目标变式，要根据知识点在整个知识结构中进行变式，要充分了解学习现状，遵循学生的认知规律，在知识的易混淆处变式、在疑惑处变式、在困难处变式、在重要处变式，教师应将相互联系的素材组织在一起进行变式.

（2）可行性原则——教师应在学生的“最近发展区”内进行数学变式，过分简单的变式会影响学生的思维质量，思维活动未得到充分的展开，缺乏其应有的激励作用；难度太大的变式容易挫伤学生的学习积极性，学生难以获得成功的喜悦，长期下去，将使学生丧失自信心.因此，数学变式要把握好“度”，真正做到恰到好处，由易到难、循序渐进，教师应组织学生亲自参与知识的发现过程.

（3）主体性原则——在数学变式教学中，教师要让学生主动探索，不可包办代替.在教师作出示范性变式时，应由学生自己去寻求结论，不仅如此，教师还要留下思维的“空白”与时间，让他们谈论，敢于发表自己的意见，让他们反思问题的解决过程，让学生自我尝试变式，引导学生自编变式题可以使学生站在较高的角度看待数学知识的实质，这正是我

们一直追求的目标之一.比如立体几何复习教学中，以长方体为基础母体，笔者鼓励学生自主设计衍生出各式各样的几何体，让他们各自画出相应的三视图，然后将合理的三视图交给同桌同学去还原原来的几何体；鼓励同学寻找、挖掘几何体中直线和平面的平行、垂直位置关系，并要求严格论证；鼓励同学根据几何体自己确定空间中的角和距离，建立空间直角坐标系进行求解，自问自答，主动出击；在此基础上，还可鼓励同学对几何体进行动态研究，设计有价值的探究性问题. 五、结束语

波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”创新的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度.高三数学解题教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质，主动地克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，激发其参与教学活动的兴趣和热情，从而拓展了学生的思维空间.^

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