初中数学分式章节知识点及典型例题解析

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-- 分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义:

例:下列式子中，y x +15、８ａ２b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2－a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π

xy 3、y x +3、m

a 1+中分式的个数为( ) （A ） 2 （B) 3 (C ） ４ （Ｄ) ５ 练习题：（1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123

x -；⑶25a a -；⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹222xy x y +． （2)下列式子，哪些是分式？

5a -； 234x +;3y y ; 78x π+；2x xy x y +-；145

b -+.

２、分式有,无意义，总有意义:

（1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;

(2）使分式无意义：令分母=０按解方程的方法去求解；

注意:（12+x ≠0）

例1：当ｘ 时，分式

51-x 有意义； 例2:分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义

例3:当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时,分式1

2+x x 有意义 例５：x ,y 满足关系 时，分式

x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ )

A ．

122+x x Ｂ.12+x x Ｃ.133+x x D.25x

x - 例７:使分式2+x x 有意义的x 的取值范围为( )A.2≠x B ．2-≠x C ．2->x Ｄ．2<x 例８：要是分式)

3)(1(2-+-x x x 没有意义，则ｘ的值为（ )Ａ． 2 B.－1或-3 C ． -1

--

-- D ．3

同步练习题：

３、分式的值为零：

使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意：当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。

例1:当x 时，分式1

21+-a a 的值为0 例2:当x 时,分式112+-x x 的值为0 例3：如果分式

22+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) Ａ. 2± Ｂ.２ C. 2- D.

以上全不对 例4:能使分式1

22--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x

例5：要使分式6

5922+--x x x 的值为0，则x 的值为( )A.3或-3 B ．3 C.-3 Ｄ 2 例6:若01=+a

a ,则a 是( )A.正数 B ．负数 C.零 D ．任意有理数 ４、分式的基本性质的应用:

分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于０的整式，分式的值不变。

例1：aby a xy = ; z y z y z y x +=++2

)(3)(6 ；如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是_______＿； 例2：)(1332

=b

a a

b )(

c b a c b --=+- 例3:如果把分式b

a b a ++2中的a 和ｂ都扩大１0倍，那么分式的值( ） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 Ｄ、不变

C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=()0≠C

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-- 例4：如果把分式y

x x +10中的x ，ｙ都扩大1０倍,则分式的值( ) A.扩大１00倍 Ｂ．扩大１0倍 Ｃ.不变 D ．缩小到原来的10

1 例5：如果把分式y

x xy +中的x 和ｙ都扩大2倍，即分式的值( ) Ａ、扩大２倍； Ｂ、扩大4倍； C 、不变； Ｄ缩小2倍

例６:如果把分式y

x y x +-中的ｘ和ｙ都扩大2倍,即分式的值( ） A 、扩大2倍; Ｂ、扩大4倍; C 、不变; Ｄ缩小2倍

例7：如果把分式xy

y x -中的x 和y 都扩大2倍,即分式的值( ） A 、扩大２倍； B 、扩大4倍； C 、不变; D 缩小

21倍 例８：若把分式x

y x 23+的x 、y 同时缩小12倍,则分式的值（ ） Ａ．扩大１２倍 B ．缩小1２倍

C.不变? D ．缩小6倍 例9：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是（ ）

A 、y x 23

B 、223y x

C 、y x 232

D 、23

23y

x 例10：根据分式的基本性质，分式

b

a a --可变形为（ ） A

b a a -- B b a a + Ｃ b a a -- D b

a a +- 例1１:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05

.0012.02.0x x ； 例12:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数， 211x x x -+--＝ 。 5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分

②分式约分的依据:分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.

④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式）

约分主要分为两类:第一类：分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。

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-- 第二类:分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。 例1:下列式子（1)y x y x y x -=--122;(２)c

a b a a c a b --=--;(3)1-=--b a a b ;(４）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 ３ 个 D 、 ４ 个

例2:下列约分正确的是( )

A 、326x x x =;

B 、0=++y x y x ；

C 、x xy x y x 12=++; Ｄ、2

14222=y x xy 例３:下列式子正确的是( ) A 022=++y x y x B ．1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--a

d c d c a d c a d c 例４:下列运算正确的是（ ）

A 、a a a b a b =--+

B 、2412x x ÷=

C 、22a a b b =

D 、1112m m m

-= 例５:下列式子正确的是（ ）

A ．22a b a b = B.0=++b a b a Ｃ.1-=-+-b a b a D ．b

a b a b a b a +-=+-232.03.01.0 例6：化简2293m m m --的结果是( ）Ａ、3+m m B 、3+-m m Ｃ、3-m m D 、m

m -3 例7：约分：=-22

64xy y x ；932--x x = ；()xy xy 132=； ()y x y x y x 536.03151+=-+。 例8：约分: 224

44a a a -++= ； =y x xy 2164 ;=++)()(b a b b a a ； =--2)

(y x y x =-+22y x ay ax ；=++-16

81622x x x ;=+-6292x x 23

314___________21a bc a bc -= 29__________3m m -=+=b

a a

b 2205___＿_＿___＿=+--96922x x x _＿______＿＿。 例９：分式3a 2a 2++，22b a b a --,)b a (12a 4-，2

x 1-中,最简分式有( ) Ａ.１个 B ．２个 Ｃ．3个 D ．4个

６、分式的乘，除,乘方：

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-- 分式的乘法：乘法法测:

b a ·d

c ＝bd

ac . 分式的除法：除法法则:b a ÷d c =b a ·c d ＝bc ad 分式的乘方:求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(b

a )ｎ.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方．用式子表示为：（b

a ）n =n n

b a (n 为正整数） 例题:

计算：(1)74

6239251526y

x x x -? (2）13410431005612516a x a y x ÷ （3）a a a 1?÷ 计算：（4)24222a

ab a b a ab a b a --?+- (5）4255222--?+-x x x x （6）2144122++÷++-a a a a a 计算:(7)32

2346y x y x -? (8)a b ab 2362÷- (９)()2xy xy x x y -?- 计算：（10） 22221106532x

y x y y x ÷? （11) 22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++(12) ()22121441a a a a a a -+÷+?++- 计算：(1３）1112421222-÷+--?+-a a a a a a (１４)()6

33446222-+-÷--÷+--a a a a a a a 求值题:（１）已知：43=y x ，求xy

x y xy y xy x y x -+÷+--22

22222的值。 （2)已知:x y y x 39-=+,求222

2y

x y x +-的值。 (3)已知:

311=-y x ，求y

xy x y xy x ---+2232的值。 例题： 计算：（1)2

32()3y x = (2)52??? ??-b a = （3）32323???? ?

?-x y ＝ 计算：（4)3222??????????? ??a b = (5)()

4322ab a b b a -÷???? ??-???? ??- (６)2

2221111??? ??-+-???? ??-÷--a a a a a a a

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-- 求值题:(1）已知：4

32z y x == 求222z y x xz yz xy ++++的值。 （２)已知:0325102=-++-y x x 求y

xy x x 222++的值。 例题:计算y x x x y x y x +?+÷+222

)(的结果是( ）Ａ y x x +22

B y x +2

C y 1

D y

+11 例题：化简x y x x 1?÷的结果是( )A. 1 B. xy Ｃ． x

y D . y

x 计算:（１）422448223-+?++-x x x x x x ;(2)12211222+-÷-+-x x x x x (3）(a 2－1)·22221a a a +-+÷122

a a +-

7、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类:分母是多项式（要先把分母因式分解) 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型;“四、六”型等三种类型。

“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。 例如：2

22--+x x x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。

例如:4

222--+x x x 最简公分母就是[][]()2242-+=-x x x “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。

例如：()()

2222-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。

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-- 例1:分式n

m n m n m --+2,1,122的最简公分母是（ ） A.))((22n m n m -+ B ．222)(n m - Ｃ．)()(2n m n m -+ Ｄ．22n m -

例2：对分式2y x ,23x y ，14xy 通分时, 最简公分母是（ ) Ａ．2４ｘ2y 3 Ｂ.１２ｘ２y 2 C.２４x ｙ2 Ｄ.１2ｘｙ2

例3：下面各分式：221x x x -+,22x y x y +-,11x x --+,22

22

x y x y +-,其中最简分式有（ )个。 A. ４

??B. 3 ???C. ２ ? Ｄ. １ 例４：分式412-a ,4

2-a a 的最简公分母是 ． 例5:分式ａ与1b

的最简公分母为___＿___＿_______＿; 例6:分式xy

x y x +--2221,1的最简公分母为 。 ８、分式的加减:

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。

1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。

2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。

通分方法:先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母，进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型，继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减,第二类：是整式与分式的加减。

例1:m

n m 22-= 例2:141322222--+-+a a a a = 例3:x y x y x y -+-= 例4：2

2222222y x x x y y y x y x ---+-+＝ 计算：（1)4133m m m -+++ （2）a b b b a a -+- (3) 2222)

()(a b b b a a --- （4) 2253a b ab +-2235a b ab -－22

8a b ab +.

例5：化简1x +12x +13x

等于（ ） Ａ．12x B.32x C.116x D.56x

--

-- 例6：c a b c a b +- 例７:22142

a a a --- 例8:

x

x x x ---3)3(32 例９:x x x x x x 13632+-+-- 例1０：2212

a a a ++-－224a a -- 例11：11--+a a a 例１2:2

11

x x x --- 练习题:(１） 22a b ab b a b -++ （2） x x x x +-+-+-2144212 (３) 2129a -+23a

-. （4） b a b -a b 2++ （5) 2x y x y y x

---- 例13：计算11--+a a a 的结果是（ )A 11-a Ｂ 1

1--a C 112---a a a D 1-a 例１4:请先化简:

21224

x x x ---,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值． 例１５:已知：0342=-+x x 求442122++--+x x x x x 的值。

9、分式的混合运算：

例1：4

421642++-÷-x x x x 例2：34121311222+++-?-+-+x x x x x x x 例3：222)2222(x x x x x x x -?-+-+- 例４：1

342+???? ??

+-x x x 例5：1111-÷??

? ??--x x x 例6:22224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 例722112()2y x y x y x xy y -÷-+-+ 例8： x

x x x x x x 112122÷??? ??+---+ 例9: x x x x x x x x 4)4

4122(22-÷+----+

练习题：

--

--

１0、分式求值问题:

例1：已知x 为整数,且23x ++23x -＋22189

x x +-为整数,求所有符合条件的x 值的和. 例2:已知ｘ=２，y ＝12,求222424()()x y x y ??-??+-??÷11x y x y ??+ ?+-??

的值． 例３:已知实数x 满足4ｘ2-4x ＋ｌ＝O ，则代数式2x+

x 21的值为＿_______. 例4：已知实数a 满足ａ2+2a -8=0,求3

4121311222+++-?-+-+a a a a a a a 的值. 例5:若13x x += 求1242++x x x 的值是（ ).A ．81 B ．101 C.21 D ．4

1 例６：已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y

----的值 例7:先化简,再对a 取一个合适的数，代入求值221369324

a a a a a a a +--+-÷-+-. 练习题: (1)168422+--x x x x ，其中x ＝5. (２)1616822-+-a a a ,其中a=５ （３)2

222b ab a ab a +++,其中a=－3,b=2 (4)2144122++÷++-a a a a a ；其中a=8５; (5）x

x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+,其中x= -1 (6)先化简,再求值:324x x --÷(x +2－52

x -).其中x ＝－2． （7）3,3

2,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 （8)先化简，2111x x x -??+÷ ???

,再选择一个你喜欢的数代入求值.

11、分式其他类型试题：

例１:观察下面一列有规律的数:

32，83,154，245，356,487,……． 根据其规律可知第ｎ个数应是___(ｎ为正整数）

例2: 观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x

---根据你的发现，它的第8项是 ，第ｎ

--

--

项是 。

例３:按图示的程序计算，若开始输入的n 值为4,则最后输出的结果ｍ是 （ ） ? A 1０ B 20 C ５5 D 50

例4：当x=＿___＿__时,分式

x -51与x

3210-互为相反数. 例5:在正数范围内定义一种运算☆,其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则x ☆2

3)1(=+x 的解为 (??） A.32=x Ｂ.1=x ? C ．32-=x 或1? D ．32=x 或1- 例６：已知4

)4(422+++=+x C Bx x A x x ,则___________,_____,===C B A ； 例7: 已知

37(1)(2)12

y A B y y y y +=+----，则( ） Ａ.10,13A B =-= B.10,13A B == C.10,13A B ==- Ｄ.10,13A B =-=- 例8：已知y x 32=,求2

22

22y x y y x xy --+的值； 例9:设mn n m =-,则n m 11-的值是( ) A.mn

1 B.0 C.1 Ｄ.1-

例1０：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

x 2-4ｘｙ+4ｙ2 x 2-4ｙ2 ｘ-2y

例1１：先填空后计算: ①111+-n n = 。2111+-+n n ＝ 。3

121+-+n n = 。(3分） ②(本小题4分）计算:

)

2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n 解:)

2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

＝

１２、化为一元一次的分式方程:

--

-- （1)分式方程：含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。

(2)解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

(３)解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简; （２)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

（3）解整式方程; (4)验根．

例1：如果分式

1

21+-x x 的值为－１，则ｘ的值是 ； 例２:要使2

415--x x 与的值相等,则ｘ＝________＿_。 例3：当m=_＿_＿_时,方程21mx m x +-=2的根为12. 例4：如果方程3)

1(2=-x a 的解是ｘ=5,则a ＝ 。 例5:(１)

132+=x x (2） 13132=-+--x

x x 例6:解方程：2

2416222-+=--+-x x x x x 例7:已知：关于x 的方程x

x x a --=-+3431无解，求a 的值。 例8：已知关于x 的方程12

-=-+x a x 的根是正数,求ａ的取值范围。 例9:若分式21+x 与3

2--x x 的2倍互为相反数，则所列方程为_____＿___＿____＿＿_＿＿__＿___＿_； 例１0：当ｍ为何值时间?关于x 的方程21122---+=--x x x x x x m 的解为负数? 例11:解关于x 的方程)0(2≠-=+-a a b

x a x

b

例12：解关于x 的方程:)0(21122≠-=--+++a b

a a

b a x b a x 例1３:当a 为何值时, )

1)(2(21221+-+=+----x x a x x x x x 的解是负数？ 例14：先化简,再求值:222)(222--+++-?-y x x y x y x y x x ,其中ｘ,y 满足方程组???-=-=+2

32y x y x 例15知关于x 的方程)

1)(2(121-+=--+-x x m x x x x 的解为负值，求m 的取值范围。 练习题： （1） 164412-=-x x (２)0)1(213=-+--x x x x (3)X X X

+--=-1513112

--

-- (4)625+-=-x x x x (5)2

163524245--+=--x x x x (6)11112-=-x x (７) x x x --=+-21321 （8）21212339x x x -=+-- （９) 311223=-+-x

x 13、分式方程的增根问题:

(1)增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2)分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为０,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例1:分式方程3-x x

+1＝3-x m

有增根，则ｍ=

例2：当ｋ的值等于 时,关于ｘ的方程3423--=+-x x

x k 不会产生增根；

例３：若解关于x 的分式方程23

4222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值。

例４：m 取 时，方程323-=--x m

x x

会产生增根;

例５:若关于ｘ的分式方程3232

-=--x m x x 无解,则ｍ的值为＿__＿___＿__。

例6：当ｋ取什么值时？分式方程0111x k x

x x x +-=--+有增根.

例７:若方程441-=--x m

x x 有增根,则m 的值是( )A.４ Ｂ.3 Ｃ.-3

D ．１ 例8：若方程3

4

2(2)a

x x x x =+--有增根,则增根可能为( )

A 、0

B 、2 Ｃ、0或２ Ｄ、1

14、分式的求值问题:

例1:已知31=b a ，分式b a b

a 52-+的值为 ；

例2:若ab=1,则11

11+++b a 的值为 。 例３：已知1

3a a -= ,那么221

a a +=______＿__ ；

例4:已知311=-y x ，则y xy x y xy x ---+55的值为( ）A 27

- B 27

C 72 D

72- 例5:已知y x 32=，求222

22y x y y x xy --+的值；

例6:如果b a

=2，则222

2b a b ab a ++-=

--

-- 例7:已知

2+x a 与2-x b 的和等于4

42-x x ,则ａ= , ｂ = 。 例８:若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 11( ）A 、xy

1 B 、x y - C 、１ D 、-1 例9:有一道题“先化简,再求值：22241244x x x x x -+÷+--（）,

其中x =

”小玲做题时把“x =

错抄成了“x =,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?

例1０:有这样一道数学题:“己知:a ＝２0０5,求代数式a （1＋a

1)-112--a a 的值”，王东在计算时错把“a=2００5”抄成了“ａ=2050”，但他的计算结果仍然正确,请你说说这是怎么回事。

例11：有这样一道题:“计算:2222111x x x x x x x

-+-÷--+的值,其中2007x =”,某同学把2007x =错抄成2008x =，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事? 例题：已知31=+x

x ,求1242++x x x 的值。

15、分式的应用题：

（1)列方程应用题的步骤是什么? (１）审;(２）设；（３)列；（４）解;(5)答.

(２)应用题有几种类型;基本公式是什么？基本上有四种：

ａ．行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b ．数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

c ．工程问题： 基本公式：工作量＝工时×工效.

d.顺水逆水问题: v 顺水=v 静水+ｖ水. v 逆水=v 静水-ｖ水.

工程问题：

例1：一项工程,甲需x 小时完成,乙需y 小时完成,则两人一起完成这项工程需要＿＿___＿ 小时。 例2：小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打１８0个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个/分钟,则列方程正确的是（ ） Ａ x x 1806120=+ B x x 1806120=- C 6180120+=x x D 6

180120-=x x 例3:某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日 期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成，求规定日期．如果设规定日期

为x 天，下面所列方程中错误的是( ) Ａ．213x x x +=+; B.233x x =+; C.1122133x x x x -??+?+= ?++??

; D.113x x x +=+ 例4:一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成,甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数

--

-- 是（ ）.（Ａ)b a + (B)b a 11+ (C ）b a +1 （D)b

a a

b + 例5：赵强同学借了一本书，共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时，发现平时每天要多读２1页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下列方程中,正确的是( ） Ａ、1421140140=-+x x Ｂ、1421280280=++x x B 、1211010=++x x D 、1421

140140=++x x 例6：某煤厂原计划x 天生产12０吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务,列出方程为( ) A 31202120-=-x x Ｂ 32120120-+=x x C 31202120-=+x x D 32

120120--=x x 例7：某工地调来７2人参加挖土和运土工作,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题,可设派x 人挖土．列方程①

7213x x -=；②723x x -=；③372x x +=;④372x x

=-． 例8：八（１）、八（2)两班同学参加绿化祖国植树活动,已知八（1)班每小时比八（2)班多种２棵树,八（１)班种66棵树所用时间与八(２)班种6０棵树所用时间相同，求：八（1)、八（２)两班每小时各种几棵树？

例9：某一一项工程预计在规定的日期内完成,如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期３天,现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做,刚刚好在规定的日期完成,问规定日期是几天？

例１0：服装厂接到加工７20件衣服的订单,预计每天做48件,正好可以按时完成，后因客户要求提前5天交货,则每天应比原计划多做多少件?

例11:为加快西部大开发的步伐,决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？

例１２:某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4３5０元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3

2,厂家需付甲、丙两队共2７５0元。

(1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2)若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。

价格价钱问题：

例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为１80元,出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共ｘ人,则所列方程为 (??)

A ．32180180=+-x x ? Ｂ.31802180=-+x x C ．32180180=--x x ? D.31802180=--x

x 例2:用价值100元的甲种涂料与价值2４0元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多１元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x 元，?则根据题意可列方程为_＿____＿＿.

--

-- 例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人1５0人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为6００元和１０0０元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙同种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少？

例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4８00元,第二次捐款总额为５000元,第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人,而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？

例5：随着IT 技术的普及,越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500元，因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课?(该校上微机课时规定为单人单机)

例6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动,联系了甲、乙两家旅游公司,甲公司提供的优惠条件是：1名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙公司则是:所有人全部按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜132

,那么参加活动的学生人数是多少人?

例７：北京奥运“祥云”火炬２008年5月7日在羊城传递,熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、 进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用８万元购进奥运纪念运动休闲衫,面市后供不应求， 商厦又用17．6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的２倍,但单价贵了4元,商厦销 售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的１50件按八折销售，很快售完,请问在这两笔生意 中，商厦共赢利多少元?

顺水逆水问题:

例1：A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆流返回A 地,共用去９ 小时，已知水流速度为４千米/时，若设该轮船在静水中的速度为ｘ千米／时，则可列方程（ ） ?A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 、9448=+x D 、94

96496=-++x x 例2:一只船顺流航行９0ｋm 与逆流航行6０km 所用的时间相等，若水流速度是２k ｍ/h ，求船在静水中的速度,设船在静水中速度为xk ｍ/ｈ，则可列方程( ) Ａ、290+x =260-x B 、290-x =260+x C 、x 90＋3＝x 60 D 、x 60+3＝x 90

例3:轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行４8千米所需时间相同,已知水流速度是每小时3千米,求轮船在静水中的速度。

行程问题:

例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米,则他在这 段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）

Ａ、2

21v v +千米 B 、2121v v v v +千米 Ｃ、21212v v v v +千米 D 、无法确定 例2：甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行，则a 小时相遇;若同向而行，则b 小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的（ ) Ａ．a b b +倍 B ．b a b +倍? C.b a b a +-倍 ? D ．b a b a

-+倍

例3：八年级A 、B 两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A 班学生步行出发半小时后，B 班学生骑

--

-- 自行车开始出发,结果两班学生同时到达石湖公园,如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时?

例4：A 、B 两地的距离是80公里，一辆公共汽车从Ａ地驶出3小时后,一辆小汽车也从Ａ地出发,它的速度是公共汽车的３倍,已知小汽车比公共汽车迟２０分钟到达Ｂ地，求两车的速度。

例５：甲、乙两火车站相距1２80千米,采用“和谐”号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的3.２倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

数字问题：

例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加１,则这个分数等于4

1,求这个分数. 例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7:4,求原来的两位数。

例3:一个分数的分母加上5,分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。

例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2,个位上的数字加上８以后去除这个两位数时， 所得到的商是2,求这个两位数。

1６、公式变形问题:

例1:一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U 像距为V,凸透镜的焦距为Ｆ,且满足

F V U 111=+，则用U 、V 表示F 应是（ ）

（A)UV V U + (Ｂ）V U UV + （Ｃ)V U (D ）U

V 例2：已知公式

12111R R R =+（12R R ≠），则表示1R 的公式是( ) Ａ.212R R R RR -= B ．212RR R R R =- C ．1212()R R R R R += Ｄ.212RR R R R

=- 例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距ｕ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式: ＼f(1,u)+

１v ＝错误!. 若f=6厘米，v=8厘米,则物距ｕ= 厘米. 例4:已知梯形面积,)(21h b a S +=

Ｓ、a 、b 、h 都大于零,下列变形错误是( ) A ．b a S h +=2 B. b h S a -=2 C.a h

S b -=2 D ．)(2b a S h += 例5：已知b

b a a N b a M ab +++=+++==11,1111,1,则M 与N 的关系为( ) Ａ.M ＞Ｎ B.M =N C .M <Ｎ D.不能确定．

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