精品自编资料 第二部分 解答题(圆锥曲线)

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知识点5：圆锥曲线 【5年真题】

05（19）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（II）若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值。

06（19）如图，椭圆

xa

22

yb

22

1(a b 0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共

点T，且椭圆的离心率e (Ⅰ) 求椭圆方程；

32

。

（II） 设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，

求证：|AT|2

12

|AF1||AF2| 。

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2

2

y 1交于A,B两点，记 AOB的面积为S。

07（21）如图，直线y kx b与椭圆

x

4

（I）求在k 0,0 b 1的条件下，的最大值S； （II）当|AB| 2,S 1时，求直线AB的方程。

08（22）已知曲线C是到点P(

135

,)和到直线y 距离相等的点的轨迹，l是过点 288

Q( 1,0)的直线，M是C上（不在l上）的动点；A,B在l上，MA l,MB x轴。

（Ⅰ）求曲线C的方程； （II）求出直线l的方程，使得

|QB|

2

|QA|

为常数。

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09样题(22)已知抛物线C:y2 2px(p 0)上横坐标为 3的一点,与其焦点的距离为4。 （Ⅰ）求P的值；

（II）设动直线y x b与抛物线C相交于A,B两点，

问在直线l:y 2上是否存在与b的取值无关的 定点M，使得 AMB被直线l平分？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

【考点分析】

04考查双曲线，05—07考查椭圆，08和09样题考查抛物线。根据样卷题及其他信息可确定09考查抛物线的可能性最大。

主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系；重点考查通性（到焦点距离等于到准线距离）和通法（方程联立后运用韦达定理，即坐标法）。一般与理科题成为姊妹题，难度略低于理科，但一直作为文科的压轴或次压轴题，对文科有一定难度。

主要考查方面有：（1）抛物线的几何性质(一般求方程或参数)；（2）直线与抛物线的交点问题（方程联立后，用 ）；（3）弦长问题；（4）面积问题；（5）向量垂直问题；（6）向量夹角问题；（7）切线问题（一般抛物线开口向上或向下的，均可用求导来求切线斜率）；……从（3）开始的各种问题均可以采取通法解决：步骤一，直线和抛物线方程联立；步骤二，将各种条件用点的坐标表示，并转化为两根之和、两根之积；步骤三，化简或求解或说明来解决问题。

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★（一）★ 08年其他省高考题(抛物线) 1、08广东（20）切线问题+垂直问题 设b 0，椭圆方程为

x

22

2b

yb

22

1，抛物线方程为x 8(y b)。如图6所示，过点

2

F(0,b 2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线

经过椭圆的右焦点F1。

（I）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （II）设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 ABP为直角三角形？若存在，请指出有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点坐标）。

2、08陕西（21）切线问题+垂直问题

已知抛物线C:y 2x，直线y kx 2交C于A,B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N。

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（II）是否存在实数k使NA NB 0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

2

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3、08江西（22）点共线问题+垂直问题

已知抛物线y x2和三个点M(x0,y0),P(0,y0),N( x0,y0)(y0 x0,y0 0)，过点M的

2

一条直线交抛物线于A,B两点，AP,BP的延长线分别交曲线C于E,F。 （I）证明：E,F,N三点共线；

（II）如果A,B,M,N四点共线，问：是否存在y0，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A,B的交点？如果存在，求出y0的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．

★（二）★ 浙江例卷考题

4、05例卷1（17）函数最值问题

已知点P(x,y)在抛物线y2 2x上，点A(a,0)(a R)到P点的距离的最小值为f(a)。 （I）求f(a)的表达式；

13

（II）当

a 5时，求f(a)的最大值和最小值。

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5、06例卷4（19）函数最值问题

抛物线y2 2px(p 0)上能否找到一点M,使M与抛物线的顶点O和焦点F的距离之OMMF

OMMF

比最大？若存在，求出该点的坐标及此时的最大值，若不存在，请说明理由。

6、05例卷2（22）直线和抛物线交点问题+垂直问题

抛物线方程y2 p(x 1)(p 0)，直线x y m与x轴的交点在抛物线的准线的右边． （I）求证：直线与抛物线总有两个交点；

（II）设直线与抛物线的交点为Q，R，OQ OR，求p关于m的函数f(m)的表达式； （III）在（II）条件下，若抛物线焦点F到直线x y m的距离为

22

，求此直线的方程。

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7、08例卷4（21）距离问题+向量夹角问题

如图，线段过x轴正半轴上一点M(m,0)(m 0)，端点A、B到x轴距离之积为2m， 且A、B在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上． （I）求抛物线方程；

（II）问m取何值时，能存在满足条件的A、B，使

8、06例卷1（20）角平分线问题（向量夹角问题）+面积问题

如图，过点P(1,2)的直线与抛物线y x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当直线OP平分 AOB时，求直线AB的方程及 AOB的面积.

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★（三）★ 预测题

9、预测(1) 抛物线的几何性质+向量乘积问题

已知OB (0,1)，直线l:y 1，动点P到直线l的距离d |PB|。 （I）求动点P的轨迹方程M；

（II）证明命题A:“若直线m交动点P的轨迹M于C,D两点，如m过B点，则

OC OD 3”为真命题

（III）写出命题A的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由。

10、预测(2) 抛物线的几何性质+弦长问题

已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y 1的距离相等。 （I）求点P的轨迹L的方程；

（II）若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1 0 x2 x3)在

（I）中的曲线L上，设BC的斜率为k,l |BC|，求l关于k的函数解析式l f(k)； （III）由（II），求当k 2时正方形ABCD的顶点D的坐标。

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11、预测(3) 距离问题+三角形面积问题

如图，线段AB过y轴负半轴上一点M(0,a)，A,B两点到y轴距离的差为2k。 （I）若AB所在的直线的斜率为k(k 0)，求以y轴为对称轴，且过A,O,B三点的抛物

线的方程；

（II）设（I）中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又

点P在抛物线C上由A到B运动，试求 PAB面积的最大值。

x

12、预测(4) 抛物线几何性质+面积问题+向量乘积问题 已知定点A(a，O)( a >0)，直线l1 ： y=-a交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．

(I)求动点C的轨迹E的方程；

（II）设倾斜角为α的直线l2过点A，交轨迹E于两点 P、Q，交直线l1于点R．

(1)若tanα=1，且ΔPQB的面积为2，求a的值；

6

(2)若α∈[

，

4

]，求|PR|·|QR|的最小值．

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13、预测(5)斜率问题+夹角问题

设抛物线y2 2px（p 0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点，且A,B两点坐标分别为 O是（x1，y1）、（x2，y2），y1 0，y2 0，M是抛物线的准线上的一点，坐标原点。若直线MA,MF,MB的斜率分别记为：KMA a,KMF b,KMB c，（如图） （I）若y1y2 4，求抛物线的方程； （II）当b 2时，求a c的值； （III）如果取KMA 2,KMB

12

时，判定| AMF BMF|

和 MFO的值大小关系．并说明理由。

14、预测（6） 切线问题+面积问题

点A(x0,y0)在抛物线y x上运动，过点A作A处切线的垂线交抛物线于另一点B， 直线AB于y轴的交点是P，O是原点。

（I）问 OAP是否能构成等边三角形，若能，求出A点坐标；若不能，说明理由； （II）当x0为何值时， OAB的面积最小。

15、预测(7)垂直问题+向量夹角问题+切线问题

2

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如图，△ABC为直角三角形， C 90 ,OA (0, 4),点M在y轴上,且AM 1(AB AC),

2

点C在x轴上移动。

（I）求点B的轨迹E的方程；

（II）过点F(0,)的直线l与曲线E交于P，Q两点，设N(0,a)(a 0),NP与NQ的夹角为

21

,若

2

,求实数a的取值范围；

（III）设以点N(0,m)为圆心,以2为半径的圆与曲线E在第

一象限的交点为H，若圆在点H处的切线与曲线E在

点H处的切线互相垂直，求实数m的值。

16、预测(8) 抛物线的几何性质+面积问题+切线问题+垂直问题

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设点F(0,),动圆P经过点F且和直线y

2

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相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W。

（I）求曲线W的方程；

（II）过点F作互相垂直的直线l1,l2，分别交曲线W于A，B和C，D。求四边形ABCD面积的最小值；

（III）分别在A、B两点作曲线W的切线，这两条切线的交点记为Q。

求证：QA⊥QB，且点Q在某一定直线上。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aed1.html