力学（漆安慎）习题解答

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

力学

1．求下列函数的导数

⑴y?3x?4x?10 ⑵y?1/2x?7sinx?8cosx?100

⑶y?(ax?b)/(a?bx) ⑷y?sin1?x2 ⑸y?esinx ⑹y?e?x?100x

解：⑴y'?6x?4⑵⑶⑷y'??1/(2xx)?7cosx?8sinxy'?(a2?b2)/(a?bx)22?1/2y'?cos(1?x2)1/2·1(1?x)·2x 2?xcos1?x2/1?x2⑸⑹y'?esinxcosxy'?e?x(?1)?100?100?e?x

2．已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变，h=100-0.0001x2(1-0.005x2)，度量x和h的单位为米。问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？

解：先求出h(x)对x的一阶导数和二阶导数：

dhdx?ddx(102?10?4x2?5?10?7x4)?2?10?6x3?2?10?4x(2?10x?2?10x)?6?10x?2?10?63?4?62?4d2hdx2?ddx

令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d2h/dx2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d2h/dx2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).

3．求下列不定积分

⑴3(x??3x?1)dx⑵x2(2?x)dx ?⑶⑸x3(?2e?x?x21?x21xx)dx⑷⑹⑻⑽(12)?dx⑺?edx⑼?sinxcosxdx(11)?cosxdx?2x22?(sinx?cosx)dx?sin(ax?b)dx ??xedx?dxdxax?b?x2lnxx解：

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 2 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

432⑴?(x3?3x?1)dx??x3dx?3?xdx??dx?1x?42x?x?c⑵?(2x?x2)dx??2xdx??x2dx?x⑶?(3?2e?x1xx2xln23?1x?c3x?3/2dx)dx?3?2edx?x?x??dxx2x?3lnx?2e?22?c⑷?(sinx?cosx)dx??sinxdx??cosxdx??cosx?sinx?cx1?x?1dx⑸?1??x?arctgx?c2dx??2dx??dx??x1?x1?x2⑹?sin(ax?b)dx?⑻?dxax?b1a?sin(ax?b)d(ax?b)??2a1acos(ax?b)?c?2x1?2x⑺?e?2xdx??1ed(?2x)???c2?2e?1a?1/2(ax?b)d(ax?b)??ax?b?c3⑼?sin2xcosxdx??sin2xd(sinx)?1sinx?c3⑽?xe?x2dx??1212(11)?cos2xdx??ed(?x)??e?c?(1?cos2x)dx?x?sin2x?c121214?x22?x22(12)?lnxxdx??lnxd(lnx)?12(lnx)?c

4. 求下列定积分

⑴（?x?1)dx⑵?(e?1)edx⑶?1021x4x1/2dx1?x2?1/2x⑷?1?lnxdx1π/20e⑸?(e?)dx⑹?cos2xdx⑺?1x1π/602xπ/4111?x2dx⑻?(3x?sin2x)dx2332解：⑴（?x?1)dx??x111x4x1221/222dx??dx?x|1?x|1?12423?53x5151⑵?(e?1)edx??(ex?1)4d(ex?1)?15(e?1)|0?5(e?1)001/2dx1?x2⑶?⑷?12e/2π?arcsinx|1?1/2?3?60?e?1/21?lnxx2edx??(1?lnx)d(1?lnx)?12(1?lnx)|1?1.51x22⑸?(ex?1)dx?(e?lnx)|?e?e?ln21x1π/4π/61⑹?cos2xdx??/412?/6?/41?cos2xd(2x)?12sin2x|?/6?2?34⑺?1?1x2dx?arctgx|10??/4?45?0⑻?(3x?sinx)dx?3?xdx?00π/22?/2?/21203?2?1?(1?cos2x)dx?84?第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 3 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

?/20?/25.计算?sinxdx、?sinxdx以及?sinxdx,并在0??/2??/2

f(x)?sinx的函数图形上用面积表示这些定积分。?/2解：

0?sinxdx??cosx|0?02?1

?/2?/2sinxdx??1?sinxdx?0 ????/2

6．计算由y=3x和y=x2所围成的平面图形的面积。

解：如图所示，令3x=x2,得两 条曲线交点的x坐标：x=0,3. 面积

33A??3xdx??x2dx00

?(3x2?1x3)|30?4.523

7．求曲线y=x2+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。 解：面积A

222??(x?2)dx??2xdx00 ?(1x?2x?x)|03322

?83

8．一物体沿直线运动的速度为v=v0+at,v0和a为常量，求物体在t1至t2时间内的位移。

t2解：位移S?(v0?at)dt

t1?2t2?(v0t?1at)|t1?v0(t2?t1)?122a(t2?t1)22第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 4 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

1．2．3．4．5．6．7．略

8．二矢量如图所示A=4,B=5,α=25o,β=36.87o,直接根据矢量标积定义和正交分解法求

??A?B。

解：直接用矢量标积定义：

y B β A α 0 x ??A?B?ABcos(90?????)??4

用正交分解法：∵Ax=4cosα=3.6

Ay=4sinα=1.7, Bx=5cos(90o+β)= - 5sinβ= -3,By=5sin(90o+β)=5cosβ=4

??∴A?B?AxBx?AyBy?3.6?(?3)?1.7?4??4

?????????9．已知A??i?j,B?i?2j?2k,求A与B的夹角。

????????A?B解：由标积定义A?B?ABcos(A,B)?cos(A,B)?AB，而

??22222A?(?1)?1?2,B?1?(?2)?2?3,A?B??3 ????2?3?cos(A,B)?32??2,两矢量夹角（A,B)?135????????????? 10．已知A?B?3i?5j?k，A?B?4i?4j?k,求A与B

的夹角。

???0.5?j；再将已知两式相减，可求得 解：将已知两式相加，可求得A?3.5i??.??4.5?B??0.5ij?k22?A?3.52?0.52?3.5，

2B?(?0.5)?4.5?(?1)?4.64,??A?B?3.5?(?0.5)?

??0.5×4.5=0.5。cos(A,B)?

??A?BAB???0.0308,夹角(A,B)?88.24?

?????????11．已知A?B?C?0,求证A?B?B?C?C?A.

?????????证明：用已知等式分别叉乘A,B,C,有A?A?B?A?C?A?0 ??????A?B?B?B?C?B?0,??????A?A,B?B,C?C均

??????A?C?B?C?C?C?0.???????为A?B?B?零C?C?A，

其中，

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 5 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

12．计算以P (3,0,8)、Q (5,10,7)、R (0,2,-1)为顶点的三角形的面积。 解：据矢积定义，△PRQ的面积 = A?12|PR?PQ|,PR?OR?OP?,PQ?OQ?OP? ??2??3ij?9k?. ??10?2ij?k???ijk? ??21?PR?PQ??32?9?88ij?34k210?1|PR?PQ|?882?212?342?96.6,??PRQ面积A?

13． 化简下面诸式

96.62?48.3

解：⑴(A?B?C)?C?(C?A?B)?A?(A?B?C)?B

?????????????????????????A?C?B?C?C?A?B?A?A?B?C?B?0

⑵

?)???)?k??(i?) j ??(???k???ij?kj?(ij?k?????i??2i?????2k? ?kj?kj?i i

k

????????⑶(2A?B)?(C?A)?(B?C)?(A?B)

?????????????2A?(C?A)?B?(C?A)?B?(A?B)?C?(A?B)???????????? ?2A?C?B?C?B?A?B?A?C?A?C?B???A?C

14．计算下面诸式

?)?k??(i??i??(?????) j?kj)??j?(k解：⑴i??k?????i??k?ij??j?3

⑵A?(B?A)?B?(A?A)?0

j

i k

??????????????15．求证：(A?B)?[(A?C)?B)]??A?(B?C) ?????(A?B)?[(A?C)?B)] 证明：

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 26 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

tg??(man?fcos?)/(mg?fsin?)

mgtg??fsin?tg??man?fcos?,f?m(gtg??an)

cos??sin?tg??gtg??an?9.8tg15??33??30.43?0,?f?0，说明摩擦力方向与我们事先假设方

向相反，指向内侧。

?j，又有与之垂直的3.5.16速度选择器原理如图，在平行板电容器间有匀强电场E?E????。现有带电粒子以速度v?进入场中，问具有何种速度的粒子方能保持?vi匀强磁场B?Bk沿x轴运动？此装置用于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。

解：带电粒子在场中受两个力的作用：电场力F1=qE，方向向下；磁场力F2=qvB，方向向上 x 粒子若沿x轴匀速运动，据牛顿定律：× × × × + B y × × v × × E qE?qvB?0,?v?E/BF2=qvB ENA?1T?1?1dimv?MT,dim??MT ?1?1BNAM?1F1=qE 3.5.17带电粒子束经狭缝S1,S2之选择，然后进入速度选择器（习题3.5.16），其中电场强度和磁感应强度各为E和B. 具有“合格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场B0中，并开始做圆周运动，经半周后打在荧光屏上.试证明粒子质量为：m=qBB0r/E，r和q分别表示轨道半径和粒子电荷。

解：由3.5.16题可知，通过速度选择器的粒子的速度是v=E/B，该粒子在B0磁场中受到

B 洛仑兹力的作用做匀速圆周运动，其向心加速度为● ● ● v ● ● an=v2/r，由牛顿第二定律：

B0 ● ● ● s ● ●

qvB0?mv2/rssE 1 2

m?qB0r/v?qrB0B/E● r ●

● ●

3.5.18某公司欲开设太空旅馆。其设计为用32m长的绳联结质量相等的两客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大，可使客舱感到和在地面上那样受重力作用，而没有“失重”的感觉。 解：mg?m?r,??

3.5.20 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，圆柱B重1000N,半径RB=0.50m，都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间的压力。 NAB A NA y

A α AB=RA+RB=0.8 NB' α B α o x C mAg NB NBA B

α CB=L-RA-RB=0.4

mg BL 2g/r?9.8/16?0.78rad/s

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 27 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有

(!)?NA?NABsin??0(3)?NABsin??NB?0??N'?mg?Ncos??0(2)??mAg?0(4)BAB?B?NABcos 通过对△ABC的

分析，可知，sinα=0.4/0.8=0.5 ∴α=30o, cosα=3/2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得：

NB = 288.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.

3.5.21图表示哺乳动物的下颌骨，假如肌肉提供的力F1和F2均与水平方向成45°，食物作用于牙齿的力为F，假设F,F1和F2共点，求F1和F2的关系以及与F的关系。

解：建立图示坐标o-xy，应用共点力平衡条件：y F1 α ?Fx?0,?Fy?0

x F2 x方向，F1cosα-F2cosα=0, F1= F2

α y方向，F1sinα+F2sinα- F=0， F F?2F1sin??2sin45?F1?2F1

3.5.22四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四个顶点处，另一端固结于一处悬挂重物，重量为W，线与铅垂线夹角为α，求各线内张力。若四根线均不等长，知诸线之方向余弦，能算出线内张力吗？

解：设四根绳子的张力为T1，T2，T3，T4，由于对称，显然，T1=T2=T3=T4=T；设结点下边的拉力为F，显然F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件：

4Tcosα-W=0，T=W/(4cosα)

若四根线均不等长，则T1≠T2≠T3≠T4，由于有四个未知量，因此，即使知道各角的方向余弦，也无法求解，此类问题在力学中称为静不定问题。

3.6.1 小车以匀加速度a沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相θ 对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。

α 解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T的

作用，加速度a沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律：

?Tsin??macos? ?mg?Tcos??masin??解得 tg??acos?/(g?asin?)

T x θ f*=ma α a W=mg y 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 28 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

（2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W、拉力T外，还受惯性力f*的作

用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：

?Tsin??macos??0acos?tg?? 解得 ?g?asin??mg?Tcos??masin??0

3.6.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？

解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1'=a2'=a'为m1、m2相对升降机的加速度.

以向下为正方向，由牛顿二定律，有：

(m1?m2)a?(m2?m1)g?a'??m1g?T?m1a??m1a'?m1?m2解得：? ??m2g?T?m2a?m2a'?T?2mm(g?a)/(m?m)1212?设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，

??????a1?a1'?aa2?a2'?a 写成标量式：a1??a'?a,a2?a'?a，将a’代入，求得：

2m2a?(m2?m1)g?a??1m1?m2? ??a?2m1a?(m2?m1)g2?m1?m2)?

3.6.3图示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来。⑴当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿轨道自由下落，如图a，问框架自由下落时，摆锤相对于框架如何运动？⑵当小球摆至平衡位置时，释放框架，如图b，小球相对框架如何运动？小球质量比框架小得多。

解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为m, 框架相对地自由落体的加速度为g，因此小球所受的惯性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：

a b ⑴小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0，

? n所以法向加速度an=v2/l=0（l为摆长）；由n于切向合力Fτ=Wsin? f* T θ-f*sinθ=0，所以切向加速度aτ=0. 小球相对框架的速度为f* T 零，加速度为零，因此小球相对框架静止。 ? ?θ ⑵小球摆至平衡位置时释放框架，小?球相对框架的速度不

W ?W

为零，法向加速度an=v2/l≠0，T=man ；在切向方向小球不受外力作用，所以切向加速度aτ=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运动。

3.6.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）

f=μ0N N mg f*=mωr

2

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 29 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。

在竖直方向应用平衡条件，μ0N = mg ① 在水平方向应用平衡条件，N = mω2 r ②

①/②得：?0?g?2r,??g?0r

最小线速度 v??r?

rg/?0?3.0?9.8/0.6?7m/s

3.6.5一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动，一小圆盘在雨伞上滚动但相对地面在原地转动，即盘中心不动。⑴小盘相对于雨伞如何运动？⑵以伞为参考系，小盘受力如何？若保持牛顿第二定律形式不变，应如何解释小盘的运动？

解：⑴可把小盘当作质点，小盘相对雨伞做匀速圆周运动，与伞相对地的转向相反。

f0 N ⑵以伞为参考系，小盘质点受5个力的作用：向下的重

fC* 上的静摩擦力f，fK* 力W，与扇面垂直的支持力N，沿伞面向0此外

还有离心惯性力fC*和科氏惯性力fk*，方向如图所示。把这些

W 力都考虑进去，即可保持牛顿第二定律的形式不变，小盘正是ω 在这些力的作用下相对伞做匀速圆周运动。

3.6.6设在北纬60°自南向北发射一弹道导弹，其速率为400m/s，打击6.0km远的目标，问该弹受地球自转影响否？如受影响，偏离目标多少（自己找其它所需数据）?

解：以地球为参考系，导弹除受重力作用外，还要受离心惯性力和科

ω 氏惯性力的作用。离心惯性力的方向在速度与重力加速度平面内，不会

使导弹前进方位偏离，而科氏惯性力的方向垂直速度、重力加速度平面v fk* × （指向纸面），要使导弹偏离前进方向。 f* C60° 由于导弹速度较大，目标又不是很远，可近似认为导弹做匀速直线运动，导弹击中目标所需时间t=6000/400=15s，在此时间内导弹在科氏惯性力作用下偏离目标的距离：

121fk*212mv?sin60?2at??t??t?v?sin60?t222m2m

2?3?400???152?5.7m24?60?602S?

???2?j（N,s）3.7.1就下面两种受力情况：⑴F?2ti，

??(1?t)?j（N,s）分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1⑵F?2ti时间内的冲量，也用图表示。

????2?j,代入t值得： 解：⑴F?2ti2 1 y F(0) F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) x 0 1 2 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 30 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

???11????? F(0)?2j,F(4)?2i?2j,F(12)?i?2j??33????2?F(4)?2i?2j,F(1)?2ij

11?1???tdt?2???2?I??Fdt?2ij?dt?ij

000y 2 1 I I?1?2?5Ns,与x轴夹角

α= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°

22α 0 1 2 x ??(1?t)?j,代入t值得： ⑵ F?2ti?y 1 F(0) F(1/4) F(1/2) F(3/4) ???3?11???1? F(0)?j,F(4)?2i?4j,F(12)?i?2j??33?1?? F(4)?2i?4j,F(1)?2i111?1??????1?I??Fdt?2i?tdt?j?dt?j?tdt?i2j

0000F(1) 0 1 2 x y 2 1 I?12?0.52?5/2Ns,与x轴夹角

α α= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5° x 0 1 2

3.7.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：

I ???bsin?t?r?acos?tij，求质点的动量。

???bcos?t?j 解：质点速度：v?dr/dt???asin?ti??m?bcos?t?j 质点动量：p?mv??m?asin?ti大小：p?????px?py?m?a2sin2?t?b2cos2?t

22方向：与x轴夹角为θ，tgθ= py/px = - ctgωt·b/a

3.7.3自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出口速率为735m/s，求射击时所需的平均力。

解：枪射出每法子弹所需时间：Δt=60/120=0.5s，对子弹应用动量定理：

F?t??p,F??p/?t?mv/?t?7.9?10?3?735/0.5?11.6N

3.7.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30o飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。 v

解：以地为参考系，把球视为质点， 30o v0 ???由动量定理，F?t?mv?mv0，画出矢

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 31 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

量图，由余弦定理，F?t?(mv?mv0?2mv0vcos30?)由正弦定理 mv FΔt

mv/sin??F?t/sin30?，代入数据， 30o α 222221/2，代入数据，可求得F=881N.

求得sin??0.3179,??18?32' mv0

3.7.5 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为μ0，质量为m的滑块与M均处

于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M？设当m下落h后经过极短的时间Δt后与绳的铅直部分相对静止。

解：以地为参考系，选图示坐标，

先以m为研究对象，它被托起h，再落 y M 回原来位置时，速度大小为v?2gh， x 在Δt极短时间内与绳相互作用，速度 m 又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有：F?t?0?(?mv)?mv?m2gh，∴F?m2gh/?t

再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为fmax=μo Mg，因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：

F≥fmax，即m2gh/?t??oMg?h??oM(?t)g/2m

3.7.6质量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m3的位置坐标。

解：由质心定义式：?mixi??mixC,?miyi??miyC，有

i?1i?1i?1i?144442222m1x1?m2x2?m3x3?m4x4?(m1?m2?m3?m4)xC1?(?1)?2?(?2)?3x3?4?3?(1?2?3?4)?1,x3?1m1y1?m2y2?m3y3?m4y4?(m1?m2?m3?m4)yC

1?1?2?0?3y3?4?(?2)?(1?2?3?4)?(?1),y3??1

3.8.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）

x 解：（1）用质点系动量定理解：

m1 以岸为参考系，把车、船当作质点 F m2 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 力F的作用， 应用质点系动量定

理，有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 32 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有： (m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/Δt=v/Δt， a2为船对地的加速度，据题意a2=0，∴ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1， ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ，∴F=m1v/Δt=1500N

（3）用牛顿定律解： a2=0 a1

分别分析车、船两个质点的 F f f

mm受力与运动情况：其中f为

静摩擦力，a1=v/Δt，对两个质点分别应用牛顿二定律：

f?m1a1?m1v/?t?1500N

F?f?0F?f?1500N

3.8.2汽车质量m1=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？

解：⑴用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，

x

螺旋桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质

a' a2 度与车静止时的质心心运动定理可知，车运动时的质心加速

加速度相等aC=0.2m/s2

设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2, ①

由质心定义式可知：m1a1?m2a2?(m1?m2)aC将①代入②中，可得：a2?aC?21500a2?0.2?1500?6000(?0.5)?0.3m/s

m1m1?m2②

a'，取船前进方向为正，代入数据：

⑵用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点，加速度为a=0.2，由牛顿第二定律：F?(m1?m2)a①

设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2,对车、船应用质点系动量定理的导数形式：

1F?m1dvdt?m2dv2dt?m1a1?m2a2?m1(a'?a2)?m2a2m②

令①=②，(m1?m2)a?m1(a'?a2)?m2a2,a2?a?m?1ma',取船前进方向为正，代入

122 1500数据：a2?0.2?1500?6000(?0.5)?0.3m/s

3.8.3气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度am上升时，气球的加速度如何？

解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)aC ①

x

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 33 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

设人相对地的加速度为a1，气球相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1=am+a2，由质心定义式可知：

（m+M）aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 ②

①②联立，可求得：a2?

3.8.4水流冲击在静止的涡轮叶片上，水流冲击叶片曲面前后的速率都等于v，设单位时间投向叶片的水的质量保持不变等于u，求水作用于叶片的力。

解：以水为研究对象，设在Δt时间内质量为Δm的水投射到叶

v 片上，由动量定理： -v F?mam?g

m?MF?t??m(v2?v1),F?

?m?t(v2?v1)??2uv

由牛顿第三定律，水作用叶轮的力F'= -F=2uv

3.8.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。

解：以地为参考系，选图示坐标o-x,m1 设人的质量为m1=70kg，

x 人相对地的速度为v1，相对船的速度为v1’，它们的方向显然与x轴

同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显

m2 然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1’+v2.

由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1’+ v2)+m2 v2=0 ，可求得

v2= - v1’m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt，v2Δt=s2为船相对地的位移，v1’Δt=s1’=3.2m，即

s2 = - s1’m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m

3.8.6 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为M，弹丸质量为m，炮口到对面墙壁的距离为L,不计铁轨作用于车厢的阻力。

解：以地为参考系,建立图示坐标o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v’, 对地的速度为v, 车后退的速度为V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v’+V 由于不计路轨对车的摩擦

x L 阻力，所以，在水平方向，弹、 车组成的质点系动量守恒，有 M m V v' MV+m v=0，将v代入，

MV+m(v’+V)=0，V= - v’m/(m+M)

设弹发出到与车壁相碰所用时间为Δt，用Δt乘上式两边，得： VΔt= - v’Δt m/(m+M)，其中：v’Δt= -L，VΔt即为车在此过程中前进的距离S，∴S=Lm/(m+M)

3.8.7载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为m1=165×10kg，和m2=115×10kg，各以速率v1=90km/h和v2=108km/h向东和向北行驶，相撞后连在一起滑出，求滑出的速度，不计摩擦

?解：设两车撞后的共同速度为v，由动量守恒：

y (北) v m1 v1 α x(东) v2 m2 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 34 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

mv???11?m2v2?(m1?m2)v

向x轴投影：m1v1?(m1?m2)vx

vx?m1v1?165?10m1?m2165?10?115?10?92?54.2km/h 向y轴投影：m2v2?(m1?m2)vy

v2y?mv2?115?10m1?m2165?10?115?10?108?44.36km/h v?v22x?vy?54.22?44.362?70km/h

与x轴夹角??arctgvy/vx?arctg44.36/54.2?39.3?

3.9.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成45o，投出的速率为25m/s，在刚要接触与发射点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的三块，一块以速度v3铅直朝下，一块顺爆

炸处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向以v1飞出，求v1和v3，不计空气阻力。

解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。

设手榴弹质量为m,爆炸前速度为v，由动量守恒，有：

mv??mv???????1/3?mv2/3?mv3/3?3v?v1?v2?v3，投影方程：

??3vcos45??v1cos45??v2cos45???3vsin45??v ，即 1sin45??v2sin45??v33v?v1?v2?(1)?3v?v1?v2?v3/sin45??(2)

解得：???v1?3v?v2?3?25?15?90m/s??(3v?v902?127m/s

?v31?v2)sin45??

3.9.2铀238的核（质量为238原子质量单位）放射一个α粒子（氦原子的核，质量为

4.0原子质量单位）后蜕变为钍234的核，设铀核原来是静止的，α粒子射出时的速率为1.4×107m/s，求钍核反冲的速率。

解：由动量守恒，有m钍v钍?m?v??0

v?钍?mmv?4??1.4?107?2.39?105m/s 钍234

3.9.3 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？

y

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 35 第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答

解：以岸为参考系， M v M v M v 以船前进的方向为坐标

的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1 后，前边船、中间船、 后边船的速度变为v1、

v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：

前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。

同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。

中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即

(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。

第四章基本知识小结

?? ⒈功的定义式：A12??F?dr

?r1x2x2,y2x?r2直角坐标系中：A12?x1s2?Fdx，A12?x1,y1?Fdx?Fdy

xy自然坐标系中：A12?s1?F?ds

??Fdr?F?rd?

r1r2,?2极坐标系中： A12?

r1,b??12⒉动能Ek?mv,势能Ep(b)?Ep(a)???F保?dr

2a重力势能 Ep(y)?mgy 弹簧弹性势能 Ep(r)?静电势能 Ep(r)?1k(r?l)2 2Qq 4??r

⒊动能定理适用于惯性系、质点、质点系

?A外??A内??Ek

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