第二章习题解题过程和参考答案

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2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力f(t)，位移x(t)和电压ur(t)为输入量；位移y(t)和电压uc(t)为输出量；k（弹性系数），?（阻尼系数），R（电阻），C（电容）和m（质量）均为常数]。

??f(t)

解：

2-1(a) 取质量m为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。作用在质量块m上的力有外力f(t)，重力mg，这两个力向下，为正。有弹簧恢复力k?y(t)?y0?和阻尼力?dy(t)，这两个力向上，为负。其中，y0为dtf(t)?0、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。

k?y(t)?y0??dy(t)dtm f(t)mg

dy(t)d2y(t)?m根据牛顿第二定理?F?ma，有f(t)?mg?k?y(t)?y0??? dtdt2dy(t)d2y(t)?m其中：mg?ky0代入上式得f(t)?ky(t)?? dtdt2整理成标准式：

d2y(t)dy(t)m???ky(t)?f(t)

dt2dt或也可写成：

d2y(t)?dy(t)k1??y(t)?f(t) 2dtmdtmm它是一个二阶线性定常微分方程。

2-1(b) 如图，取A点为辅助质点，设该点位移为xA(t)，方向如图。再取B点也为辅助质点，则该点位移即为输出量y(t)，方向如图

2017-06-27 414871450.doc- A

?B

xA(t)

A点力平衡方程：kdxA(t)dy(t1[x(t)?xA(t)]??[dt?)dt] B点力平衡方程：k2y(t)??[dxA(t)dy(t)dt?dt] 由①和②: k1[x(t)?xA(t)]?k2y(t) 得：xA(t)?x(t)?k2ky(t) 1二边微分：

dxA(t)dx(t)k2dy(t)dt?dt?k 1dt将③代入②：

kdx(t)k2dy(t)dy2y(t)??[dt?kdt?(t)dt] 1整理成标准式：

k1?k2dy(t)k2dx(tkdt??y(t)?)dt 1或也可写成：

dy(t)k1k2k1dx(t)dt??(ky(t)?dt 1?k2)k1?k2它是一个一阶线性定常微分方程。

2-1(c) 如图，由电路理论的基尔霍夫定律：

Ci2u1(t)R1ur(t)i1R2u(t)ic

i?i1?i2

ur(t)?u1(t)?uc(t)?i1R1?uc(t)，其中，u1(t)是R1上的压降。P2/27页

① ②

③

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即得：i1?ur(t)?uc(t)

R1d[ur(t)?uc(t)]du(t)du1(t)du(t)?C?Cr?Cc dtdtdtdt①

又因为：i2?C输出为：

②

uc(t)?iR2?(i1?i2)R2

将①和②代入上式：

ur(t)?uc(t)du(t)du(t)rcuc(t)?R2(i1?i2)?R2[R?C?C1dt整理成标准式：

Rduc(t)?R1?R2r2CdtRudu(t)?R2c(t)?R2Cur(t)1dtR1或也可写成：

duc(t)R1?R2du(t)1dt?Rurc(t)?dt?Rur(t) 1R2C1C

2-1(d) 把电路图画成如下形式，或许看得更清楚一些。

RCi1Ruc(t)ur(t)i2Ciu1(t)

由图中可见：

ur(t)?1C?i1dt?uc(t) 两边微分并整理：

idur(t)1?C[dt?duc(t)dt] ①式两边再次微分以备后用：

di1d2ur(t)d2uc(t)dt?C[dt2?dt2] 图中上面两条并联支路两端的电压应相等：

1C?i1dt?i1R?i2R 整理得：

dt]

③

①

②

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i2?1i1dt?i1 RC?③

将①式和②式代入③式：

i2?1i1dt?i1RC?

dur(t)duc(t)dur(t)duc(t)1?C[?]dt?C[?]RC?dtdtdtdt?du(t)du(t)1[ur(t)?uc(t)]?C[r?c] Rdtdt④

④式两边微分以备后用：

di21dur(t)duc(t)d2ur(t)d2uc(t)?[?]?C[?] 22dtRdtdtdtdt再观察图中，添加辅助电压u1(t)，有：

⑤

ur(t)?i2R?u1(t)

且有：

⑥

u1(t)?1idt ?Ci?i1?i2

此二式均代入⑥式：

ur(t)?i2R?u1(t)1idt ?C1?i2R??(i1?i2)dtC?i2R?两边微分并整理：

dur(t)di1?R2?(i1?i2) dtdtC将①、④、⑤三式代入⑦式，并经整理，有：

⑦

d2uc(t)duc(t)1d2ur(t)dur(t)1RC?3?u(t)?RC?2?ur(t) cdt2dtRCdt2dtRC或也可写成：

d2uc(t)3duc(t)d2ur(t)2dur(t)11??u(t)???ur(t) cdt2RCdtR2C2dt2RCdtR2C2

解法二：本题以上的求解过程较为繁复。但采用电工学中的等效阻抗法求解要方便得多，见下。

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RCRi1uc(t)Cur(t)i2iu1(t)

由图可写出如下方程：

Ur(s)?RI2(s)??I1(s)?I2(s)?I1(s)1?RI2(s)?RI1(s) Cs1 Cs⑴ ⑵

Uc(s)?I1(s)R??I1(s)?I2(s)?1 Cs⑶

联立式⑴、⑵、⑶，消去中间变量I1(s),I2(s)，可得：

Uc(s)R2C2s2?2RCs?1 ?Ur(s)R2C2s2?3RCs?1微分方程为：

d2uc(t)3duc(t)d2ur(t)2dur(t)11??u(t)???u(t) 222c222rdtRCdtRCdtRCdtRC

2-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

?2ABxB(t)Z1?1Z2

解：

2-2(a) 见题图，取辅助点A、B两点。

A点力平衡方程：k2[x(t)?y(t)]??2[B点力平衡方程：?1[dx(t)dy(t)dy(t)dxB(t)?]??1[?] dtdtdtdt① ②

dy(t)dxB(t)?]?k1xB(t) dtdt

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