2001年广东高考数学试题(附答案)

2001年广东高考数学试题(附答案)

2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式

x 1

＞０的解集为　 x 3

｛ｘ｜ｘ＞３｝　　 C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ 　D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝　 A．｛ｘ｜ｘ＜１｝ B．2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是　 　Ａ．３π 　 Ｂ．３π 　Ｃ．6π　 Ｄ．９π 3．极坐标方程ρｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是　

　A．两条相交直线　B．圆　 　C．椭圆 　D．双曲线　

4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是　 　 A．（０，

２

111

） 　Ｂ．（０，]　 　Ｃ．（，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 222

6i，则ａｒｇ

1

是 Z

5．已知复数ｚ＝2+

11ππ5π

A． Ｂ． Ｃ． 　Ｄ．

3366

π

6．函数ｙ＝２

－ｘ

＋１（ｘ＞０）的反函数是　

　A．ｙ＝ｌｏｇ２

11

，ｘ∈（１，２）； 　Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）　 x 1x 111

，ｘ∈（１，２）；　 Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２] x 1x 1

，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则

　 Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２

7．若０＜α＜β＜

π

4

A．ａ＞ｂ 　 Ｂ．ａ＜ｂ 　Ｃ．ａｂ＜１ 　Ｄ．ａｂ＞2 8．在正三棱柱ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为　 　 A．60° 　Ｂ．９０° 　Ｃ．4５° 　Ｄ．120°

、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是 9．设ｆ（ｘ）

①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；　 ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；　 ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；　 ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减　　 　A． ①③ 　Ｂ．①④ 　Ｃ．②③ 　Ｄ．②④　

10．对于抛物线ｙ＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是　 　A．（－∞,０） 　B．（－∞,２） 　 C．［０,２］ 　D．（０,２）　

２

2001年广东高考数学试题(附答案)

11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜　记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α

，则

A．P３＞P２＞P１ Ｂ．P３＞P２＝P１　Ｃ．P３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P３＝P２＝P１

12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为

　A．２６　 Ｂ．２４ 　Ｃ．２０ 　Ｄ．１９ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)

13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能x2y2

=1的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ14．双曲线

916

15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＋２ｃｏｓｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk＝２５５０．

(Ⅰ)求ａ及ｋ的值； (Ⅱ)求lim(

n→∞

２

２

111++Λ+ S1S2Sn

1

． 2

19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，

∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈[,]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?

２

2334

x2

+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 21．(本小题满分14分)已知椭圆2

交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴　求证直线AC经过线段EF

的中点．

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22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称　对任意ｘ１，ｘ２∈［０，

1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０． 2

(Ⅰ)求ｆ(),f()；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋

1

2141），求lim(lnan)．

n→∞2n

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2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案

一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.三、解答题

17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＋２ｃｏｓｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓｘ

＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2sin(2x+

２

２

２

16

15.1 16.2n(n-1) 5

π

4

)+2 8分

所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 ， 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝

则a１＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a+3a=2×４，解得首项a１＝ａ＝２，

公差d=a２－ａ１＝２． 2分 代入公式Sｋ＝ｋ·ａ１＋

２

k(k 1)k(k 1)

d得k 2+ 2=2550 22

∴ｋ＋ｋ－２５５０＝０解得k=50,k=-51(舍去)

∴a=2,k=50. 6分 (Ⅱ)由Sn=n a1+

n(n 1)

， d得Sｎ＝ｎ（ｎ＋１）

2

1111111111111

++L+=++L+=(-)+(-)+L+(-)=1 S1S2Sn1×22×3n(n+1)nn+1n+11223

∴lim(

n→∞

1111

++Λ+)=lim(1 )=1 12分

n→∞S1S2Snn+1

1+0.53

×1= 2分 24

19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是

M底面=(BC+AD) AB=

1

2

∴四棱锥S—ABCD的体积是

3111

V=×SA×M底面=×1×= 4分

3344

(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.

又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SA+AB=

2

2

2,BC=1,BC⊥SB ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝

BC2

= SB2

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即所求二面角的正切值为

2

12分 2

２

20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ＝４８４０ 1分 设纸张面积为S，则有

２

Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分

将ｘ＝

22代入上式得

Ｓ＝５０００＋４４(8+

5

λ

5分

=

<1)时，S取得最小值，

4840

此时，高：ｘ＝

λ

5

=88cｍ，宽：λｘ＝×88=55ｃｍ 8分

8

如果λ∈［

2323

,］，可设≤λ1<λ2≤，则由S的表达式得

3434

5

Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４(8λ1+5 82 5 =44(1 2)(8 )

11212

≥

25>,故8>0 3823

,］内单调递增. 34

因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S（λ）在区间［

从而，对于λ∈［

232,］，当λ＝时，S（λ）取得最小值 343

232

,］,当λ＝时，所343

答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ　时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［用纸张面积最小. 12分

21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，

EF的中点为N(

3

，0) 3分 2

3

，0)，即AC过EF中点N. 2

，Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， 若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ１）∴AC中点为N(

若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．

，则C（２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程 记A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２）

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x2

+k2(x 1)2=1 2

4k22(k2 1)

,x1x2= １０分 即（１＋２ｋ）ｘ－４ｋｘ＋２（ｋ－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝

1+2k21+2k2

２

２

２

２

又ｘ

２１＝２－２ｙ

２

１

＜２，得ｘ１－

3

≠０， 2

故直线AN，CN的斜率分别为

ｋ１＝

y1x1

32

=

2k(x1 1)y2

k2==2k(x2 1)

32x1 3

2

2

(x1 1) (x2 1)(2x1 3)

2x1 3

∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·

∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝

1222

[12k 4(k 1) 4(1+2k)]=0 2

1+2k

∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A、C、N三点共线.

所以，直线AC经过线段EF的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，

1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,所以 2

xxxx

f(x)=f(+=f() f(≥0,x∈[0,1]

222211111

Θf(1)=f(+=f( f()=[f(2

22222

111111f()=f(+=f() f()=[f(2

244444

ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分

1

1

11

∴f(=a2,f()=a4 6分

24

(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，

，即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）

，ｘ∈R， 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ）

，ｘ∈Ｒ 将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２）

这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵f(=f(n

1211111

)=f[+(n 1) =f() f[(n 1) ]=LL

2n2n2n2n2n

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=f(

1111 f( L f()=[f(n 2n2n2n2n

1

1

11

f()=a2 ∴f(=a2n 12分 22n

∵ｆ（ｘ）的一个周期是2

1

11

）=ｆ（）,因此an=a2n ∴ｆ（２ｎ＋2n2n

∴lim(lnan)=lim(

1

lna)=0 14分 n→∞

n→∞

2n

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