2014高考数学提能专训(二十) 坐标系与参数方程(选修4-4)

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提能专训(二十) 坐标系与参数方程(选修4-4)

1. (2013·福建省毕业班质检)如图,在极坐标系中,圆C的圆心坐标为(1,0),半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标π?x=-1+tcos ?6,系.已知直线l的参数方程为?π

??y=tsin 6断直线l与圆C的位置关系.

(t为参数),试判

命题立意:本题主要考查参数方程、极坐标方程等知识,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想.

解析:(1)如图,设M(ρ,θ)为圆C上除点O,B外的任意一点,连接OM,BM,

在Rt△OBM中,|OM|=|OB|cos ∠BOM,

所以ρ=2cos θ.

π??

可以验证点O?0,2?,B(2,0)也满足ρ=2cos θ,

??故ρ=2cos θ为所求圆的极坐标方程. π?x=-1+tcos ?6,(2)由?π

??y=tsin 63

=3(x+1),

即直线l的普通方程为x-3y+1=0.

由ρ=2cos θ,得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. |1×1-3×0+1|

因为圆心C到直线l的距离d==1, 2所以直线l与圆C相切.

??x=1+tcos α,2.(2013·郑州第二次质检)已知直线C1:?(t为参

?y=tsin α???x=cos θ,

数),曲线C2:?(θ为参数).

?y=sin θ?

(t为参数),得直线l的普通方程为y

π

(1)当α=3时,求C1与C2的交点坐标;

(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线?

π

解析:(1)当α=3时,C1的普通方程为y=3(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1,

??y=3?x-1?,

联立方程组?22

?x+y=1,?

?13?

解得C1与C2的交点坐标为(1,0),?,-?.

2??2

(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0, A点坐标为(sin2α,-sin αcos α),

12?x=?2sinα,

故当α变化时,P点轨迹的参数方程为?1

?y=-?2sin αcos α参数),

1?221?

?P点轨迹的普通方程为x-4?+y=16, ??

?1?1??故P点轨迹是圆心为4,0,半径为4的圆. ??

(α为

3.(2013·太原市高三模拟二)平面直角坐标系xOy中,点A(2,0)

??x=acos φ,

在曲线C1:?(a>0,φ为参数)上.以原点O为极点,x

??y=sin φ

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=acos θ.

(1)求曲线C2的普通方程;

π??

?(2)已知点M,N的极坐标分别为(ρ1,θ),ρ2,θ+2?,若点M,??11

N都在曲线C1上,求ρ2+ρ2的值.

1

2

??2=acos φ,

解析:(1)∵ 点A(2,0)在曲线C1上,∴ ?

??0=sin φ,

∵ a>0,∴ a=2,∴ ρ=2cos θ.

??x=ρcos θ,

由?得(x-1)2+y2=1, ?y=ρsin θ,?

∴ 曲线C2的普通方程为(x-1)2+y2=1.

??x=2cos φ,

(2)由(1)得曲线C1:?

?y=sin φ,?

x22

消去参数φ得4+y=1.

由题意得点M,N的直角坐标分别为 π?π???

(ρ1cos θ,ρ1sin θ),ρ2cos?θ+2?,ρ2sin?θ+2?.

????∵ 点M,N在曲线C1上,

22

ρ1cos2θ22ρ22sinθ2∴ 4+ρ1sinθ=1,4+ρ2cos2θ=1, 2

sinθ??11?cos2θ522?

∴ ρ2+ρ2=?4+sinθ?+?4+cosθ?=4. ????12

4.(2013·乌鲁木齐地区第三次诊测)在平面直角坐标系xOy中,

???x=cos φ,?x′=ax,

曲线?(φ为参数),经坐标变换?(a>0,b>0)

??y=sin φy′=by??

后所得曲线记为C.A,B是曲线C上两点,且OA⊥OB.

(1)求曲线C的普通方程;

(2)求证:点O到直线AB的距离为定值.

??x=cos φ,解析:(1)由?

??y=sin φ

??x′=ax,

(φ为参数)及?

??y′=by,

??x′=acos φ,x′2y′2x2

?消去φ,得a2+b2=1,即曲线C的普通方程为a2??y′=bsin φ,

y2

+b2=1.

(2)证明:以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的非负半轴为极?ρcos θ?2?ρsin θ?2

轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为a2+b2=1,即a2b2

ρ=22.

bcosθ+a2sin2θ

2

π??2

?不妨设A(ρ1,θ1),Bρ2,θ1+2?,代入C的极坐标方程,有ρ1=??a2b2a2b22

,ρ=.

b2cos2θ1+a2sin2θ12b2sin2θ1+a2cos2θ1

设点O到直线AB的距离为h,则 |OA||OB|ρ1ρ2h=|AB|=22=ρ1+ρ2=1

11+ρ2ρ212

1

22222222 bcosθ1+asinθ1bsinθ1+acosθ1

+a2b2a2b2ab

22(定值). a+b

5.(2013·辽宁高考)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.

(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);

(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程. 解析:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2, 圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.

??ρ=2,π?解得ρ=2,θ=±, 3?ρ=4cos θ?

π??π??

故圆C1与圆C2交点的坐标为?2,3?,?2,-3?.

?

?

?

?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

??x=ρcos θ,

(2)解法一:由?得圆C1与C2交点的直角坐标分别为

??y=ρsin θ,

(1,3),(1,-3).

??x=1,

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为?-3≤t≤3.

?y=t,?????x=1,???或参数方程写成-3≤y≤3. ????y=y,????x=ρcos θ,

解法二:将x=1代入?

?y=ρsin θ,?

1

得ρcos θ=1,从而ρ=cos θ.

??x=1,ππ?于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为-3≤θ≤3. ??y=tan θ,??x=-1+tcos α,

6.已知直线l:?(t为参数,α为参数,α为l

?y=tsin α???x=2cos θ,

?的倾斜角,且0<α<π)与曲线C:(θ为参数)相交于A,??y=sin θ

B两点,点F的坐标为(1,0).

(1)求△ABF的周长;

(2)若点E(-1,0)恰为线段AB的三等分点,求△ABF的面积.

x22

解析:(1)如图,曲线C的方程为2+y=1,所以F(1,0),E(-1,0)为椭圆C的两个焦点.又A,B在椭圆上,知|AE|+|AF|=|BE|+|BF|

=2a=22,又直线AB过点E,所以△ABF的周长为42.

??x=-1+tcos α,x22

(2)将?代入2+y=1,

?y=tsin α?

得(1+sin2α)t2-2cos α·t-1=0, 设点A,B对应的参数为tA,tB, 其中Δ=4cos2α+4(1+sin2α)=8>0,

?且?-1

t=,?t·1+sinα

AB

2

2cos αtA+tB=,1+sin2α

22

则|AB|=|tA-tB|=.

1+sin2α

不妨设|AE|∶|EB|=2∶1,

??tA+tB=-tB,

则tA=-2tB,?得tA·tB=-2(tA+tB)2, 2

?tA·tB=-2tB,?

-14cos2α

所以=-2·,

1+sin2α?1+sin2α?27即8cos2α=1+sin2α,得sin2α=9. 1

则S△ABF=2|AB|·|EF|sin α 122314=2··2sin α=8.

1+sin2α

7.(2013·豫东、豫北十校4月联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x2+y2=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l:3cos θ-8-2sin θ=ρ.

(1)将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C2,试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的

参数方程;

(2)求C2上一点P到l的距离的最大值.

解析:(1)由题意知,直线l的直角坐标方程为3x-2y+8=0.

?x?2?y?2

由题意得曲线C2的直角坐标方程为?2?+?3?=1,

??????x=2cos θ,

所以曲线C2的参数方程为?(θ为参数).

?y=3sin θ?

(2)设点P的坐标为(2cos θ,3sin θ),则点P到直线l的距离为 |6cos θ-6sin θ+8|

d==

13

π????

?62cos?θ+?+8?

4????

13

626+813π??

??所以当cosθ+4=1时,dmax=. 13??

8. (哈尔滨九中三模)如图,已知点A(3,0),B(0,1),圆C是以AB

??x=tcos φ,

为直径的圆,直线l:?(t为参数).

?y=-1+tsin φ?

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;

→=(2)过原点O作直线l的垂线,垂足为H,若动点M满足2OM→,当φ变化时,求点M轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.3OH

?3?2?1?2

解析:(1)圆C的普通方程为?x-?+?y-2?=1,

2????

π?π???

极坐标方程为ρ=2sin?θ+3?或ρ=2cos?θ-6?.

?

?

?

?

(2)直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ-cos φ=0,点H??1?2sin 2φ,-11?

2-2cos 2φ??

. 由于2OM

→=3OH→, 则M??333?

?4sin 2φ,-4-4cos 2φ??

, ??x=34sin 2φ,点M轨迹的参数方程为???y=-33

4-4cos 2φ

圆.

(φ为参数),图形为

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