2014高考数学提能专训（二十） 坐标系与参数方程(选修4-4)

提能专训(二十) 坐标系与参数方程(选修4－4)

1. (2013·福建省毕业班质检)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标π?x＝－1＋tcos ?6，系．已知直线l的参数方程为?π

??y＝tsin 6断直线l与圆C的位置关系．

(t为参数)，试判

命题立意：本题主要考查参数方程、极坐标方程等知识，考查考生的运算求解能力，考查数形结合思想．

解析：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接OM，BM，

在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|cos ∠BOM，

所以ρ＝2cos θ.

π??

可以验证点O?0，2?，B(2,0)也满足ρ＝2cos θ，

??故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程． π?x＝－1＋tcos ?6，(2)由?π

??y＝tsin 63

＝3(x＋1)，

即直线l的普通方程为x－3y＋1＝0.

由ρ＝2cos θ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. |1×1－3×0＋1|

因为圆心C到直线l的距离d＝＝1， 2所以直线l与圆C相切．

??x＝1＋tcos α，2．(2013·郑州第二次质检)已知直线C1：?(t为参

?y＝tsin α???x＝cos θ，

数)，曲线C2：?(θ为参数)．

?y＝sin θ?

(t为参数)，得直线l的普通方程为y

π

(1)当α＝3时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？

π

解析：(1)当α＝3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，

??y＝3?x－1?，

联立方程组?22

?x＋y＝1，?

?13?

解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，?，－?.

2??2

(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0， A点坐标为(sin2α，－sin αcos α)，

12?x＝?2sinα，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为?1

?y＝－?2sin αcos α参数)，

1?221?

?P点轨迹的普通方程为x－4?＋y＝16， ??

?1?1??故P点轨迹是圆心为4，0，半径为4的圆． ??

(α为

3．(2013·太原市高三模拟二)平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)

??x＝acos φ，

在曲线C1：?(a＞0，φ为参数)上．以原点O为极点，x

??y＝sin φ

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝acos θ.

(1)求曲线C2的普通方程；

π??

?(2)已知点M，N的极坐标分别为(ρ1，θ)，ρ2，θ＋2?，若点M，??11

N都在曲线C1上，求ρ2＋ρ2的值．

1

2

??2＝acos φ，

解析：(1)∵ 点A(2,0)在曲线C1上，∴ ?

??0＝sin φ，

∵ a＞0，∴ a＝2，∴ ρ＝2cos θ.

??x＝ρcos θ，

由?得(x－1)2＋y2＝1， ?y＝ρsin θ，?

∴ 曲线C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.

??x＝2cos φ，

(2)由(1)得曲线C1：?

?y＝sin φ，?

x22

消去参数φ得4＋y＝1.

由题意得点M，N的直角坐标分别为 π?π???

(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，ρ2cos?θ＋2?，ρ2sin?θ＋2?.

????∵ 点M，N在曲线C1上，

22

ρ1cos2θ22ρ22sinθ2∴ 4＋ρ1sinθ＝1，4＋ρ2cos2θ＝1， 2

sinθ??11?cos2θ522?

∴ ρ2＋ρ2＝?4＋sinθ?＋?4＋cosθ?＝4. ????12

4．(2013·乌鲁木齐地区第三次诊测)在平面直角坐标系xOy中，

???x＝cos φ，?x′＝ax，

曲线?(φ为参数)，经坐标变换?(a＞0，b＞0)

??y＝sin φy′＝by??

后所得曲线记为C.A，B是曲线C上两点，且OA⊥OB.

(1)求曲线C的普通方程；

(2)求证：点O到直线AB的距离为定值．

??x＝cos φ，解析：(1)由?

??y＝sin φ

??x′＝ax，

(φ为参数)及?

??y′＝by，

得

??x′＝acos φ，x′2y′2x2

?消去φ，得a2＋b2＝1，即曲线C的普通方程为a2??y′＝bsin φ，

y2

＋b2＝1.

(2)证明：以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极?ρcos θ?2?ρsin θ?2

轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为a2＋b2＝1，即a2b2

ρ＝22.

bcosθ＋a2sin2θ

2

π??2

?不妨设A(ρ1，θ1)，Bρ2，θ1＋2?，代入C的极坐标方程，有ρ1＝??a2b2a2b22

，ρ＝.

b2cos2θ1＋a2sin2θ12b2sin2θ1＋a2cos2θ1

设点O到直线AB的距离为h，则 |OA||OB|ρ1ρ2h＝|AB|＝22＝ρ1＋ρ2＝1

11＋ρ2ρ212

1

22222222 bcosθ1＋asinθ1bsinθ1＋acosθ1

＋a2b2a2b2ab

22(定值)． a＋b

＝

5．(2013·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.

(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

??ρ＝2，π?解得ρ＝2，θ＝±， 3?ρ＝4cos θ?

π??π??

故圆C1与圆C2交点的坐标为?2，3?，?2，－3?.

?

?

?

?

注：极坐标系下点的表示不唯一．

??x＝ρcos θ，

(2)解法一：由?得圆C1与C2交点的直角坐标分别为

??y＝ρsin θ，

(1，3)，(1，－3)．

??x＝1，

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为?－3≤t≤3.

?y＝t，?????x＝1，???或参数方程写成－3≤y≤3. ????y＝y，????x＝ρcos θ，

解法二：将x＝1代入?

?y＝ρsin θ，?

1

得ρcos θ＝1，从而ρ＝cos θ.

??x＝1，ππ?于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为－3≤θ≤3. ??y＝tan θ，??x＝－1＋tcos α，

6．已知直线l：?(t为参数，α为参数，α为l

?y＝tsin α???x＝2cos θ，

?的倾斜角，且0＜α＜π)与曲线C：(θ为参数)相交于A，??y＝sin θ

B两点，点F的坐标为(1,0)．

(1)求△ABF的周长；

(2)若点E(－1,0)恰为线段AB的三等分点，求△ABF的面积．

x22

解析：(1)如图，曲线C的方程为2＋y＝1，所以F(1,0)，E(－1,0)为椭圆C的两个焦点．又A，B在椭圆上，知|AE|＋|AF|＝|BE|＋|BF|

＝2a＝22，又直线AB过点E，所以△ABF的周长为42.

??x＝－1＋tcos α，x22

(2)将?代入2＋y＝1，

?y＝tsin α?

得(1＋sin2α)t2－2cos α·t－1＝0， 设点A，B对应的参数为tA，tB， 其中Δ＝4cos2α＋4(1＋sin2α)＝8＞0，

?且?－1

t＝，?t·1＋sinα

AB

2

2cos αtA＋tB＝，1＋sin2α

22

则|AB|＝|tA－tB|＝.

1＋sin2α

不妨设|AE|∶|EB|＝2∶1，

??tA＋tB＝－tB，

则tA＝－2tB，?得tA·tB＝－2(tA＋tB)2， 2

?tA·tB＝－2tB，?

－14cos2α

所以＝－2·，

1＋sin2α?1＋sin2α?27即8cos2α＝1＋sin2α，得sin2α＝9. 1

则S△ABF＝2|AB|·|EF|sin α 122314＝2··2sin α＝8.

1＋sin2α

7．(2013·豫东、豫北十校4月联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l：3cos θ－8－2sin θ＝ρ.

(1)将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的

参数方程；

(2)求C2上一点P到l的距离的最大值．

解析：(1)由题意知，直线l的直角坐标方程为3x－2y＋8＝0.

?x?2?y?2

由题意得曲线C2的直角坐标方程为?2?＋?3?＝1，

??????x＝2cos θ，

所以曲线C2的参数方程为?(θ为参数)．

?y＝3sin θ?

(2)设点P的坐标为(2cos θ，3sin θ)，则点P到直线l的距离为 |6cos θ－6sin θ＋8|

d＝＝

13

π????

?62cos?θ＋?＋8?

4????

13

，

626＋813π??

??所以当cosθ＋4＝1时，dmax＝. 13??

8. (哈尔滨九中三模)如图，已知点A(3，0)，B(0,1)，圆C是以AB

??x＝tcos φ，

为直径的圆，直线l：?(t为参数)．

?y＝－1＋tsin φ?

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

→＝(2)过原点O作直线l的垂线，垂足为H，若动点M满足2OM→，当φ变化时，求点M轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．3OH

?3?2?1?2

解析：(1)圆C的普通方程为?x－?＋?y－2?＝1，

2????

π?π???

极坐标方程为ρ＝2sin?θ＋3?或ρ＝2cos?θ－6?.

?

?

?

?

(2)直线l的普通方程为xsin φ－ycos φ－cos φ＝0，点H??1?2sin 2φ，－11?

2－2cos 2φ??

. 由于2OM

→＝3OH→， 则M??333?

?4sin 2φ，－4－4cos 2φ??

， ??x＝34sin 2φ，点M轨迹的参数方程为???y＝－33

4－4cos 2φ

圆．

(φ为参数)，图形为

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