八年级下：第17章《勾股定理》学案

课题：17.1勾股定理（1）

课型：新授课 教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 时间：2014.3.18 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股

定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 A1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系： D（2）若D为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用 CB刻度尺量出AB的长。

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长

问题：你是否发现3+4与5，5+12和13的关系，即3+4 5，5+12 13， 二、自主学习 思考：

222222222222 （1）观察图1－1。 A的面积是__________个单位面积； B的面积是__________个单位面积； C的面积是__________个单位面积。

（图中每个小方格代表一个单位面积）

（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？

（5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

由此我们可以得出什么结论？可猜想：

命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________ _____________________________________________________________________。

三、合作探究

1

勾股定理证明： 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S正方形＝_______________＝____________________

方法二；

已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。

ba分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形

a的面积相等。 cbc左边S=______________

DCbAcaBaabcac cbbca右边S=_______________

ab左边和右边面积相等， ab即 化简可得。

勾股定理的内容是： 。

b

四、反馈展示 课本24页练习 五、课堂小结

1、什么勾股定理？如何表示？ 2、勾股定理只适用于什么三角形？ 六、课堂小测

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________ S1 2、下列说法正确的是（ ）

A.若a、b、c是△ABC的三边，则a?b?c

S3 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a?b?c

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，?A?90?， 则a?b?c 222D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，?C?90? ，则a?b?c

222222222S2 第4题图 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）

A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20

4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 6、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。 教学反思

本节课主要讲勾股定理的证明过程及简单运用,从练习情况看,还有一部分同学对勾股定理的证明过程还存在困难.

2

课题：17.1勾股定理（2）

课型：新授课 教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 教学时间：2014.3.19 【学习目标】：1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。

【学习重点】：勾股定理的简单计算。 【学习难点】：勾股定理的灵活运用。 【学习过程】 一、课前预习

1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；

A （2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；

（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。 （4）三边之间的关系： 。

bc（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

c= 。（已知a、b，求c） a= 。（已知b、c，求a） b= 。（已知a、c，求b）.

2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。 （2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。 （3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。

二、自主学习 课本例1

C a B

C 2m

A B

1m

实际问题 数学模型 三、合作探究

例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）

分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB A C O C B D O

B A O

D 3

四、反馈展示

课本第26页练习1,2 五、课堂小结

谈谈你在本节课里有那些收获？ 六、课堂小测

1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。

2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面 钢缆A到电线杆底部B的距离为 。

3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口， 圆的直径至少为 （结果保留根号）

A 教学反思

本节课主要讲利用勾股定理解决简单的实际问题,从练习情况看,大部分同学对本节课所学内容掌握较好.

课题：17.1勾股定理（3） 课型：新授课 教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 讲学时间：2014.3.20 【学习目标】：1．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的

思想。

2．会用勾股定理解决简单的实际问题。

【学习重点】：运用勾股定理解决数学和实际问题 【学习难点】：勾股定理的综合应用。 【学习过程】

A D 一、课前预习

1、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=5，c=13，则b= 。

B 2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC= 。

二、自主学习

例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。

步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA＝ ；

2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝ ；

3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13 的点．

4

C 第2题 B C

三、合作探究

例3（教材探究3） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB， (1)说出数轴上点A所表示的数

（2）在数轴上作出

8对应的点

-4五、反馈展示

-3-2-1AB1O0123

1、你能在数轴上找出表示2的点吗？请作图说明。 2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

五、课堂小结

在数轴上寻找无理数：①___________________②____________________③ 。

六、课堂小测

1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。 2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。 3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 4、在数轴上作出表示17的点。

5、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=3， 求线段AB的长。

教学反思

CB本节课主要讲利用勾股定理解决简单的实际问题以及在数轴上表示无理数的点,从练习情况看,大部分同学对本节课所学内容掌握较好 课题：17.2勾股定理逆定理（1） 课型：新授课 教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 讲学时间：2014.3.21

AD 5

【学习目标】：1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；

2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系； 3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.

【学习重点】：勾股定理的逆定理及其应用。 【学习难点】：勾股定理的逆定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习

1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________. A 2、填空题

b （1）在Rt△ABC，∠C=90°，a?8，b?15，则c? 。

（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a?3，b?4，则c? 。（如图） C 3、直角三角形的性质

（1）有一个角是 ；（2）两个锐角 ， （3）两直角边的平方和等于斜边的平方：

二、自主学习

1、怎样判定一个三角形是直角三角形？

2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c 5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足a?b?c吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 猜想命题2：如果三角形的三边长a、b、c，满足a?b?c，那么这个三角形是 三角形

问题二：命题1： 命题2：

命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 由此得到

勾股定理逆定理：

三、合作探究

命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形. 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2?b2?c2 求证：∠C=90°

c思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，

利用对应角相等来证明． 证明： aB

四、反馈展示

6

222222c a B

（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的 边是 边的一半．

AA'bCB'baC'1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a?15,b?8,c?17； （2）a?13,b?14,c?15．

2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等．

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． （3）全等三角形的对应角相等．

（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

五、课堂小结

1、什么是勾股定理的逆定理？如何表述？

2、什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？

六、课堂小测

课本33页练习题1,2,3 教学反思

本节课主要讲勾股定理的逆定理的证明过程及逆命题,从练习情况看,大部分同学对逆命题的改写还存在一定困难,课后应当多加强辅导练习.

课题：17.2勾股定理逆定理（2） 课型：新授课 教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 讲学时间：2014.3.24 【学习目标】：1、勾股定理的逆定理的实际应用；

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合.

【学习重点】：勾股定理的逆定理及其实际应用。 【学习难点】：勾股定理逆定理的灵活应用。 【学习过程】 一、课前复习

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a?1,b?2,c?5；（2）a?1.5,b?2,c?2.5 （3）a?5,b?5,c?6

2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。 （1）同旁内角互补，两直线平行；

解：逆命题是： ；它是 命题。 （2）如果两个角是直角，那么它们相等；

解：逆命题是： ；它是 命题。 （3）全等三角形的对应边相等；

解：逆命题是： ；它是 命题。 （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

解：逆命题是： ；它是 命题。

二、自主学习

1、勾股定理是直角三角形的 定理；它的逆定理是直角三角形的 定理. 2、请写出三组不同的勾股数： 、 、 . 3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：

7

①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.

② ① ③

三、合作探究

例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

四、反馈展示

1、已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC. A

BDC

2、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”： （1）△ABC是什么类型的三角形？

（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？

M

（3）走私艇C最早会在什么时间进入？

E A C

B

N

8

五、课堂小结

你能搞清楚各个方向方位吗？本节课你还有哪些收获？

六、课堂小测

1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，AB此三角形的形状为 。

2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=52，

∠B=90°，求四边形ABCD的面积.

CD3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？

C N 教学反思

本节课主要讲利用勾股定理的逆定理解决实际问题,从练习情况看,大部分同学掌握较好.

A 13 B E

课题：17.2勾股定理逆定理（3） 课型：练习课 教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 讲学时间：2014.3。25 【学习目标】：1、勾股定理的逆定理的实际应用；

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合.

【学习重点】：勾股定理的逆定理及其实际应用。 【学习难点】：勾股定理逆定理的灵活应用。 【学习过程】 一、课前复习

练习册勾股定理逆定理（二）第1、2、3题 二、自主学习

1、已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC.

三、合作探究

9

ABDC1、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”： （1）△ABC是什么类型的三角形？

（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？

M （3）走私艇C最早会在什么时间进入？

E A C

B

五、课堂小结

你能搞清楚各个方向方位吗？本节课你还有哪些收获？

N

六、课堂小测

练习册勾股定理逆定理（二）第4、5、6题 教学反思

本节课主要讲利用勾股定理的逆定理解决实际问题,从练习情况看,部分同学掌握较好.

课题：勾股定理全章复习 课型：复习课 (共2课时）

教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 讲学时间：2014.3。25

【学习目标】：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直

角三角形.

【学习重点】：勾股定理及其逆定理的应用。 【学习难点】：利用定理解决实际问题。 【学习过程】

一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边

1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a，b，c，?C?90，则 。 公式变形①：若知道a，b，则c? ； 公式变形②：若知道a，c，则b? ； 公式变形③：若知道b，c，则a? ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：

b? ，c? .

?b 15

9 c 24

10 10

练一练

? (1)在Rt?ABC中，若?C?90，a?4，b?3，则c? . o(2)在Rt?ABC中，若?B?90，a?9，b?41，则c? . ?(3)在Rt?ABC中，若?A?90，a?7，b?5，则c? . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点.

练一练 在数轴上作出表示10的点．

三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） 练一练

A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4 2、判断由下列各组线段a，b，c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，

说明理由.

（1）a?6.5，b?7.5，c?4； （2）a?11，b?60，c?61；

（3）a?81031，b?2，a?； （4）a?3，b?2，c?4； 3344四、课后巩固练习

（一）填空选择

1、写出一组全是偶数的勾股数是 .

2、直角三角形一直角边为12 cm，斜边长为13 cm，则它的面积为 . 3、斜边长为l7 cm，一条直角边长为l5 cm的直角三角形的面积是（ ） A．60 cm2 B．30 cm2 C．90 cm2 D．120 cm2

4、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x,则以x为边的正方形的面积为 . （二）解答题

1、在数轴上作出表示13的点．

2、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高． 求：①AD的长；②ΔABC的面积．

11

3、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9． （1）求DC的长； （2）求AB的长；

（3）求证：△ABC是直角三角形．

4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（结果保留根号）

A

CFBED

教学反思

本节课主要复习用勾股定理及逆定理的简单应用,从练习情况看,大部分同学掌握较好.

课题：勾股定理全章复习 课型：复习课 (共2课时）

教师:黄燕,张洲宁,税代江 组别: 数学组 讲学时间：2014.3。26

【学习目标】：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直

角三角形.

【学习重点】：勾股定理及其逆定理的应用。 【学习难点】：利用定理解决实际问题。 【学习过程】

一、知识要点4：利用列方程求线段的长

例4：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ D

12

A

D

图4

B

C C

A

E

B

如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点） 练一练 的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D

的距离相等，求商店与车站之间的距离．

二、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题

例5：如图，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗?

A

一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.

练一练

今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的 长度为2cm，则这玻璃杯的形状是 体.

B C 三、课后巩固练习

（一）填空选择

1、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .

2、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm2．

3、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm．

AB

（二）解答题

1、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一

222点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．

13

2,有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

3、如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）

教学反思

本节课主要复习用勾股定理及逆定理的简单应用,从练习情况看,大部分同学掌握较好.

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