概率论第二版第1、2章习题解答

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率．

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则

11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C100?C993963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．

解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．

解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则P(A)?0.55，P(B)?0.65，

)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有 P(A)?P(B?2P(，A B

11P(AB)?[P(A)?P(B)]?(0.55?0.65)?0.4，

33即同时订两种报的住户占百分之四十．

5．从0~9十个数字中任取三个不同的数字，求：三个数字中不含0或5 的概率．

解 设A={不含数字0}，B={不含数字5}，则所求概率为P(A?B)．

333C9C9C814P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?3?3?3?．

C10C10C10156．10把钥匙中有3把能打开一把锁，现任取两把，求能打开锁的概率． 解 设A={任取两把钥匙，能打开锁}，利用对立事件，有

2C778P(A)?1?P(A)?1?2?1??．

C1015157．一盒中有10只蓝色球， 5只红色球，现一个个的全部取出．求第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球的概率．

解 设A={第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球}，则

1131C10A13C910?9?13!3P(A)???． 15A1515!78．把12枚硬币任意投入三只盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率． 解 设A={第一只盒子中没有硬币}，则

212?2?P(A)?12???．

3?3?9．把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中，每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的．求第一个盒子恰有2个球的概率．

解 设A={第一个盒子中恰有2个球}，则

2C7?35P(A)??0.311． 7412

10．从5副不同的手套中任意取4只手套，求其中至少有两只手套配成1副的概率．

解 设A={至少有两只手套配成1副 }，则

1111C54?C2?C2?C2?C213． P(A)?1?P(A)?1??4C102112112C5C4CC2?2C513或 P(A)??． 4C102111．一副没有王牌的扑克牌共52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张牌花色各异；（2）四张牌中只有两种花色；（3）四张牌中有三种花色．

解 设A={四张牌花色各异}，B={四张牌中只有两种花色}，C={四张牌中有三种花色}，则

1111C13?C13?C13?C13P(A)??0.105 5， 4C52222113C4(C13?C13?C2?C13?C13)P(B)??0.299 6， 4C5231211C4?C3?C13?C13?C13P(C)??0.584 3． 4C5212．掷三枚均匀的骰子，已知它们出现的点数各不相同，求其中有一枚骰子的点数为4的概率．

解 设A={其中有一枚骰子的点数为4 }，则

111C3CC43?5?41P(A)?15??． 11C6C5C46?5?4213．一间宿舍内住有8位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率．

解 设A={至少有2个人的生日在同一个月份}，则

8C12?8!P(A)?1?P(A)?1??0.954．

12814．四个人参加聚会，由于下雨他们各带一把雨伞．聚会结束时每人各取走一把雨伞，求他们都没拿到自己雨伞的概率．

解 设Ai={第i个人拿到自己的雨伞 }，B={四个人都没有拿到自己的雨伞 }，则

P(B)?P(A1A2A3A4)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A?A4)

?1?[1?1113??]?． 2!3!4!815．有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中．求：（1）四个人都分配到不同房间的概率；（2）有三个人分配到同一房间的概率．

解 设A={四个人分配到不同房间}，B={四个人中有三个人分配到同一房间}，则

4C6?4!5P(A)??，

6418311C4?C6?C55P(B)??． 465416．一袋中有n个黑球和2个白球，现从袋中随机取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率．

解 设A={第k次和第k+1次都取到到黑球}，则

11Cn?Cnn(n?1)?1?n!． P(A)??(n?2)!(n?2)(n?1)17．n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 解 设A={甲、乙两人相邻而坐}，则

P(A)?2(n?2)!2?．

(n?1)!(n?1)

18．6个人各带一把铁锹参加植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹继续劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率．

解 设Ai={第i个人拿到自己的铁锹 }，B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 }，则

P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5A6)?P(A1?A2?A?A4?A5?A6)

?1?1111191??????0.632． 2!3!4!5!6!14419．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待的概率．

解 设x,y分别为甲，乙两船到达码头的时间，设A={一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待}．故样本空间??{(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}， A发生的等价条件为“x≤y≤x?1”或“y≤x≤y?2”， 令 D?{(x,y)(≤x≤y，?x?1)≤(y≤x?y2),x(?y,?) }则样本空间的面积 S??24?24?5， 7611且区域D的面积 SD?242??232??222?69.5，

22则 P(A)?SD?0.12．0 7 S?20．平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l(l?d)的针，求针与平行线相交的概率．

解 以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离，针与其所夹角为?，则

?d?样本空间???(x,?)0≤x≤,0≤?≤??，事件A={针与平行线相交}发生的等

2??

A?B,B?A?BA，

p?P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94． （1）P{仪器全部能出厂}?pn?0.94n；

n?2n?2n?2（2）P{恰有两台不能出厂}?Cnp(1?p)2?Cn0.94n?20.062；

（2）P{至少两台不能出厂}

11?1?[pn?Cn(1?p)pn?1]?1?0.94n?Cn0.06?0.94n?1．

9． 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率．

（1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图1．4．1）．

解 设C为系统正常工作，利用独立性有

（1） 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作：

55P(C)?C5p?p5；

（2）当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作：

P(C)?1?(1?p)5；

（3）记中间的元件为A5，左面两个元件分别为A1,A3，右面两个元件为

A2,A4。当A5正常工作时，相当于A1,A3并联，与A2,A4并联电路再串联而得；当A5失效时，相当于A1,A2串联，与A3,A4串联电路进行并联而得．则

P(C)?P(A5)P(C|A5)?P(A5)P(C|A5)．

P(C|A5)?P[(A1?A3)?(A2?A4)]?[1?(1?p)2]2； P(C|A5)?P[(A1A2)?(A3A4)]?1?(1?p2)2；

故 P(C)?P(5A)P(C5|A?)222 (pP|A)?[?12(1p?)?]?115(A)P(C5?)

2 ?2p5?5p4?2p3?2p．

10． 已知一条昆虫生产n个卵的概率为

pn??nn!e??,(n?0,1,2,?,??0)，

设一个虫卵孵化为成虫的概率为p(0?p?1)． 若卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有k条成虫的概率．

解 设Bk={昆虫的下一代有k条成虫}，An={昆虫共生产n个卵}，

n?0,1,2,?，注意到独立性，

kkn?k当n?k时，P(Bk|An)?0；当n≥k时，P(Bk|An)?Cnpq,(q?1?p)．

??P(Bk)??P(An)P(Bk|An)??P(An)P(Bk|An)

n?0n?k??n?k??nn!e???n!pkqn?k

k!(n?k)!(?p)k??p?(?q)n?k??q(?p)k??p?e?e?e,(k?0,1,2,?)．

k!(n?k)!k!n?k

第2章 随机变量及其分布

习 题2.1

1． 设随机变量X的分布列为P(X?k)?k6,(k?1,2,3)，求 P(X?2)；

P(X≤3)；P(1.5≤X≤2.5)．

解 P(X?2)?P(X?3)?31?； 62

?PX(? P(X≤3)123?2P)X?(?3?)??；

66621P(1.5≤X≤2.5)?P(X?2)??．

63?1)PX?(14． 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量X表示取到的次品数，试写出X的分布列及分布函数．

解 X取值0,1,2，且

211C7C7?C3C32177P(X?0)?2?,P(X?1)??,P(X?2)?2?， 2C1015C1015C1015 0 1 ? X的分布列为 ???．

7/15 7/15 1/15??分布函数F(x)?P(X≤x)， 当x?0时，P(X≤x)?0，

当0≤x?1时，P(X≤x)?P(X?0)?7， 1514， 15当1≤x?2时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?当2≤x时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?1，

x?0?0?7150≤x?1?故分布函数为 F(x)??．

?14151≤x?2?x≥2?1,6． 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参加志愿服务的人数，求X的分布列．

解 记p?P{一人选中周五参加志愿服务}，q?P{一人没有选中周五参加

112C4C12C43志愿服务}，则p?2?,q?2?．

C55C55X为这三人周五参加志愿服务的人数，则X取值为0，1，2，3．且

327541121232P(X?0)?C30p0q3?()3?pq?C3()()?，P(X?1)?C3，

512555125233628330P(X?2)?C32p2q1?C32()2()?pq?()3?，P(X?3)?C3．

551255125所以X的分布列为

? 0 1 2 3???． 27/125 54/125 36/125 8/125??7. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4和0.5．求（1）二人投篮总次数Z的概率分布；（2）甲投篮次数X的概率分布；（3）乙投篮次数Y的概率分布．

解 （1）若Z?2k?1(k?1,2,?)：表示第2k?1次甲命中，前2k?2次甲、乙各投篮k?1次均未命中．则

P{Z?2k?1}?(1?0.4)k?1?(1?0.5)k?1?0.4?0.4?0.3k?1，

若Z?2k(k?1,2,?)：表示第2k次乙命中，前2k?1次甲投篮k次均未命中乙投篮k?1次均未命中。则

P{Z?2k}?(1?0.4)k?(1?0.5)k?1?0.5?0.3k．

即二人投篮总次数Z的概率分布为

k?1??P{Z?2k?1}?0.4?0.3(k?1,2,?)． ?k??P{Z?2k}?0.3（2）甲投篮次数X的取值为1,2,?，且事件{X?k}包含两种情况：（a）第k次甲命中，前面甲、乙各投篮k?1次均未命中；（b）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮k?1次均未命中．则

k?1 P{X?k}?(1?0.4)??(1k?10.5?)?0.?4k?1(1?0.?4k) ?0.5)(10.5k?1?0.3 ?0.7

即甲投篮次数X的概率分布为P{X?k}?0.7?0.3k?1,(k?1,2,?)．

（3）乙投篮次数Y的取值为0,1,2,?，且事件{Y?k}(k≥1)包含两种情况：（a）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮k?1次均未命中；（b）第k?1次甲命中，前面甲、乙各投篮k次均未命中．则

P{Y?0}?0.4

k P{Y?k}?(1?0.4?)?(1k?10.5?)?0.?5k(1?0.?4k) ?(10.5)0.4k?0. ?1.4 3?P{Y?0}?0.4,即乙投篮次数Y的概率分布为?． k?P{Y?k}?01.4?0.3,(k?1,2,?)?ae?2x, x≥0；?9． 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求（1）常数a；（2）　??0,　　x?0.P(X?3)．

解 （1）由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有

??0?所以a?2．

??01ae?2xdx?a?(?)e?2x2?????a?1， 2（2）P(X?3)??3f(x)dx??2e?2xdx?e?6．

32?, a?x???；?10． 设随机变量X的密度函数为f(x)???(1?x2)，求常

?0, x≤a.?数a的值，如果P(a?X?b)?0.5，求b的值．

解 由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有

??a???a22dx??arctanx2?(1?x)??2??(?arctana)?1， ?2

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