专题01 质数那些事（含答案）

专题01

阅读与思考

质数那些事

一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：

?单位1?正整数?质数

?合数?关于质数、合数有下列重要性质：

1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．

3．若质数p|ab，则必有p|a或p|b．

4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：

k12ikN= P1?P2???Pk，Pi为质数，ai为非负数(=1，2，3，?，)． 1P2?Pk，其中Paaa1正整数N的正约数的个数为(1＋a1)(1＋a1)?(1＋a1)，所有正约数的和为(1＋P1＋?＋P21)(1＋Pak＋?＋P22)?(1＋Pk＋?＋Pk)．

aa

例题与求解

【例1】已知三个质数a，b，c满足a＋b＋c＋abc=99，那么a?b?b?c?c?a的值等于_________________．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a，b，c的值．

35【例2】若p为质数，p＋5仍为质数，则p＋7为( )

A．质数 B．可为质数，也可为合数 C．合数 D．既不是质数，也不是合数

(湖北省黄冈市竞赛试题)

解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．

【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

(上海市竞赛试题)

解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．

【例4】⑴ 将1，2，?，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．

⑵ 若n是大于2的正整数，求证：2－1与2＋1中至多有一个质数．

⑶ 求360的所有正约数的倒数和．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2－1与2＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．

【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且

nnnn112??，求x＋y的值． xyp解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x?tp．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．

【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，?都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．

(青少年国际城市邀请赛试题)

解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．

能力训练

A级

221．若a，b，c，d为整数，a?b???c2?d2?=1997，则a2?b2?c2?d2=________．

2．在1，2，3，?，n这个n自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)=__________．

3．设a，b为自然数，满足1176a=b，则a的最小值为__________．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知p是质数，并且p6＋3也是质数，则p11－48的值为____________．

(北京市竞赛试题) )

35．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( A．4 B．8 C．12 D．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

(“希望杯”邀请赛试题)

7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )

A．1个 B．3 个 C．5个 D．6 个

(“希望杯”邀请赛试题)

8．设p，q，r都是质数，并且p＋q=r，p

9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．

(上海市竞赛试题)

10．在黑板上写出下面的数2，3，4，?，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．

(五城市联赛试题)

11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块，若选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是正整数，且(x，y)=1，试问这块地有多少平方米？

(湖北省荆州市竞赛试题)

B级

1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________．

pp?qq2．已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=m＋n，q=m×n，则nm?nm的值为__________．

3．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2 000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大值为__________，最小值为____________．

(“五羊杯”竞赛试题)

4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

5．若a，b均为质数，且满足a＋b=2 089，则49b－a=_________． A．0

B．2 007 C．2 008 D．2 010

(“五羊杯”竞赛试题)

2211

6．设a为质数，并且7a＋8和8a＋7也都为质数，记x=77a＋8，y=88a＋7，则在以下情形中，必定成立的是( )

A．x，y都是质数 C．x，y一个是质数，一个是合数

B．x，y都是合数

D．对不同的a，以上皆可能出现

(江西省竞赛试题)

7．设a，b，c，d是自然数，并且a?b?c?d，求证：a＋b＋c＋d一定是合数．

(北京市竞赛试题)

2222

8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： ⑴ 6个数中任意两个都互质；

⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．

9．已知正整数p，q都是质数，并且7p＋q与pq＋11也都是质数，试求pq?qp的值．

(湖北省荆州市竞赛试题)

10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，?，40，41这41个自然数，问：

(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．

专题01 质数那些事

例1 34 例2 C

例3 3符合要求 提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k

＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意． 例4 （1）因1＋2＋?＋2004=

1×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这20042个数的顺序，所得数都有3这个约数．

（2）因n是大于2的正整数，则2－1≥7，2－1、2、2＋1是不小于7的三个连续的正整数，

其中必有一个被3整除，但3不整除2，故2－1与2＋1中至多有一个数是质数．

nnnnnnn

（3）设正整数a的所有正约数之和为b，d1，d2，d3，?，dn为a的正约数从小到大的排列，

于是d1=1，dn=a．由于S?1111中各分数分母的最小公倍数dn=a，故???????d1d2d3dnS=

dndn?1dd?d2????dnb2332=，而a=360=2?3?5，故b=（1＋2＋2＋2）×（1?????1=1adndndndn2＋3＋3）×（1＋5）=1170．例5 由

b11701==3． a3604x?y22xy=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故pxyptp为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，2t?1p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=

p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则

x?y2=，pxy2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=因数p．令x=ap，ay=

p?x?y?必有某数含

2ap?yap，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p22a?12p?1p?1p?p?1?p?p?1?p?1?p?1??p=是质数，则2a－1=p，a=，故x=，∴x＋y=＋=。 222222例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为k0=7931，k`=1793，k2=9137，k3=7913，

k4=7193，k5=1937，k6=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整数： N0?C1C2???Cn?47931=LL?104?k0， N1?C1C2???Cn?41793=LL?10?k1， ?

N6?C1C2???Cn?47139=LL?104?k6，

其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．

4A级

1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B

8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又

是偶数，则p=2．

9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，?，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，?，

11的倍数即可．

10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，

3），（4，5），（6，7），?，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数． 11．设这块地面积为S，则S=nx=（n＋124）y2． ∴nx2?y2=124y2 ∵x＞y （x，y）=1

∴（x，y2）=1 （x2?y2，y2）=1 得x2?y2｜124 ∵124=2×31，x?y=（x＋y）（x－y） ∴?22??222?x?y?31?x?y?62，或?

?x?y?1?x?y?2∴??x?16?x?32，或?（舍）

?y?15?y?30124y2此时n=2=900．

x?y2∴S=nx=900×16=230400cm=23．04m。

2222B级

1．19或25 2．

31 提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q． 33．133 23 4．2001

5．B 提示：唯有a=2，b=2089－2=2089－2048=41是质数，符合题意．

6．A 提示：当a=3时，符合题意；当a≠3时，a被3处余1，设a=3n＋1，则7a＋8=21n＋15，

8a＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3． 7．a－a，b－b，c－c，d－d都是偶数，即M=a?b?c?d22222222222222222211?2222?－（a＋b＋c＋d）是偶数．因

??2222为a?b=c?d，所以a?b?c?d=2（a?b）是偶数，从而有a＋b＋c＋d=a?b?c?d－M=2（a?b）－M，它 一定是偶数，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是个合数．

8．取六个数ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1 (i＝1，2，?，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一个因子，但从a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质．

9．由pq＋11＞11且pq＋11是质数知，pq＋11必为正奇数，从而p＝2或q＝2． (1)若p＝2，此时7p＋q及2q＋11均为质数．设q＝3k＋1，则q＋14＝3(k＋5)不是质数；设q＝3k＋2，则2q＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q＝3．

(2)若q＝2，此时7p＋q与2p＋11均为质数，设p＝3k＋1，则7p＋2＝3(7k＋3)不是质数；设p＝3k＋2，则2p＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p＝3． 综合(1)，(2)知p＝3，q＝2 或p＝2，q＝3，所以pq十qp ＝17．

10．(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，?，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，?，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求．

(2)不能办到 提示：若把1，2，3，?，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，

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