高等数学教案ch多元函数的基本概念

§8? 1 多元函数的基本概念

一、平面点集 n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道? 当在平面上引入了一个直角坐标系后? 平面上的点P与有序二元实数组(x? y)之间就建立了一一对应? 于是? 我们常把有序实数组(x? y)与平面上的点P视作是等同的? 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面?

二元的序实数组(x? y)的全体? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐标平面? 坐标平面上具有某种性质P的点的集合? 称为平面点集? 记作 E?{(x? y)| (x? y)具有性质P}?

例如? 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C?{(x? y)| x2?y2?r2}?

如果我们以点P表示(x? y)? 以|OP|表示点P到原点O的距离? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?

邻域?

设P0(x0? y0)是xOy平面上的一个点? ?是某一正数? 与点P0(x0? y0)距离小于?的点P (x? y)的全体? 称为点P0的?邻域? 记为U (P0? ??? 即

22 U(P0,?)?{(x, y)| (x?x0)?(y?y0)?? }? 0,?)?{P| |PP0|??}或U(P 邻域的几何意义? U (P0? ?)表示xOy平面上以点P0(x0? y0)为中心、? >0为半径的圆的内部的点P (x? y)的全体? ?

点P0的去心?邻域? 记作U(P0, ?)? 即 U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?

注? 如果不需要强调邻域的半径?? 则用U (P0)表示点P0的某个邻域? 点P0的去心邻域记作U(P0)?

点与点集之间的关系?

任意一点P?R2与任意一个点集E?R2之间必有以下三种关系中的一种? (1)内点? 如果存在点P的某一邻域U(P)? 使得U(P)?E? 则称P为E的内点? (2)外点? 如果存在点P的某个邻域U(P)? 使得U(P)?E??? 则称P为E的外点?

(3)边界点? 如果点P的任一邻域内既有属于E的点? 也有不属于E的点? 则称P点为E的边点?

E的边界点的全体? 称为E的边界? 记作?E?

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??? E的内点必属于E? E的外点必定不属于E? 而E的边界点可能属于E? 也可能不属于E ?

聚点? 如果对于任意给定的??0? 点P的去心邻域U(P,?)内总有E中的点? 则称P是E的聚点?

由聚点的定义可知? 点集E的聚点P本身? 可以属于E? 也可能不属于E ? 例如? 设平面点集

E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

满足1?x2?y2?2的一切点(x? y)都是E的内点? 满足x2?y2?1的一切点(x? y)都是E的边界点? 它们都不属于E? 满足x2?y2?2的一切点(x? y)也是E的边界点? 它们都属于E? 点集E以及它的界边?E上的一切点都是E的聚点? 开集? 如果点集E 的点都是内点? 则称E为开集? 闭集? 如果点集的余集E c为开集? 则称E为闭集? 开集的例子? E?{(x? y)|1

集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非开集? 也非闭集?

连通性? 如果点集E内任何两点? 都可用折线连结起来? 且该折线上的点都属于E? 则称E为连通集?

区域(或开区域)? 连通的开集称为区域或开区域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}? 闭区域? 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 对于平面点集E? 如果存在某一正数r? 使得 E?U(O? r)? 其中O是坐标原点? 则称E为有界点集?

无界集? 一个集合如果不是有界集? 就称这集合为无界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界闭区域? 集合{(x? y)| x?y?1}是无界开区域? 集合{(x? y)| x?y?1}是无界闭区域? 2? n维空间

设n为取定的一个自然数? 我们用Rn表示n元有序数组(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全体所构成的集合? 即

Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}?

Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有时也用单个字母x来表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 当所有的xi (i?1? 2? ?????? n)都为零时? 称这样的元素为Rn中的零元? 记为0或O ? 在解析几何中? 通过直角坐标? R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量? xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量? 特别地? Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量?

为了在集合Rn中的元素之间建立联系? 在Rn中定义线性运算如下?

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? 设x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)为Rn中任意两个元素? ??R? 规定 x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)? 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间?

Rn中点x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和点 y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)间的距离? 记作?(x? y)? 规定 ?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2?

显然? n?1? 2? 3时? 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至?

Rn中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)与零元0之间的距离?(x? 0)记作||x||(在R1、R2、R3中? 通常将||x||记作|x|)? 即

22 ||x||?x12?x2? ? ? ? ? xn采用这一记号? 结合向量的线性运算? 便得

||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)?

在n维空间Rn中定义了距离以后? 就可以定义Rn中变元的极限? 设x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? 如果

||x?a||?0?

则称变元x在Rn中趋于固定元a? 记作x?a ? 显然?

x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ?

在Rn中线性运算和距离的引入? 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)维空间中来? 例如?

设a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? ?是某一正数? 则n维空间内的点集 U(a? ?)?{x| x? Rn? ?(x? a)??}

就定义为Rn中点a的?邻域? 以邻域为基础? 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点? 以及开集、闭集、区域等一系列概念? 二? 多元函数概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系 V ??r2h??

这里? 当r、h在集合{(r ? h) | r>0? h>0}内取定一对值(r ? h)时? V对应的值就随之确定??

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

RT P???

V第 3 页 共 8 页

其中R为常数? 这里? 当V、T在集合{(V ?T) | V>0? T>0}内取定一对值(V? T)时? p的对应值就随之确定?

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻? 由电学知道? 它们之间具有关系 R?R1R2? R1?R2这里? 当R1、R2在集合{( R1? R2) | R1>0? R2>0}内取定一对值( R1 ? R2)时? R的对应值就随之确定? ?

定义1 设D是R2的一个非空子集? 称映射f ? D?R为定义在D上的二元函数? 通常记为

z?f(x? y)? (x? y)?D (或z?f(P)? P?D)

其中点集D称为该函数的定义域? x? y称为自变量? z称为因变量?

上述定义中? 与自变量x、y的一对值(x? y)相对应的因变量z的值? 也称为f在点(x? y)处的函数值? 记作f(x? y)? 即z?f(x? y)? 值域? f(D)?{z| z?f(x? y)? (x? y)?D}?

函数的其它符号? z?z(x? y)? z?g(x? y)等?

类似地可定义三元函数u?f(x? y? z)? (x? y? z)?D以及三元以上的函数?

一般地? 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D? 映射f ? D?R就称为定义在D上的n元函数? 通常记为

u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)? (x1? x2? ? ? ? ? xn)?D? 或简记为

u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D? 也可记为

u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

关于函数定义域的约定? 在一般地讨论用算式表达的多元函数u?f(x)时? 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域? 因而? 对这类函数? 它的定义域不再特别标出? 例如?

函数z?ln(x?y)的定义域为{(x? y)|x?y>0}(无界开区域)?

函数z?arcsin(x2?y2)的定义域为{(x? y)|x2?y2?1}(有界闭区域)?

二元函数的图形? 点集{(x? y? z)|z?f(x? y)? (x? y)?D}称为二元函数z?f(x? y)的图形? 二元函数的图形是一张曲面?

例如 z?ax?by?c是一张平面? 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面?

三? 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的过程中? 对应的函数

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值f(x? y)无限接近于一个确定的常数A? 则称A是函数f(x? y)当(x? y)?(x0? y0)时的极限?

定义2 设二元函数f(P)?f(x? y)的定义域为D? P0(x0? y0)是D的聚点? 如果存在常数A? 对于任意给定的正数?总存在正数?? 使得当P(x,y)?D?U(P0,?)时? 都有 |f(P)?A|?|f(x? y)?A|??

成立? 则称常数A为函数f(x? y)当(x? y)?(x0? y0)时的极限? 记为

(x,y)?(x0,y0)?limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A ((x? y)?(x0? y0))?

也记作 limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)?

P?P0 上述定义的极限也称为二重极限?

1 例4. 设f(x,y)?(x2?y2)sin22? 求证limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x?y 证 因为

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin212?0| ?|x2?y2|?|sin212| ?x2?y2?

x?yx?y可见?? >0? 取???? 则当 0?(x?0)2?(y?0)2??? 即P(x,y)?D?U(O,?)时? 总有

|f(x? y)?0|???

因此

(x,y)?(0,0)?limf(x,y)?0?

必须注意? ?

(1)二重极限存在? 是指P以任何方式趋于P0时? 函数都无限接近于A?

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时? 函数趋于不同的值? 则函数的极限不存在?

?xy x2?y2?0? 讨论? 函数f(x,y)??x2?y2在点(0? 0)有无极限？ ?

?x2?y2?0?0 提示? 当点P(x? y)沿x轴趋于点(0? 0)时?

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0第 5 页 共 8 页

当点P(x? y)沿y轴趋于点(0? 0)时?

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0当点P (x? y)沿直线y?kx有

2xykxk??lim?lim?(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2 y?kx因此? 函数f(x? y)在(0? 0)处无极限?

极限概念的推广? 多元函数的极限?

多元函数的极限运算法则? 与一元函数的情况类似? 例5 求

sin(xy)? x(x,y)?(0,2)lim 解?

sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limy?1?2?2? xxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim 四? 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)?f (x? y)的定义域为D? P0(x0? y0)为D的聚点? 且P0?D ?

如果

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)?

则称函数f (x? y)在点P0(x0? y0)连续?

如果函数f (x? y)在D的每一点都连续? 那么就称函数f (x? y)在D上连续? 或者称f (x? y)是D上的连续函数?

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去? 例6设f(x,y)?sin x? 证明f(x? y)是R2上的连续函数?

证 设P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0处连续? 故???0? 当|x?x0|??时? 有 |sin x?sin x0|???

以上述?作P0的?邻域U(P0? ?)? 则当P(x? y)?U(P0? ?)时? 显然 |f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???

即f(x? y)?sin x在点P0(x0? y0) 连续? 由P0的任意性知? sin x作为x? y的二元函数在R2上连续?

证 对于任意的P0(x0? y0)?R2? 因为

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?(x,y)?(x0,y0)limsinx?sinx0?f(x0,y0)?

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所以函数f(x,y)?sin x在点P0(x0? y0)连续? 由P0的任意性知? sin x作为x? y的二元函数在R2上连续?

类似的讨论可知? 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时? 它们在各自的定义域内都是连续的?

定义4设函数f(x? y)的定义域为D? P0(x0? y0)是D的聚点? 如果函数f(x? y)在点P0(x0? y0)不连续? 则称P0(x0? y0)为函数f(x? y)的间断点?

?xy x2?y2?0? 例如：函数f(x,y)??x2?y2?

?x2?y2?0?0 其定义域D?R2? O(0? 0)是D的聚点? f(x? y)当(x? y)?(0? 0)时的极限不存在? 所以点

O(0? 0)是该函数的一个间断点?

又如? 函数z?sin212? 其定义域为D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圆周C?{(x?

x?y?1y)|x2?y2?1}上的点都是D的聚点? 而f(x? y)在C上没有定义? 当然f(x? y)在C上各点都不连续? 所以圆周C上各点都是该函数的间断点? 注? 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点?

可以证明? 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数? 连续函数的商在分母不为零处仍连续? 多元连续函数的复合函数也是连续函数?

多元初等函数? 与一元初等函数类似? 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数? 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的?

x?x2?y2x2?y2?z2 例如? sin(x?y)? 都是多元初等函数? e1?y2 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的? 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域?

由多元连续函数的连续性? 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限? 而该点又在此函数的定义区域内? 则limf(P)?f(P0)?

p?p0 例7 求

x?y? ?

(x,y)?(1,2)xylim 解? 函数f(x,y)?x?y是初等函数? 它的定义域为：D?{(x? y)|x?0? y?0}? xyP0(1? 2)为D的内点? 故存在P0的某一邻域U(P0)?D? 而任何邻域都是区域? 所以U(P0)是f(x? y)的一个定义区域? 因此

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limf(x,y)?f(1,2)?3?

2(x,y)?(1,2)P?P0 一般地? 求limf(P)时? 如果f(P)是初等函数? 且P0是f(P)的定义域的内点? 则f(P)在点P0处连续? 于是 limf(P)?f(P0)?

P?P0 例8 求

(x,y)?(0, 0)limxy?1?1? xy 解?

(x,y)?(0, 0)limxy?1?1(xy?1?1)(xy?1?1)1?lim?1? ?lim(x,y)?(0, 0)xy?1?12xy(x,y)?(0, 0)xy(xy?1?1) 多元连续函数的性质?

性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数? 必定

在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

性质1就是说? 若f(P)在有界闭区域D上连续? 则必定存在常数M?0? 使得对一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}?

性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值?

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