九年级数学下册 教学参考资料【教案】

初 中 数 学 教 学 参 考 材 料 【九 年 级 第 二 学 期】

编者的话

九年级第二学期数学课本（试验本），正在“课改”基地学校进行第一轮教学试验。为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写组人员编写了本册课本的教学参考材料。这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。

初中数学教材编写组

第一部分 课本概述

九年级第二学期数学课本（以下简称本册课本），含“圆与正多边形”、“统计初步”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。

本册课本的编写，基本依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。从六年级到九年级第一学期的数学内容中，已经建立了“实数知识基础”、“初等代数知识基础”，完成了“初等代数函数”的基础性研究；而本册的两章内容，使得初中数学中关于平面几何基础知识系统的构建基本完善，关于概率与统计初步知识的介绍告一段落，初中阶段的数学基本内容到此结束。

具体编写本册课本时，力求正确把握教学基本要求，注重基础，注意加强数学与现实的联系。同时强调，要在继承一期数学课改教材编写的积极成果及经验的基础上，进行改革和创新；要保持前面几册数学课本的编写特点，关注学生学习数学的过程，改善内容呈现方式。

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第二十六章“圆与正多边形”， 主要内容包括“圆的基本性质”、“直线与圆、圆与圆的位置关系”、“正多边形与圆”等三部分，着重于建立圆的知识基础和展现关于圆的研究的基本方法。而对圆的深入研究，如涉及圆的切线的判定定理和性质定理、两圆的公切线、与圆有关的角和线段等的内容，安排在拓展II中“直线与圆”一章。

第二十六章内容的编排，首先是在六年级直观认识圆、弧、圆心角的基础上，讨论圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；以圆的对称性为认识起点，引进垂径定理；在学习活动中，展示实验、归纳、证明的过程。然后通过操作实验，引出直线与圆相离、相切、相交等位置关系；利用圆心到直线的距离与半径之间的数量关系，描述直线与圆的位置关系；并引进切线、割线的概念，主要通过有关数量关系进行判断；引进圆的切线的判定定理，主要用于解决画圆的切线的问题。再通过圆的运动，引出圆与圆相离、相切、相交等位置关系；利用两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，描述圆与圆的位置关系。另外，还讨论了关于正多边形的有关概念以及正多边形的基本性质，主要涉及正多边形及其中心、中心角、半径、边心距等概念，以及在正三角形、正方形、正六边形中，认识联结有关概念的基本图形，运用解直角三角形的方法解决一些简单的问题。

第二十七章“统计初步”，主要内容是统计的意义和基本的统计量。在回顾、整理已经学过的数据处理方法的基础上，通过实例，解说统计的意义，引进表示一组数据的平均水平、波动程度、分布情况的量，并用于解决或解释简单的实际问题。本章注重关于实例的讨论和分析，控制理论难度，突出统计的基本思想和方法。

第二十七章内容的编排，首先是对学生已学过的列表和画折线图、条形图、扇形图等整理数据的方法进行回顾，帮助学生加深认识并掌握有关数据处理的基本方法。然后通过举例，说明统计的意义以及利用统计图表获取信息的方法，简明地显示统计的作用。有关统计量以及直方图的内容，保持一期数学课本中构建的框架，着重于调整例题，使内容有新的气息；注意用有关知识解决和解释简单的实际问题，促进学生增强统计意识。

本册内容的呈现，主要采用“过程模式”，通过“问题——活动”的安排，引导学生探索求知。课本中保持有“问题”、“思考”、“操作”、“想一想”、“议一

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议”、“试一试”等栏目，有边款点拨、方框解说等版式，以指导学生开展数学活动，帮助学生把握重点和释疑解难，促进学生生动、活泼、主动地学习，深入地思考。

在各章的末尾，配备有“阅读材料”或“探究活动”。如：“怎样用尺规作正五边形”、“统计图各有奥妙”的阅读材料，重在引导学生进行学习过程的反思和经验总结，了解知识的运用；“生活中的一个覆盖问题”的活动安排，旨在加强数学实践和应用，让学生体会数学与现实的联系。

数学练习部分中的习题安排，重视基本训练，也有一些开放性问题、探究性问题、实践性问题等；注意训练要求分层，有统一性也有多样性。“试一试”栏目下的题目，一般有较高的难度，这样的题目不要求所有学生都去做，主要提供给有学习兴趣的学生进行研究和讨论，进一步培养学生的探究意识和钻研精神，满足不同学生的学习需要。

本册课本的教学内容总量，按照《上海市中小学课程方案（试行本）》规定的课时数进行控制。以每周的数学课3节计算，本册课本的教学课时数有27节；现在设计的教学课时24节，留有一定的机动余地。具体的教学计划和进度，由教师根据学校和学生的实际情况进行制定。

各章教学的课时数建议如下：

第二十六章 圆与正多边形 14课时（13+1） 第二十七章 统计初步 10课时（ 9+1）

第二部分 各章说明

第二十六章 圆与正多边形

一． 全章综述

1.教学目标

（1）了解三角形的外接圆和外心以及圆内接三角形、圆内接多边形的概念.

（2）理解圆心角，弧，弦，弦心距的概念,理解圆的旋转不变性；经历关于圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的探索过程，掌握其关系定理.

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（3）掌握垂径定理及垂径定理的推论；在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；初步会用垂径定理及其推论解决有关数学问题.

（4）掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其性质和判定方法，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点.

（5）理解相交两圆的连心线和相切两圆连心线的性质定理. （6）掌握正多形的有关概念和基本性质，会画正三、四、六边形.

2.课时安排

本章教学共14课时，建议分配如下：

26.1 圆的确定 1课时 26.2 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系 3课时 26.3 垂径定理 3课时 26.4 直线与圆的位置关系 1课时 26.5 圆与圆的位置关系 3课时 26.6 正多边形与圆 2课时 复习与小结 1课时

3.设计说明

前面关于平面几何的研究，主要以直线型图形为对象，讨论有关图形的性质以及相互关系。学生在前一阶段的学习中，经通过实验归纳、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的经验；对于图形的平移、翻折、旋转、放缩等运动以及图形变换的思想，有了一定的了解.

本章所研究的图形，是最简单的曲线——圆。圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形；同时，圆还具有旋转不变性.本章内容的编写，充分注意利用学生已有的经验，注意体现圆的特性以及论证几何的要求.例如，用翻折、旋转的方法探索圆的对称性；用旋转变换的方法探索圆心角，弧、弦、弦心距之间的关系，然后用推理证明的方法确立其相互关系定理；用轴对称变换的方法探索垂径定理及其推论，然后加以证明。关于直线与圆、圆与圆的位置关系的研究，是从图形运动切入的，通过操作、观察、分析、归纳等实验活动，形成有关位置关系的概念；然后通过对有关几何量进行数量关系分析，揭示有关位置关系的相应数量关系特征. 正多边形是特殊的多边形，它与圆有类似的特性，同样既是旋转对称图形又是轴对称图形，而且任一正多边形都有外接圆，因此将正多边形整合于圆的讨论之中。

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在一期数学课本中，有关“圆的确定”以及“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”和“垂径定理”等内容，安排为实验几何组成部分。在二期数学课本中，这些内容在论证几何范畴内，但由于它是研究曲线型图形的开端，且又适宜于运用实验方法进行探究，所以对这些内容的处理，采用了“归纳与演绎”相结合的方法，重视展现“实验—归纳—猜测—论证”的全过程。对于直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论，也是从操作、观察着手，然后进行严格的数学描述和相关的数量分析；在数学拓展II中，再进一步探讨同直线与圆、圆与圆的位置关系有关的定理。

本章的各节内容中，都涉及到分类讨论的问题。分类讨论的思想，是贯穿于本章的一种重要数学思想。本章列举了一些具有实际背景的数学问题，以激发学生的学习兴趣，同时提高学生运用数学知识解决实际问题的意识，增强解决实际问题的能力，促进学生从形象思维到抽象思维的发展。

4.教学建议

（1）注重对概念本质的理解，准确把握概念。

本章新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高。教师在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习. 例如弧、弦、圆心角、弦心距、等弧、等圆等概念的教学，可对照图形进行解说，要留给学生一定的思考空间与时间.要让学生知道，概念并不是简单的规定，而是对事物本质的一种理解和概括.另外，教学中要注意概念之间的区别和联系，如“优弧与劣弧”，“同圆与等圆”，“弓形与拱形”，“弦心距与边心距”等，这些概念之间有根本性的区别，当然也有某些共同之处，要引导学生分辨清楚.

（2）关注图形动态变化过程，尝试从定性分析到定量分析的研究方式.

本章中直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系都有操作环节，一方面是让学生进一步体验“实验---归纳---猜测---证明”的方法，另一方面让学生体验图形运动变化的过程.教师在教学中不可忽略这部分教学环节，要让学生亲自实践，感受这个过程.学生在学习了推理证明之后，不能抛弃实验归纳的方法，适时、恰当的“操作”还是需要的，有利于提高学生对问题的感性认识；同时以运动的观点，直观地揭示事物本质，有利于学生加深对知识的理解.

要引导学生学习从定量分析的角度研究几何问题.如:关于直线与圆的位置关系，以直线与圆的公共点个数来描述，可从圆心到直线距离与圆的半径之间的数量关系进行研究；关于

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两圆的位置关系，以两圆的公共点个数来描述，可从两圆圆心距、两圆半径之间的数量关系进行研究.关于直线与圆、圆与圆的位置关系的研究，可以采用类比的教学方法；在研究过程中，还要让学生进一步体会量变引起质变的观点.

（3）注重学生对于基础知识与基本技能的掌握，提高基本能力.

本章中与圆有关的概念以及圆的性质等，以及其中蕴涵的数学思想方法，是重要的基础知识；会画三角形的外接圆、平分弧、画正三角形和正四边形、正六边形，以及能运用推理方法证明圆中的有关性质及其推论等，是基本的数学技能；能运用所学的圆的知识分析和解决一些简单的实际问题，是基本的数学能力.在教学中，应注意基础知识和基本技能的落实，重视数学基本能力以及一般能力的提高.关于相交或相切的两圆连心线性质的运用、以及运用正多边形基本性质进行几何计算，要严格控制难度.切线的判定定理的运用不作要求.

（4）重视多媒体技术的运用。

要恰当运用现代多媒体技术，有效利用计算机的画图功能和动态显示功能，帮助学生正确认识几何图形的特征，促进学生从形象思维到抽象思维的发展。这引进直线与圆、圆与圆的位置关系时，可运用多媒体，向学生展示现实生活中体现它们位置关系特征的图片或形象资料，或为学生演示它们位置关系变化的动态过程。让学生在操作实践中，结合多媒体提供的材料，认识直线与圆、圆与圆的位置关系及相应的数量关系特征；再引导学生从图形运动变化中归纳其性质，并建立起性质与图形之间的联系，体会数形结合思想.

5.评价建议

(1) 关注学生学习兴趣的发展和基本要求的落实。学生在本章学习之前，虽然已经学过圆的周长、面积及弧长的计算等知识，但对于圆及圆的有关性质的系统学习是从本章开始，所以强调教学内容应平实，教学要求应扑实，既要关注以往所学知识在解决本章知识的灵活性，又要体现圆的知识在解决以往问题上的独特性。教学评价应重在学生学习兴趣的发展和基本要求的落实.

(2)关注学生思考方式的多样化。要重视对学生观察、操作、推理证明等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与度、与同学合作交流的意识，还有学生思考与表达的条理性、自主评价等.对有关概念学习的评价，应主要通过实例进行；对有关性质学习的评价应更多考查学生是否能通过具体的思考方法去理解；对有关计算的评价，应着重考查学生是否懂得基本算理.

(3)关注学生对数学思想方法以及解决数学问题的策略和方法的领会.本章中蕴含了分类讨论、类比、数形结合等数学思想方法，以及从特殊到一般、从一般到特殊、从定性讨论

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到定量分析等解决问题的策略。这些是本章教学的重要内容，是学生进一步学习数学的基础，要引导学生逐步认识，深入体会，举一反三，并采用适当的方式进行反馈.

（5）鼓励学生积极探究和实践.本章在“操作”、“思考”等栏目下安排有多种多样的数学活动，要创设条件和提供机会，让学生积极参与，并进行鼓励性评价；要指导学生利用“阅读材料”学习用尺规作正五边形，利用“探究活动”材料开展探究性学习，通过积极的评价，引导学生关心身边的数学问题，并用学到的数学知识解决问题.

二、具体说明

26．1 圆的确定（1课时）

1．教学目标

（1）知道点与圆的三种位置关系，了解三角形外心、外接圆、圆的内接三角形以及多边形的外接圆和圆的内接多边形等概念.

（2）理解点与圆的位置关系的判定方法，并能初步运用点与圆位置关系的判定方法解决有关数学问题.

（3）会画三角形的外接圆.

2．教材分析与教学建议

学生对于圆的认识，是在实验几何的学习中，知道圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形。学习点的轨迹后，明确了圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合.学生已经知道，“如果一个点到圆心的距离等于圆的半径长，那么这个点在圆上”，而对于点在圆内、点在圆外这两种点与圆的位置关系，学生只能根据图形直观进行判定(以圆周为分界线)。本节指出可以通过定量分析的方法来判断点与圆的位置关系，即根据点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系进行判断.

在研究了点与圆的位置关系之后，进而研究由平面内几个点可以确定一个圆的问题.学生已经知道经过平面上一个点、或两个点，都有无数个圆，于是提出平面内三个点是否能确定一个圆的问题.为解决这个问题，课本中采用分类讨论的方法，即分“三个点在同一直线上”及“三个点不在同一直线上”这两种情况进行讨论，再导出“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论.

在教学中，要注意以下几点：

(1)关于圆的半径，本节明确指出它是“联结圆心和圆上一点的线段”。要将半径与半径长区分开来，而以前的课本中有混用的情况，需要修改.

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(2)对于点与圆的位置关系的研究，可先进行定性讨论，再进行定量分析.在进行定量分析时,由点与圆的位置关系推出相应的“点与圆心的距离”和“圆的半径”之间的大小关系，可以理解为这是点与圆的位置关系的性质.反过来，由“点与圆心的距离”和“圆的半径”的大小关系推出相应的点与圆的位置关系，可以理解为这是点与圆的位置关系的判定.这也是“边款”中关于符号“?”的说明的真正含义.

(3)例题1是对点与圆位置关系判定方法的初步运用。教学时，要让学生理解每个小问中哪条线段的长可以看作是⊙C的半径.这是解决问题的关键.

(4)“思考”是为接下来的“问题”研究作好准备。通过思考，既让学生知道“在平面上，经过给定两点的圆有无数个”这样一个结论，又知道经过平面内给定两个点作圆的方法.

(5)在“问题”研究时，学生可能不会想到三个点在同一直线上的情况，直接得出“在平面上，经过三点的圆只有一个”错误的结论。在教学时，应指导学生仔细分析问题，对问题进行分类讨论.让学生真正理解为什么在定理中强调三个点“不在同一直线上”的条件，同时注意到经过同一直线上的三点的圆不存在.

(6)例题2是让学生学会画给定三角形的外接圆.例题有意识地安排学生画一个钝角三角形的外接圆.“边款”中也指出这个钝角三角形外接圆的圆心在这个三角形的外部.而课本中图26-5(1)的A、B、C三点其实是一个锐角三角形的顶点，所确定的圆心O是这个锐角三角形外接圆的圆心，这个圆心在三角形的内部.在练习26.1中，又安排学生画出给定的一个直角三角形的外接圆，并要指出这个外接圆圆心的位置.这种安排，是要让学生在会画出各种给定三角形的外接圆的同时，总结出不同类型的三角形的外接圆圆心的位置特点，知道“锐角三角形外接圆的圆心在这个三角形的内部”、“直角三角形外接圆的圆心是这个直角三角形斜边中点”、“钝角三角形外接圆的圆心在这个三角形的外部”这三个几何事实.

(7) 练习26.1第3题，是引起学生对四边形外接圆的思考，让学生知道任一四边形不一定存在外接圆.

3．练习答案

练习26.1 1. 图略.

2. △ABC的外接圆的圆心在斜边AB的中点位置。因为斜边AB的中点到△ABC的三个

顶点距离相等。

3. 经过不在一直线上的任意四点,不一定可以作一个圆.如：对于对角线不相等的平行

四边形，经过它的四个顶点的圆不存在；对于矩形，经过它的四个顶点可作一个圆.

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