曲线积分与曲面积分

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,b的并系是 A.a－b=0; B.a+b=0; C.a－b=1; D.a+b=1.

答( )

六、填空题（共 10 小题，）

1、设L为圆周x2 y2 2y 0，则

(y

L

4

x x5)ds _________________________。

2、设L是xoy面上圆周x2 y2 1的顺时针方向，则I1 x3ds与I2

LL

y5ds的大

小关系是___________________。 3、 4、 5、 6、 7、

8、设f(x,y)在 具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周 的顺时针方向，则 的值等于 ________________.

9、设L由y=x2及y=1所围成的区域D的正向边界，则

10、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且

则L所围成的平面闭区域D的面积等于______.

六、计算题（共 10 小题，）

1、 2、

x2 y2 z2 1

3、计算线积分xyzds，曲线L是 在第一卦限内的部分。

Lz y

3 x 2cost

4、计算 xds，其中L是星形线 经点A(2，0)，C(0，2)，B( 2 , 0)的ACB

3 L y 2sint

弧段。

5、 6、 7、 8、 9、 10、

六、证明题（共 10 小题，）

1、设L是直线试证明：

yx

1 (a b 0)介于点A（a，0）及B（0，b）间的一段： ab

a2b2a2 b2

(x

L

2

y2)a2a2 b2。

2、设L是直线3x + 4y = 12介于两坐标轴的线段，试证明：

e

93、

4、试证明：线积分的估值公式： ，其中L是光滑曲线L的长度， ，P与Q在L上连续。

5、设L为光滑的简单闭曲线，并取顺时针方向，证明L所围区域D的面积 6、设L为对称于坐标轴的任意正向光滑闭曲线，试证明：

7、设L是圆周 (x－a)2+(y－a)2=1 取逆时针方向，f(x)是恒为正的连续函数，试证： 8、设f(u)在1≤u≤4上有连续的一阶导数，域D由y=x, y=4x,xy=1与xy=4所围成，L是D的逆时针方向的边界，求证：

9、设L是正方形域D：0≤x≤1, 0≤y≤1的正向边界，f(x)是正值连续函数，试证： 10、试证：若简单闭曲线L不通过y轴(x≠0),则所围面积为

六、其它题型（共 10 小题，）

1、设有物质曲线L，在极坐标下，其方程为r = e2 。L上任一点处的线密度 = 。求从 = 0到 = 2 的曲线段的质量。

2、设曲线L的极坐标方程为r = sin 3 (0 )，其上任一点处的线密度

等于该点处的矢径的长度，求L的质量。

1

3、设曲线段L的极坐标方程为r = (0 )其中任一点处线密度为

211 4

，求该曲线的质量。

4、设曲线L的极坐标方程为r = 1－ s (0 密度为 cos

1

，求曲线L的质量。 2

2 )，已知L上任一点处的线

5、已知曲线y x2（0曲线段的质量。

6、

x1)上任一点处的线密度在数值上与该点横坐标相同，求该

7、设L是连接点A(2,0)及B(0,

332

)的直线段，x，其线密度为 2xy 求其质量。 22

8、设L是连接点A（1，0），B（2，1）及C（3，0）的折线，在L上线密度为 x2 y2，求其质量。

9、如果曲线y=lnx在每点的密度等于该点的横坐标的平方。求这曲线在横坐标为x1和x2之间的弧段的质量，(0<x1<x2)。

10、曲线的密度与它的弧长成正比，求曲线y 的质量。

2xx16

的弧从点(0，0)到点(4，)

33

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

答：(B). 2、

答：(A).

3、

4、

5、

6、

7、

答 (D) 8、

答 (A) 9、 答 (A) 10、

解答 B

六、填空题（共 10 小题，）

1、

答： 0

（L关于oy轴对称，y4x x5关于x为奇函数） 2、 答：I2 I2 （都等于0） 3、 解：

(I

4、

1

(x2 y2)ds) 2L

5、

答： I1 > I2 （由题知，1

x

3，0

y

1，故

3

y2

12

13

1

） x

注：答I

1I2 不扣分。

6、 答：0。

2

(pdx Qdy e

x2y

d(x2

y2

) 0)

7、 答：0。

(pdx Qdy exyd(xy) 0)

8、 答 6π 9、

解 0 10、 答

六、计算题（共 10 小题，）

1、

2、

3、

解：消z后，可得L的参数方程：

x cos y 1

t sint 0t

22

z 1sint

2 5

ds sin2t 12cos2t 1

2

cos2tdt dt

故

L

xyzds

2cost 10

2

sint

12

sintdt

1

6

4、

5、

x 1 t解：AB参数方程：

y t 0

t1

z 0 x 0BC参数方程：

y 1 t 0

t1

z t x tCA参数方程：

y 0 0

t1

z 1 t r

(y 2z)ds AB

BC

CA

(y 2x)ds

1t2dt 1(1 t)2dt 1

(2 2t)2dt 3 6、

7

4

6

10

10

7、 解：

2 L

(x y2)ds

2

(x2 9x2)dx

803

8、

9、 解：

L

(x2 y)ds

OA

OB

AB

(x2 y)ds

1x2dx 1ydy 1

(x2 x 1)2dx

5

6

(1 2) 10、

5 5 10

10

六、证明题（共 10 小题，）

1、

证明：线段L的长度 l a2 b2

记 f(x,y) x2 y2 (x,y)

x

a yb

1 由驻点方程

fx

fy

，得 ax = by

x

y

解得 xab2a2b

0 a2 b2y0 a2

b2 a2x b2

f0,y0a2

b2

f(a,0) a2 f(x20,y0) , f(b,0) b f(x0,y0)

故在L上f (x , y)的最大值为a2，

最小值为 a2b2

a2 b2

故

a

2b2a2

x

2

)dsa2a2 b2 b

2

L

( y2

2、

证明：记 f(x,y) x3y , (x,y) 3x 4y 12

由驻点方程

fx

fy

x y

3x2yx3

得3 4

，又 3x 4y 12 0 解 x 0 x 3

y 3或

y 3 4f(x,y) x3y 在条件 3x 4y 12 0下的

最小值为 f(4,0) f(0,3) 0 最大值为 线段长度 l = 5 9

故 e

e

x3y

e0 1

2

5

7

2

5 7

10

即 5e

9I5

9e

2

15

I 1

3、

证明：用反证法，倘若存在(x0,y0) L，使

f(x0,y0) 0，则存在 0，当x x0 时，

相应L上的一段记为L1，使当(x,y) L1时， f(x,y)

1

2

f(x0,y0) 0。从而

L

f(x,

y)ds

Lf(x

,y)ds

1

2

f(x0,y0)1

Lds

1

l1

2

f(x0,y0) 0 （l1是L1的长度）注：若(x0,y0)是L的端点，则只需x x0 改为x0 x x0

或x0 x x0则类似可证 学生不讨论此点，不扣分。 4、

10

2

4

10

5、

6、

证明：记L所围区域为D，D关于OX轴，OY轴都对称。 P

x3 ey , Q x

y3 ey y I

Q x P

D

y

dxdy

(y3 x3)dxdy D

y3dxdy

x3dxdy

D

D

0 7、

2

6

10

8、

对二重积分作变换：

9、

10、

六、其它题型（共 10 小题，）

1、 解：M

L

ds

2

e4 4e4 d

2

e2 d

5

4

(4 1) e4 1

2、

解： M

L ds

3 0

sin3 sin23 9 s23 d

(令22cos3 u)

1 22

3

2

0

u2du

2 1 u32 2 u2 12ln(u u2) 0

1

162

ln 3

2

6

2 5

7

10

10

3、 解：M

L

ds

1

21

01

4

2d aresin

12

6

4、

5、

解：M

L

x ds

1

x 4x2dx

1

1 28 2(1 4x2)3

3 0

1

12

55 1

6、

解： M

L

(xsin(x2) y2) ds

L

xsin(x2)ds L

y2 ds

(由对称性) 0

1

2 L

(x2 y2 )ds

7、

解：AB的方程：3x+4y=6 (0

x2) 在AB上， 2xy

32

x2

x

2

(4y 3x) 3x 2

6

10

2 6

10

5 8 10

2

4

ds ( 34)2dx 5

4

dx

M

L ds

2

03x54dx 15

2

8、

9、

10、 解： KS

ds (y')2dx xdx 3S

x

xdx 20

3

(1 x)

23

4

3

M L

ds

2(1 x)2

2 3

3 K xdx

2

9

k(126 105) 3

2

或 M

3(55 1)L

ds

2(5 1)0

ksds

k22

s

2

9

k(126 )0

6

10

5

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/adfi.html