2017年高考真题分类汇编（理数）专题5解析几何（解析版）

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何

13、（2017·天津）设椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物

2

线y=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

，求直线AP的方程．

14、（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分） (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点．

15、（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：点P满足

=

．

+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，

（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且

?

=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

=1（a＞b＞0）的离心率为

，焦距为

16、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2．（14分）

（Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣且看k1k2=

交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，

，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M

的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

17、（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．

18、（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别

为F1， F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线l1， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

19、（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C：

），P4（1，(1)求C的方程；

+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，

）中恰有三点在椭圆C上．（12分）

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

20、（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；

（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

答案解析部分

一、单选题

1、【答案】B 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆所以椭圆的离心率为：= 故选：B．

【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 2、【答案】B

【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆

+

=1的焦点坐标（±3，0）， + ．

=1，可得a=3，b=2，则c=

=

，

则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C：可得

﹣，即

﹣

=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

，可得= =1．

，解得a=2，b=

，

x，

所求的双曲线方程为：故选：B．

【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 3、【答案】B

【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=±

x=±x，

=

，

=

，c=

a，

则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= 则=1，c=4，则a=b=2 ∴双曲线的标准方程：故选B．

，

；

【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公

式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程． 4、【答案】A

【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小，

则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y=x﹣1， 联立方程组

2

，则y﹣4y﹣4=0，

∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|=

?|y1﹣y2|=

×

=8，

∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16， 故选：A

【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．

5、【答案】A

【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，

22

圆（x﹣2）+y=4的圆心（2，0），半径为：2，

双曲线C：﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：= ，

解得：故选：A．

2

，可得e=4，即e=2．

【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 6、【答案】A

【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质

【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离∴椭圆C的离心率e= 故选：A．

【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离得出． 二、填空题

7、【答案】2

【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线x﹣可得：解得m=2． 故答案为：2．

【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 8、【答案】[-5

，1] ，

2

=a，化为：a2=3b2． =

=

．

=a，化简即可

=1（m＞0）的离心率为，

【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用

22

【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0， y0），则有x0+y0=50，

=（﹣12﹣x0，﹣y0）?（﹣x0， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，

化为：12x0+6y0+30≤0，

即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立

，解可得x0=﹣5或x0=1，

结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5

，1]，

故答案为：[﹣5 ，1]．

【分析】根据题意，设P（x0， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 9、【答案】2

【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线所以P（，

），Q（，﹣

2

﹣y=1的右准线：x=

，双曲线渐近线方程为：y= x，

），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．

=2

．

则四边形F1PF2Q的面积是：故答案为：2

．

【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积． 10、【答案】

【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=

，

可得：= ，即，可得离心率为：e= ．

故答案为：．

【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．

11、【答案】6 【考点】抛物线的简单性质

2

【解析】【解答】解：抛物线C：y=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若

M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：|FN|=2|FM|=2 故答案为：6．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可． 12、【答案】y=±

x

=6．

，

【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合

2

【解析】【解答】解：把x=2py（p＞0）代入双曲线22222

可得：ay﹣2pby+ab=0，

=1（a＞0，b＞0），

∴yA+yB= ，

=4×

，

∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× ∴∴=

=p， ．

∴该双曲线的渐近线方程为：y=± 故答案为：y=±

x．

x．

2

【分析】把x=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与

系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出． 三、解答题

13、【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．

依题意可得，

解得a=1，c=

222

，p=2，于是b=a﹣c=

．

2

所以，椭圆的方程为x+ =1，抛物线的方程为y2=4x．

（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组

，解得点P（﹣1，﹣

），故Q（﹣1，

）．

联立方程组

22

，消去x，整理得（3m+4）y+6my=0，解得y=0，或y=﹣

．

∴B（，）．

﹣，故D（=

． ，∴

×

=

，

．

）（x+1）﹣（

，0）．

）（y﹣

）=0，

∴直线BQ的方程为（令y=0，解得x= ∴|AD|=1﹣

又∵△APD的面积为

2

整理得3m﹣2

|m|+2=0，解得|m|=

y﹣3=0，或3x﹣

，∴m=± y﹣3=0．

∴直线AP的方程为3x+

【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合

【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．

14、【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p=

2

∴y=x，

，

∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣， （2）（2）证明：设过点（0，）的直线方程为 y=kx+

，M（x1， y1），N（x2， y2），

x， ），

∴直线OP为y=x，直线ON为：y= 由题意知A（x1， x1），B（x1，

由

22

，可得kx+（k﹣1）x+

=0，

∴x1+x2= ，x1x2=

∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =

∴A为线段BM的中点．

【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；

（2.）设过点（0，）的直线方程为y=kx+

，x1x2=

，M（x1， y1），N（x2， y2），根据韦达定理得到x1+x2=

，根据中点的定义即可证明．

15、【答案】解：（Ⅰ）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0）， 设P（x，y），由点P满足可得（x﹣x0， y）= 可得x﹣x0=0，y= 即有x0=x，y0= 代入椭圆方程

=

．

（0，y0）， y0，

， +y2=1，可得

+

=1，

22

即有点P的轨迹方程为圆x+y=2；

（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（

?即为﹣3

=1，可得（

cosα，

cosα，sinα），（0≤α＜2π）， cosα，m﹣

sinα）=1，

sinα）?（﹣3﹣msinα﹣2sin2α=1，

cosα﹣2cos2α+

解得m= ，

即有Q（﹣3，），

椭圆

+y2=1的左焦点F（﹣1，0），

由kOQ=﹣，

kPF= ，

由kOQ?kPF=﹣1，

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程

【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（

cosα，

sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，

即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．

16、【答案】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a= ，b=1．

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），

联立，得．

由题意得△=

，

＞0．

．

∴|AB|=

由题意可知圆M的半径r为 r=

．

．

由题意设知，，∴．

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