2011年数学一考研真题加答案免费

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题(含答案)

一、选择题

1.曲线y (x 1)(x 2)2(x 3)2(x 4)2拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0） 2设数列 an 单调递减，liman 0,Sn

n

无界，则幂级数 a(x 1) a(n 1,2, ）

k

k

k 1

k 1

nn

n

的

收敛域

A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]

3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x) 0,f (0) 0，则函数z f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件

Af(0) 1,f (0) 0 Bf(0) 1,f (0) 0 Cf(0) 1,f (0) 0 Df(0) 1,f (0) 0 4.设I

lnsinxdx,J lncotxdx,K lncosxdx则I、J、K的大小关系是

00

A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I

5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单

100 100 P1 111 ,P2 001 , 位矩阵。记 000 010 则A=

A P1P2 B P2P1 D P1P2 C P2P1

*T

6.设A ( 1, 2, 3, 4)是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax 0的

1 1

一个基础解系，则Ax 0的基础解系可为 A 1, 3 B 1, 2 C 1, 2, 3 D 2, 3, 4

7.设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是

Af1(x)f2(x) B2f2(x)F2(x) Cf1(x)F2(x) Df1(x)F2(x) f2(x)F1(x)

8.设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV

*

二、填空题

9.曲线y tantdt(0 x

0x

4

)的弧长s=____________

10.微分方程y y e xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数F(x,y)

xy

sint 2F

dt，则221 t x

x 0

__________

12.设L是柱面方程为x2 y2 1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时

y2

针方向，则曲线积分xzdx xdy dz ___________

2

13.若二次曲面的方程为x2 3y2 z2 2axy 2xz 2yz 4，经正交变换化为

y12 4z12 4，则a _______________

三、解答题

ln(1 x)ex 1

15求极限lim()

x 0x

16设z f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得

1

2z

极值g(1)=1,求

x y

x 1,y 1

17求方程karctanx x 0不同实根的个数，其中k为参数。 18证明：1）对任意正整数n，都有

2）设an 1

111 ln(1 ) n 1nn

11

lnn(n 1,2, ),证明{an}收敛。 2n

19已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,

f(x,y)dxdy a，其中

D

D {(x,y)0 x 1,0 y 1}，计算二重积分I xy xy(x,y)dxdy。

D

20. 1 (1,0,1)， 2 (0,1,1)， 3 (1,3,5)不能由 1 (1,a,1)， 2 (1,2,3)，

TTTTT

3 (1,3,5)T线性表出， 求a； 将 1， 2， 3由 1， 2， 3线性表出。21.A为三

11 11

阶实矩阵，R(A) 2，且A 00 00

11 11

（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A。

P(X2 Y2) 1

求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3） XY

23.设x1,x2, xn为来自正态总体N( 0, 2)的简单随机样本，其中 0已知， 0未知，

2

x和S2分别表示样本均值和样本方差。

1）求参数 的最大似然估计 2）计算E( )和D( )

口

2

口2

_

2

口2

试题答案

CCABDDDB 填空题：

9.ln(1 2) 10y e xsinx 11 4 12 13a 1 14 ( 2 2)

ln(1 x) x

)15解：原式=lim[1 (

x 0x

x1ln(1 x) x

ln(1 x) xex 1x

] e

x 0

lim

ln(1 x) xx(ex 1)

e

1

1x2

e

12

16由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以g (1) 0

z

f1 [xy,yg(x)]y f2 [xy,yg(x)]yg (x) x 2z

(xy,yg(x) g(x)f12 (xy,yg(x)] f1 [xy,yg(x)] y[xf11

x y

2z

(1,1) f12 (1,1) fx (1,1) f11

x y

17解：

令f(x) karctanx x

k 1 x2

f (x)

1 x2

(1)当k 1 0,即k 1时，f (x) 0(除去可能一点外f (x) 0),所以f(x)单调减少，又因为limf(x) ,limf(x) ,所以方程只有一个根。

x

x

（2）当k 1 0,即k 1时，由f (x) 0得x 1,

当x ( , k 1)时，f (x) 0,当x ( k 1,k 1)时，f (x) 0;当x (k 1, )时，f (x) 0，所以x k 1为极小点，x

k 1为极大点

极小值为 kk 1 k 1,极大值为karctank 1 k 1,

令k 1 t,当k 1时，t 0,令g(t) kk 1 k 1 (1 t2)arctant t,显然g(0) 0,因为g (t) 2tarctant 0,所以g(t) g(0) 0(当t 0),即kk 1 k 1 0,极小值 kk 1 k 1 0,极大值karctank 1 k 1 0,

又因为limf(x) ,limf(x) ,所以方程有三个根，分别位于

x

x

（ k 1）（, k 1,k 1)k 1， ）内。

18证明：

11111(1)f(x) ln(1 x)在[0,]应用中值定理，ln(1 ) ln(1 ) ln1

nnn1 n

1111111

0 , 1,即 ln(1 ) 1

n1 1 nn1 n

nn

1

(2)an 1 1 1/2 ln(n 1)

n 1

111

an 1 an ln(n 1) lnn ,n n 1

n 1n 1 其中an 1 an 0,an 1 an即 an 单调递减

1111

an 1 1/2 ln(1 ) (1 ) ln(1 ) lnn

n12n

n 1

ln2 ln3/2 ln lnn

nn 1

ln(n 1) lnn ln 0

n

an 单调递减有界，故收敛。

(x,y)dxdy xdx yfxy (x,y)dyI xyfxy

D

11

19.解：

1

(x,y)dy ydfx (x,y) yfxy (x,y)1 yfxy0 fx(x,y)dy,

1

1

1

1

1

11

(x,y)dy xfx (x,1)dx xdx yfx (x,y)dy于是，I xdx yfxy

xf(x,1)10 xdx yfx(x,y)dy dy xfx(x,y)dx

1

1

1

1

[ xfx(x,y)dy dy fx(x,y)dx] dy f(x,y)dx f(x,y)dxdy a

D

1

1

1111

20解：

1) 1, 2, 3

101

013 1 0115

又 1, 2, 3不能由 1， 2， 3线性表示， r( 1， 2， 3) 3,于是 1， 2， 3 0，解得a 5 10111

2)( 1, 2, 3, 1， 2， 3) 00312

11513

100210 1 2 1 4 2 3

010420 于是 2 1 2 2 0 3

001 101 0 0

123 1

1 1

3 0

05

11

113140

122

1 1 3 0

64

10

11311 1

120

1 3 1

r( 1, 2, 3) 3

21.解：

1)

1 1

令 1 0 ， 2 0 则A 1 1,A 2 2,

1 1 根据特征值向量的定义，A的特征值为 1 1, 2 1,对应的线性无关的特征向量为

1 1 1 0 ， 2 0 r(A) 2 3, A 0故 3 0

1

1

x1

T

1 3 0

令 3 x2 为矩阵A的相应于 3 0的特征向量 A为实矩阵，所以有

2T 3 0

x

3

0 1 x3 0

即 xx1 x3 0解得 1

0

1 1 0 单位化得：r 2）0 ,r2 0 ,r3 1 ,令Q （r1,r2,r3) 001231 0 1 1

100 100 001

0 1 , 0

则QTAQ 0

0 10 ,于是A Q 0

000

10 QT 000

100 00

22.解：

1)P

(X2 Y2) 1 P(X2 Y2) 0,即P(X 0,Y 1) P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0) 0

1

P(Y 1) P(X 0,Y 1) P(X 1，Y 1)

3

1

P(X 1,Y 1) ,同理如图：

3

2)Z取值为 1、0、1

1

P(XY 1) P(X 1,Y 1) ,P(XY 0) P(X 0,Y 0) P(X 0,Y 1)

3

1

P(X 0,Y 1) P(X 0,Y 1)

3

1

P(XY 1) P(X 1,Y

1)

3

3)EX

23.解：

,EY 0,EXY 0,DX ,DY , XY 0 393

i 1

(1)似然函数L f(x1)f(x2) f(xn) (xi 0)2

2 n

取对数得，lnL nln

n

n

ln 2 2

(x

i 1

n

i

0)2

2 2

0得

2 41n

2的极大似然估计值 2 (xi 0)2.

ni 1

1n1n22

(2)因为2 (xi 0)~ (n).所以E2 (xi 0)2 n

d

2

令

d

lnL

n

2

2

(x

i 1

i

0)2

2

i 1

i 1

于是E 2 D

n

2

n

E(1

1

n

2

(x

i 1i

n

i

0)2) 2,

4

n

i

D(

2

(x

i 1

0)2) 2 4

因为

(x

i 1

0)

~ (n),所以有D(

i

2

n

(x

i 1

n

i

0)

) 2n

2 2

右式 D(

2

(x

i 1

0)

2

) 2n则D(

4

n2

2/ 2) 2n) D(n 2 4

n

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