学而思讲义四年级第14讲.长度与角度综合(竞赛班)

第十四讲 长度与角度综合

长度综合:

?? 三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。 即如图：a+c>b, a-c

?? 将军饮马问题：

一位将军，从A地出发先到河边饮马，再到B地去，（如右图），问怎样走路线最短?

【分析】 以河岸直线为对称轴，做B的对称点B’，连结AB’交

河岸于C,根据三角形两边和大于第三边的性质，得知： AO+OB’>AB’=AC+CB

这说明点C是使折线ACB长度最短的点。

例6，如图∠POQ=30°，A为OP上一点，B为OQ上一点，且OA=5,OB=12,在OB上取点A1 ,在AP上取点A2, 求AA1+A1A2+A2B的最小值。

【分析】 固定点为A和B，动点为A1和A2.根据数感，给出5和12，

能够猜到答案应该是13.这引导我们去构造直角。同时，解决最基本的将军饮马问题，就是做固定点关于直线的对称点。保留线段A1A2,做线段AA1关于直线OB的对称和线段A2B关于直线OP的对称。连结A’B’

于是

AA+AA+AB

1

1

2

2

=A1A'+A1A2+A2B'≥A’B’

经过两次对称后，∠A’OB’=90°OA’=OA=5,OB’=OB=12

所以A’B’=13

所以AA1+A1A2+A2B的最小值为13.

?? 勾股定理：

直角三角形中，两直角边的平方和=斜边的平方

a

2

+b=c

22

证明勾股定理的方法很多，比较著名的有赵爽玄图和总统定理。（略）

必须记住的三对： 3、4、5 ；

5、12、13； 7、24、25

角度综合：

n边形内角和=(n?2)×180° 正n边形内角=

(n?2)n

×180°

n边形外角和=360°

必须记住的几个正多边形内角：

正三角形 60度，正方形 90度， 正五边形 108度， 正六边形 120度

证明全等的方法： 边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS

几何构造的几大思路： 平移； 旋转 ；对称；割补

?? 平移

例4 如图，对角线BD将矩形ABCD分割成两个三角形，AE和CF分别是两个三角形上的高，长度都等于6cm,EF的长度为5cm,求矩形ABCD的面积。

【分析】 给出了5，还有两个6，出现12，数感启发我们如果存在直

角三角形，斜边必为13. 于是先要构造直角。 平移AE至GF.CG=12.连结AG,AG=EF=5. 从而AC=13. BD=AC=13.所以

S

ABCD

1

=2××AE×BD=6×13=78

2

?? 旋转

能做旋转的先决条件： 有相同的长度，有固定的角度。

例7 三角形ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，P，Q为AB边上的两点。又已知

AP=3,BQ=4,∠PCQ=45°,那么PQ=？

【分析】 看到等腰直角三角形，存在相同的长度，又有固定的角

度。就该很敏感的想到可以做旋转。

将三角形APC旋转至三角形CBG, 则∠CBG=∠A=45°,则∠ABG=90°,BG=AP=3,QB=4.所以QG=5。 PQ和QG什么关系？

通过证明三角形PCQ和三角形GCQ全等，(SAS) 得到PQ=QG=5

?? 对称

例3 如图,△ABC是等腰三角形，O位于△ABC内，已知：∠CAB=96°, ∠ABO=12°, ∠OAB=18°,那么∠AOC=?

【分析】 △ABC是等腰三角形，很适合做对称。而且∠CAB=96°，当

它扣除两个∠OAB时，会出现60°。

做△AOB关于中线对称，为△ACD。AO=AD

∠OAB=∠CAD=18°,于是∠0AD=96-18-18=60°AO=AD，所以△AOD为等边三角形。 在△AOB中，∠AOB=180-12-18=150°,对称之后， ∠ADC=∠AOB=150°。所以∠ODC=360-150-60=150° 证明三角形ADC和三角形ODC全等。(SAS) 得∠DOC=∠CAD=18°,所以∠AOC=60+18=78°

【学案1】 如图，图中的四边形ABCD中，AB=BC=CD, ∠B=168°, ∠C=108°,求∠D是多少？

【分析】 看到∠C=108°，就该想到这是正五边形的内角。

于是做正五边形。同时发现又出现了个等边三角形。 并且图形上下对称，从而∠D=108÷2=54°