000ZJ2010届高考数学总结精华版第十二章-概率与统计

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第十二章-概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计 知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则??a??b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(?)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,?

ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ? x1 ?1,2,?x2 … … xipi . … … p1 P 有性质①p1?0,ip2； ②p1?p2???pi???1注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(ξ?k)?Cnpqkkn?k[其中k?0,1,?,n,q?1?p]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B

kn?k（n·p），其中n，p为参数，并记Ckpq?nb(k;n?p).

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据

相互独立事件的概率乘法分式：P(ξ?k)到随机变量ξ的概率分布列. ? 1 2 P q qp p)?q?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qk?1p(k?1,2,3,?)于是得

3 qpk?12… ，其中q… ?1?p.k qk?1… p

… 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,pk?1,2,3?5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1则其中的次品数

P(ξ?k)?CM?CCnNkn?kN?M?n?N)件，

ξ是一离散型随机变量，分布列为

M件次品中取k件，从N-M件正

?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从

品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξ?k)?Ca?Ckn?kbnCa?bk?0,1,?,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数?的分布列可如下求得：把a?b个产品编号，则抽取n次共有

(a?b)n个可能结果，等可能：

Cnab(a?b)kkn?kn(η?k)含

Cnabakkn?k个结果，故.[我们先为k个次品

P(η?k)??Cn(kaa?b)(1?kaa?b)n?k,k?0,1,2,?,n，即?～B(n?a?b)选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ?k)?P(η?k)，因此二项分布可作为超几何

分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 xi ? … P 则称E?p1 p2… pi … … ?x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b ①当a?0时，E(b)?b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a?1时，E(??b)?E??b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b?0时，E(a?)?aE?，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的

.

，其分布列为：（p +

乘积.

⑵单点分布：E?⑶两点分布：E?q = 1）

?c?1?c其分布列为：P(??1)?c?0?q?1?p?pξ P 0 q 1 p ⑷二项分布：E???1pk?n!k!(n?k)!p?qkn?k?np 其分布列为?～B(n,p).（P为发生?的概率）

⑸几何分布：E?? 其分布列为?～q(k,p).（P为发生?的概率）

?xk)?pk(k?1,2,?)3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(?D??(x1?E?)p1?(x2?E?)p2???(xn?E?)pn??222时，则称为ξ的

为ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质. ⑴随机变量??a??b?0??的方差D(?)?D(a??b)?aD?2.（a、b均为常数）

0 q 1 p ⑵单点分布：D?⑶两点分布：D?⑷二项分布：D?⑸几何分布：D? 其分布列为P(??1)?p

ξ pq 其分布列为：（p + q = 1）P npq

qp2?

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E?和E?都存在，则E(???)?E??E?

⑵设ξ和?是互相独立的两个随机变量，则E(??)?E??E?,D(???)?D??D?

⑶期望与方差的转化：D??E??(E?) ⑷E(??E?)?E(?)?E(E?)（因为E?为一常数）?E??E??0.

22三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的

y概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x?(??,??)” ▲y=f(x)是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

abx2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12??2?(x??)2?22e. （x?R,?,?为常数，且??0），称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?，它的密度曲线简称为正态曲线.

2)表示.

f(x)的表达式

可简记为N(?,?2)⑵正态分布的期望与方差：若?～N(?,?)，则ξ的期望与方差分别为：E???,D???2.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.

③当x??时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜?时，曲线上升；当x＞?时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当?一定时，曲线的形状由?确定，?越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为?(x)?12??x2e2(???x???)，则称ξ服

从标准正态分布. 即?～N(0,1)有?(x)?P(??x)，?(x)?1??(?x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(a???b)??(b)??(a).

注意：当标准正态分布的?(x)的X取0时，有?(x)?0.5当?(x)的X取大于0的数时，有

?(x)?0.5.比如?(0.5???)?0.0793?0.5则

0.5???必然小于0，如图.

2▲yS⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N(?,?常用F(x)表示，且有P(ξ?x)?F(x)??(x?μσ).

)则ξ的分布函数通

xa标准正态分布曲线阴

S=0.5Sa=0.5+S4.⑴“3?”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布

(??3?,??3?)N(?,?)2.②确定一次试验中的取值

a是否落入范围

a?(??3?,?.③做出判断：如果a?(??3?,??3?)，接受统计假设. 如果?3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

2⑵“3?”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(?,?为99.7％ 亦即落在(?

?3?,??3?))则 ξ落在(??3?,??3?)内的概率

之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生

了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

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