线性代数论文

中国矿业大学银川学院

机电动力与信息工程

线性代数论文

（2011级）

专业：电气及其自动化

班级:电气（二）班

姓名：***

学号：120110516***

任课老师：***

日期：2012. 6.15

中矿大银川学院线性代数论文

浅谈线性代数方程组

摘要 线性代数有独立的系统的科学体系，史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。在实践中应用极为广泛，线性代数有部分研究的对象是解线性方程组，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了理论基础。为了解决生活中的相关问题，我们有必要从线性基础说起，进而进一步加深对线性方程组的认识，本文将从线性相关性着手从更加普遍的角度来讨论线性方程组的一般理论与应用。

关键词: 线性相关 线性方程组 逆矩阵 生活应用

在科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题；一类非线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的，我们可以简单地说数学中的线性问题是最容易被解决的，如微分学研究很多函数线性近似的问题。而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。

因此遇到一个问题，首先判定是线性问题还是非线性问题；其次如果是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。可见线性代数作为研究线性关联性问题的代数理论的重要性。

随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线

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性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

（一）向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系

若α,β,γ是三维空间的向量,则:α线性相关;α,β线性相关;α,β,γ线性相关分别对应于几何直观的α为零向量;α,β共线;α,β,γ共面。因此,一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中3个不共面的向量组成的。

（二）线性方程组与直线、平面的位置关系

空间直线、平面的位置关系为线性方程组的结构理论提供了直观的几何解释,同样线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用。

例.已知平面上有三条不同的直线，它们的直线方程分别为

l1:ax?2by?3c?0l2:bx?2cy?3a?0l3:cx?2ay?3b?0,试证这3条直线

交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。[5]

证明:必要性,设3条直线l1, l2, l3相交于一点.

?ax?2by??3c?则线性方程组?bx?2cy??3a有唯一解,

?cx?2ay??3b??a?故系数矩阵A=?b?c?2b??a2b?3c?????2c?与增广矩阵A??b2c?3a?

?c2a?3b?2a?????的秩均为2,于是|A|=0,由于

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?a2b?3c|A|?b2c?3a?6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc]?3(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]c2a?3b

但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,∴a+b+c=0

充分性:由a+b+c=0,则从必要性的证明可知: |A|=0,故:秩(A)<3。 由于故:

a2b13?2(ac?b2)??2[(a?b)2?b2]?0, b2c24??,于是, 。

因此线性方程组有唯一解,即,3条直线l1, l2, l3相交于一点。 （三）线性方程组在实际生活中的应用。

运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处

理。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解：比如你是一家小商店的老板，你可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大家庭中的一员，你又可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最小。这些都是实际的应用啊！如下例子：

设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。 营养 每100g食物所含营养(g) 脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 减肥所要求的每日营养量 蛋白质 碳水化合物 脂肪 36 52 0 51 34 7 13 74 1.1 33 45 3 设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分

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列向量为：

?36??51??13??,a??34?,a??74?,a1??5221??????????0???7???1.1??

则它们的组合所具有的营养为

?36??51??13???x?34??x?74? x1a1?x2a2?x3a3?x1?52??2??3??????0???7???1.1??使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：

?36?52???05113??x1??33??x???45??3474???2???71.1????3???x3???Ax?b

用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ag763如下： A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\\b

程序执行的结果为：

? 0.2772x??? 0.3919?? 0.2332?? ???即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量。

以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。同时，我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动。可以说，历史上线性代数的第一

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个问题是关于解线性方程组的问。总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见它的应用之广！

还有一些情况, 比如经常会有一种情况, 就是计算机要反复地解一个线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ?????an1x1?an2x2???annxn?bn其中只是等号右边的常数项总变, 而左边的系数都不变, 那么就希望变换成这样:

?x1?c11b1?c12b2???c1nbn?x?cb?cb???cb?22112222nn ?????xn?cn1b1?cn2b2???cnnbn这样可以减少计算量, 那么, 这就会产生矩阵求逆的问题 可以说，线性代数的发展是与线性方程组的求解息息相关的，因而，在线性方程组的求解上，我们可以用克莱姆法则，可以用消元法，可以用矩阵理论求解等诸多方法，当然，有些法则、理论的应用是有条件的总之，线性代数的研究对象解线性方程组，它是用高等数学的方法研究如何解线性方程组。线性代数有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了科学的理论基础。

参考文献：

1. 《线性代数》 戴斌祥编，北京邮电大学出版社 2. 《线性代数导教、导学、导考》 西北工业大学出版社

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/acet.html