用典型归类复习排列组合中的重复问题
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用典型归类复习排列组合中的重复问题
上传: 杨汉春 更新时间:2012-5-24 20:19:04
用典型归类复习排列组合中的重复问题
江西省新余市第三中学 杨汉春 (邮编:338000)
在高三数学总复习中,对排列组合的复习,教师觉得讲了很多,但学生在做题中仍是出现模糊现象,不能做到成竹在胸。这主要是与排列组合相关的问题变化多端,题型涉及现实生活面广,题目的隐藏面较深。使得学生对入手题目的思想方法难以把握,特别是对出现重复的问题,容易遗漏,防不胜防。因此,教师在复习这一章节时,本人认为不应泛讲,要进行典型归类,给学生一个万变不离其踪的思维主线,这样对学生才会有省时高效的效果。以下是本人对排列组合中重复问题专题复习的一点浅见。
一、运用数型结合的思想,借助图象,直观重复。
例一、太阳伞由八个区域组成,它由七种不同的颜色面料拼接而成的,若恰有相对一组用同一色的面料(如图中7号区域),则可以搭配成颜色排列顺序不同的伞面种数为多少?
1 2 3 4 5 6 7 7 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
解析:先选相对区域的面料有
种,
再选其余6个区域面料有 种,故有 种。但如图所示的两种排列其实色彩顺序是一样的,原因是因为它是一个关于中心对称
的旋转图形。旋转180 °后图形与原来的图形重叠,故符合题意的搭配应有
/2 =2520(种)。
例二、给四棱锥p—abcd的顶点染色,要求同一条棱上的两点不能同色,求以下各有多少种染色方法。(1)现有4种不同的颜料;(2)现有5种不同颜料。
分析:解此题首先要明确以下三点:
? ?
黄色
四个顶点是命名了的;
点p与a、b、c、d不能同色,a、c可同色,b、d可同色,故至少需要用3种颜料;
b 蓝色 d 红色 a 黄色 b 蓝色 d 红色 c c a
③ a、b、c、d四点用3种颜料染色,当a、c为同一色,且b、d染色确定时,先染点a后染点c,与先染点c后染点a,效果是一样的。重复就在此出现。 如:
解:(1) 分类:一类选用4种颜料。先给p点染色,有 种方法;再用3种染料给a、b、c、d四点染色,有
/2种方法。二类选用3种颜料,有 种方法。所以共有 = 72(种)。
(2)分类:一类选5种颜料, 种;二类选4种颜料,有 种;三类选3颜料,有 种。共有
+ + = 420(种)。
二、运用旋转回位的概念,显现重复。
例三、用6种颜色给圆周上的6个等分点染色,各点颜色各不相同,不同的排列顺序有多少种?
分析:要明确两点,① 6个等分点未命名;② 6 个点是可以转动的,每转动60 的倍数,图形仍回位到原图形。
所以不同的染色排列顺序有 = 120 (种)。
一般地, n个不同元素在一圆周上排成一圈,不同的排法有 种。
例四、用5种不同的颜色给正四棱锥的5个顶点染色,要求同条棱上的两个端点不能同色,求不同的染色方法有多少种? 分析:此题与例二比较,正四棱锥顶点未标有字母,底面是正方形,可以转动。
首先染顶点有 种方法;再染底面4个顶点,分成 4色、3色、2色,依次有 、 、 种方法。
所以不同的染色方法有
三、运用推理,避免重复和遗漏。
( + + )= 120(种)。
例五、将10个小球放到三个盒子中,每盒不空。(1)若10个小球都相同,三个盒子不相同,有多少种投放法?(2)若10个小球都相同,三个盒子也都相同,有多少种投放法?(3)若10个小球互不相同,三个盒子都相同,且每个盒子中的小球个数不超过4个,有多少种投放法?
分析:第(1)问用“隔板法”解即可,有 = 36(种)。
第(2)问是最容易出现错误的,有很多教辅上的解法为:由(1)可知,(2)中的每一种投放方法,都对应着(1)中的 种
方法,所以共有 = 6(种)。
其实答案应为8种。因为盒子相同,所以只需将10个小球按个数分成三组即可,有1、1、8 ,1、2、7 ,1、3、6 ,1、4、5 ,2、2、6 ,2、3、5 ,2、4、4 ,3、3、4 。
因此,在解决凝难题目上,要先自己思考,再借助参考答案进行思考,这样有利于解题能力的培养和解题思路的拓宽,提高解题的准确率。
第(3)问,因为每个盒子中的小球个数不超过4个,所以将小球按个数分成三组的方法只有二种,即 2、4、4 和3、3、4。投放方法
共有 = 3675种。
思考:(1)将4人分成两组,每组2人,有多少种分法? (2)从4人中选派2人外出学习,有多少种派法?
解答后对比一下,看看有什么启发,能否启示我们在解题过程中要注重什么。
在复习中,只要我们对每一类型问题进行归类复习,突出典型问题,抓住题目的意图,就能避免题海战术,提高学习效率。
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