Matlab 求解金属槽槽内电位分布 - 副本

Matlab 求解金属槽槽内电位分布

摘要

运用有限差分法将场域离散为许多小网格，将求解连续函数?的泊松方程的问题换为求解网格节点上?的差分方程组的问题。用matlab程序计算出槽内电位分

布的结果。通过数值解和精确解的比较来验证有限差分法的可行性。

关键词:有限差分法; Matlab；金属槽槽内电位

Solving the metal slots potential with Matlab

Abstract: Using the finite difference method (FDM)field is discreted into many

small grid, transform ing the problem solving poisson equation with continuous function ? for solving the differential equations of grid node ?. We use Matlab program to calculate the potential distribution in slot results. The values got from these two methods are compared, which would be a validation of the feasibility of the Finite Difference Method.

1 引言

如图1所示，尺寸为a×a的正方形金属导体槽三面接地，上方是一块密实的但与之绝缘的金属盖板，其电位??100V，求槽内电位的分布情况。这是二维静态场域的边值问题，在直角坐标系中，接地导体矩形槽中的电位函数p满足拉

?2??2?普拉斯方程2?2?0。

?x?y

Y aa图1 正方形金属槽

其边界条件满足第一类边界条件问题

X

?(x,y)x?0?0 ?(x,y)

x?a?0

?(x,y)y?0?0 ?(x,yy)?a?1 00我们由此可求出矩形导体槽内电位的分布数值解．

将金属槽内场域D用正方形网格进行粗略划分，其网格节点分布如图2所示网格间距为h=a/4,各边的节点数为L+1=5.

543212345

图2 网格划分

2 求解 2.1数值解求解过程

由于本文采用的是超松弛迭代法的差分方程形式，现给出公式

?(n?1)i,j??(n)i,j?w(4?(n)i?1,j??(n)i,j?1??(n?1)i?1,j??(n?1)i,j?1?hfi,j?42?(n)i,j)（2.1）

进行迭代，因为满足拉普拉斯方程故 f=0。对于正方形长于的第一类边值问题，最佳的?值可选为

?0=2/[1+sin(?/L)],（2.2）

故本文中?0=1.17。对槽内的电位初值设置为0，规定当各网格内点相邻两次迭代近似值小于10。

对于以上讨论可编写如下程序作为参考： %May 27th myarmy

%Numerical results for Metal slot potential clear clc

L=4; %L为分的段数 for i=2:L+1 for j=1:L+1 d1(i,j)=0;

-6

end end

d1(1,L+1)=0;d1(L+1,L+1)=0; d1(1,2:L)=100; d2=d1;

w=2/(1+sin(pi/L)); wc=1;k=0;t=0; while wc>1e-6 k=k+1; for i=2:L for j=2:L

d2(i,j)=d1(i,j)+(d1(i+1,j)+d1(i,j+1)+d2(i-1,j)+d2(i,j-1)-4*d1(i,j))*w/4 %采用的是超松弛迭代法

t=abs(d2(i,j)-d1(i,j)); if(t

故程序运行后查看结果知迭代次数达11次，误差小于10，其迭代11次后的数值解为

-61001001000??0?042.857152.678642.85710????018.750025.000018.75000? ??07.14299.82147.14290???0000??0?2.2 精确解的求解过程

已知槽内电位分布可通过如下式子得出解析解

?(x,y)?4?0sinh(n?y/a)?n?x?sin???

n?sinh(n?)a??nodd） ?0，其他三个边界电位均为0。

（方形形区域，x、y方向长度都为a；上边界的电位为 对方形槽网格划分如图3所示，计算槽内电位。

（1,5）（2,5）（3,5）（4,5）（5,5）（1,4）（2,4）（3,4）（4,4）（5,4）（1,3）（2,3）（3,3）（4,3）（5,3）（5,2）（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）（1,1）（2,1）（3,1）（4,1）（5,1）

图3 网格节点示意图

对于本文中的方形槽，假设a=0.8,N=101.可通过以下程序算出解析解 %analytical solution for Metal slot potential clc clear

i=1;n=1;a=0.8;

bb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0]; for x=0.2:0.2:0.6 for y=0.2:0.2:0.6

for n=1:2:101

bb(i)=bb(i)+4*100*sinh(n*pi*y/a)/(n*pi*sinh(n*pi))*sin(n*pi*x/a); end i=i+1; end end

b=reshape(bb,3,3); b2=flipud(b)

对上述结果进行分析得到如下的解:

1001001000??0?043.202854.052943.20280????018.202825.000018.20280? ??06.79729.54146.79720???0000??0?3 结果与讨论

本文讨论了二维模型下金属槽内的电位分布，采用有限差分方法，应用超松弛迭代的差分形式求解了第一类边界条件下的各节点处的电位数值解，并由解析方程，求解了同一模型的精确解。并将上文所得到的精确解与数值解相比较，计算俩者相对误差，来验证有限差分法使用的可行性。

表一 槽内节点电位的结果比较 x的值 0.2 y的值 0.2 超松弛迭代解 7.1429 解析解 6.7972 相对误差（%） 5.085918

0.4 0.6 0.2 0.4 0.6 0.2 0.4 0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 9.8214 7.1429 18.7500 25.0000 18.7500 42.8571 52.5786 42.8571 9.5414 6.7972 18.2028 25.0000 18.2028 43.2028 54.0526 43.2028 2.93458 5.085918 3.006131 0 3.006131 0.8001796 2.726973 0.8001796

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