河南省驻马店市确山二中高二数学第一学期期中试卷（含解析）

2014-2015学年河南省驻马 店市确山二中高二（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

2

1．命题：“任意x∈R，x﹣x+2＜0”的否定是（ ）

22

A． 任意x∈R，x﹣x+2≥0 B．存在x∈R，x﹣x+2≥0

22

C． 存在x∈R，x﹣x+2＜0 D．任意x∈R，x﹣x+2＜0

2．某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市家数为（ ） A． 15 B． 16 C． 13 D． 18

3．如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）

A． 23与26 B． 26与30 C． 31与26 D． 31与30

22

4．命题“设a、b、c∈R，若ac＞bc，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

5．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A． B．

C． D．

6．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为（ ）

A． B． C． D．

7．已知x、y取值如下表：

x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（ ） A． 1.30 B． 1.45 C． 1.65 D． 1.80 8．在区域 A．

B．

内任意取一点P（x，y），则x+y＞1的概率是（ ）

C．

D．

2

2

9．一组样本数据，容量为150，按从小到大的顺序分成5个组，其频数如下表： 组号 频数 1 28 2 32 3 28 4 32 5 x 那么，第5组的频率为（ ）

A． 120 B． 30 C． 0.8 D． 0.2

10．已知A=（2，﹣4，﹣1），B=（﹣1，5，1），C=（3，﹣4，1），若

，

，则

对应的点为（ ）

A． （5，﹣9，2） B． （﹣5，9，﹣2） C． （5，9，﹣2） D． （5，﹣9，﹣2） 11．已知向量

与向量

平行，则x，y的值分别是（ ）

A． 6和10 B． ﹣6和10 C． ﹣6和﹣10 D． 6和﹣10

12．已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β； ②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1?n2=0，则α⊥β； ④若n1?n2=0，则α∥β． 其中正确的是（ ）

A． ①③ B． ①② C． ②③ D． ②④

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．数据5，7，7，8，10，11的标准差是 ．

14．某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛，男、女两队夺取冠军的概率分别是和．则该市足球队夺得全省冠军的概率是 ．

15．已知A（1，1，0），B（1，2，1），C（0，0，2），则原点O到平面ABC的距离为 ．

16．在下列四个结论中，正确的序号是 ．

2

①“x=1”是“x=x”的充分不必要条件；

22

②“k=1”是“函数y=coskx﹣sinkx的最小正周期为π”的充要条件；

2

③“x≠1”是“x≠1”的充分不必要条件；

④“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

222

17．已知p：{x|x﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x﹣2x﹣（m﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

18．一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．

（1）求搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率；

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有一次摸出的球是红球的概率．

19．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．

（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？

22

（2）试求方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率．

20．为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

21．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC； （Ⅱ）设E为BC的中点，求

与

夹角的余弦值．

22．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求证：FC∥平面EAD；

（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

2014-2015学年河南省驻马店市确山二中高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

2

1．命题：“任意x∈R，x﹣x+2＜0”的否定是（ ）

22

A． 任意x∈R，x﹣x+2≥0 B．存在x∈R，x﹣x+2≥0

22

C． 存在x∈R，x﹣x+2＜0 D．任意x∈R，x﹣x+2＜0

考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．

分析： 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

2

解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“任意x∈R，x﹣x+2＜0”的否定

2

是存在x∈R，x﹣x+2≥0． 故选：B．

点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

2．某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市家数为（ ） A． 15 B． 16 C． 13 D． 18

考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： 根据分层抽样的定义，建立比例关系即可得到结论．

解答： 解：∵大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家， ∴按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市为：

（家）， 故选：B．

点评： 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．

3．如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）

A． 23与26 B． 26与30 C． 31与26 D． 31与30

考点： 茎叶图． 专题： 图表型．

分析： 由茎叶图写出所有的数据从小到大排起，找出出现次数最多的数即为众数；找出中间的数即为中位数．

解答： 解：由茎叶图得到所有的数据从小到大排为： 12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42． ∴众数为31，中位数为26． 故选C．

点评： 解决茎叶图问题，关键是将图中的数列出；求数据的中位数时，中间若是两个数时，要求其平均数．

22

4．命题“设a、b、c∈R，若ac＞bc，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系；不等关系与不等式． 专题： 阅读型．

22

分析： 先看原命题，∵若ac＞bc，则c≠0，∴a＞b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．

22

解答： 解：原命题：，∵若ac＞bc，则c≠0，∴a＞b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；

22

逆命题：若a＞b，则ac＞bc，不正确，∵a＞b，∴关键是c是否为0，∴逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，

22

∴命题“设a、b、c∈R，若ac＞bc，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题． 故选B

点评： 本题考查不等式的基本性质和等价命题．属于基础题．

5．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A． B．

C． D．

考点： 程序框图． 专题： 图表型．

分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．

解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出S=++的值 ∵S=++=

．

故选D．

点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

6．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为（ ）

A． B． C． D．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： 集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，取法总数为6，这两个数之和等于5的情况有2种，由此能求出这两个数之和等于5的概率． 解答： 解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数， 取法总数为：2×3=6，

这两个数之和等于5的情况有2种：2+3和3+2， ∴这两个数之和等于5的概率：p==．

故选：B．

点评： 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用．

7．已知x、y取值如下表： x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（ ） A． 1.30 B． 1.45 C． 1.65 D． 1.80

考点： 线性回归方程．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值． 解答： 解：由题意，

∵y与x线性相关，且=0.95x+a， ∴5.25=0.95×4+a， ∴a=1.45

=4，

=5.25

故选B．

点评： 本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键． 8．在区域 A．

B．

内任意取一点P（x，y），则x+y＞1的概率是（ ）

C．

D．

2

2

考点： 几何概型． 专题： 计算题． 分析： 由题意可得，区域

2

2

表示的是以1为边长的正方形OABC，其面积为1，而

则x+y＞1以1为半径，以原点为圆心的圆的外部且在正方形内的区域，求出其面积，代入几何概率公式可求

解答： 解：由题意可得，区域记“在区域

表示的是以1为边长的正方形ABCD，其面积为1

2

2

内任意取一点P（x，y），则x+y＞1”事件为A，则A包含的区域

为正方形内除去阴影部分，其面积为1﹣

P（A）=故选：C

=

点评： 本题主要考查了与面积有关的几何概率的概率公式的应用，解题的关键是准确判断出各区域所对应的图象并求出面积．

9．一组样本数据，容量为150，按从小到大的顺序分成5个组，其频数如下表： 组号 频数 1 28 2 32 3 28 4 32 5 x 那么，第5组的频率为（ ）

A． 120 B． 30 C． 0.8 D． 0.2

考点： 频率分布表． 专题： 概率与统计．

分析： 根据频率分布表，求出频数与频率即可． 解答： 解：根据频率分布表，得； 第5组的频数为

150﹣28﹣32﹣28﹣32=30 ∴第5组的频率为

=0.2． 故选：D．

点评： 本题考查了样本容量与频数、频率关系的应用问题，解题时应用频率=行解答，是基础题．

10．已知A=（2，﹣4，﹣1），B=（﹣1，5，1），C=（3，﹣4，1），若

，

，则

进

对应的点为（ ）

A． （5，﹣9，2） B． （﹣5，9，﹣2） C． （5，9，﹣2） D． （5，﹣9，﹣2）

考点： 空间向量运算的坐标表示． 专题： 计算题．

分析： 利用向量的坐标运算，求出的终点的坐标相同，解出结果． 解答： 解：∴∴

=（﹣1，0，﹣2），

=（﹣4，9，0）；

的坐标．再根据向量坐标与以O为起点的有向线段

=（﹣5，9，﹣2） 对应的点（﹣5，9，﹣2）

故选B．

点评： 本题考查向量的坐标运算．以及向量与坐标平面内点得对应关系． 11．已知向量

与向量

平行，则x，y的值分别是（ ）

A． 6和10 B． ﹣6和10 C． ﹣6和﹣10 D． 6和﹣10

考点： 向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 计算题．

分析： 根据两个向量平行，写出向量平行的向量形式的充要条件式关系，解之即可求出所求．

（

），建立等

解答： 解：设则（﹣4，x，y）=λ（2，﹣3，5）

∴λ=﹣2，x=6，y=﹣10 故选D．

点评： 本题主要考查了向量平行的向量形式的充要条件

（

），是解题的关键，

属于中档题．

12．已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β； ②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1?n2=0，则α⊥β； ④若n1?n2=0，则α∥β． 其中正确的是（ ）

A． ①③ B． ①② C． ②③ D． ②④

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．

分析： 直接利用平面的法向量垂直于平面逐一分析四个命题得答案． 解答： 解：已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为①若②若③若④若

，则α∥β，命题①正确；

，则α∥β，∴α⊥β不正确，命题②错误； ，则，则

，则α⊥β，命题③正确； ，∴α∥β不正确，命题④错误．

，

，

∴正确的命题是①②． 故选：A．

点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用平面法向量判断判断两个平面间的位置关系，是基础题．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．数据5，7，7，8，10，11的标准差是 2 ．

考点： 极差、方差与标准差． 专题： 计算题．

分析： 首先做出这组数据的平均数，再利用方差的公式，代入数据做出这组数据的方差，最后把方差开方做出这组数据的标准差． 解答： 解：∵5，7，7，8，10，11的平均数是

=8，

∴这组数据的方差是=4，

∴这组数据的标准差是=2， 故答案为：2

点评： 本题考查一组数据的标准差，我们需要先求平均数，在求方差，最后开方做出标准差，这是一个基础题，这种题目若出现是一个送分题目．

14．某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛，男、女两队夺取冠军的概率分别是和．则该市足球队夺得全省冠军的概率是

．

考点： 相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 概率与统计．

分析： 求得仅男队获得冠军的概率、仅男队获得冠军的概率、男女两个队都获得冠军的概率，相加即得所求．

解答： 解：由题意可得，只要男子、女子两支球队中有一个获得冠军，则该市足球队夺得全省冠军．

仅男队获得冠军的概率为×（1﹣）=两个队都获得冠军的概率为 ×=∴该市足球队夺得全省冠军的概率为 故答案为：．

点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．

15．已知A（1，1，0），B（1，2，1），C（0，0，2），则原点O到平面ABC的距离为

考点： 点、线、面间的距离计算． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知得

=（1，1，﹣2），

=（1，2，﹣1），

=（1，1，0），设平面ABC的法

．

， +

+

=．

，仅男队获得冠军的概率为 （1﹣）×=

，

向量=（x，y，z），则，由此利用向量法能求出原点O到平面ABC的

距离．

解答： 解：∵A（1，1，0），B（1，2，1），C（0，0，2）， ∴

=（1，1，﹣2），

=（1，2，﹣1），

=（1，1，0），

设平面ABC的法向量=（x，y，z），

则，

取x=3，得=（3，﹣1，1）， ∴原点O到平面ABC的距离d=

=

=

．

故答案为：．

点评： 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

16．在下列四个结论中，正确的序号是 ①④ ．

2

①“x=1”是“x=x”的充分不必要条件；

22

②“k=1”是“函数y=coskx﹣sinkx的最小正周期为π”的充要条件；

2

③“x≠1”是“x≠1”的充分不必要条件；

④“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 本题考察知识点为充要条件的判定，先将命题化简，然后判定．

22

解答： 解：①“x=x”?“x=0或x=1”，则“x=1”是“x=x”的充分不必要条件，正确； ②由二倍角公式得函数y=coskx﹣sinkx=cos2kx，周期T=|

2

2

2

2

|，则“k=1”?“函数y=coskx

2

2

﹣sinkx的最小正周期为π”但当k=﹣1，函数y=cos（﹣x）﹣sin（﹣x）=cos2x，最小

22

正周期也为π，所以②“k=1”是“函数y=coskx﹣sinkx的最小正周期为π”的充分不必要条件，错误；

22

③“x≠1”?“x±1”，所以“x≠1”是“x≠1”的必要不充分条件； ④同向不等式可以相加，所以“a＞b且c＞d”?“a+c＞b+d”，必要性满足，但是若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b

则“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件，正确． 故答案为：①④

点评： ④考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

222

17．已知p：{x|x﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x﹣2x﹣（m﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可． 解答： 解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}， 非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．

∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出 非q，非q?非p， ∴BA，结合数轴分析知，BA的充要条件是：

或，解得m≥9，

即m的取值范围是m≥9．

解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，

q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，

∴MN，结合数轴分析知，MN的充要条件是：

或，解得m≥9，

∴m的取值范围是m≥9．

点评： 本题考查了充分必要条件，是一道基础题．

18．一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．

（1）求搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率；

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有一次摸出的球是红球的概率．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： （1）列举出所有的可能结果，找到恰是红球的结果，根据概率公式计算即可， （2）列举出所有可能出现的结果，找到至少有一次是红球的结果，根据概率公式计算即可． 解答： 解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A）的结果只有1种，所以P（A）=．

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，蓝）、（黄，白）、（蓝，红）、（蓝，黄）、（蓝，蓝）、（蓝，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，蓝）、（白，白），共有16种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“至少有一次是红球”（记为事件B）的结果只有7种，所以P（B）=

．

点评： 本题主要考查了古典概型的概率的计算，关键是一一列举出所有的基本事件，属于基础题．

19．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．

（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？

（2）试求方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率．

考点： 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 计算题．

分析： （1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整点的个数，进而分析可得点M的纵横坐标的范围，可得M的个数，由古典概型公式，计算可得答案；

（2）是几何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形区域，易得其面积，进而根据方程222222

x+2px﹣q+1=0有两个实数根，则有△=（2p）﹣4（﹣q+1）≥0，变形可得p+q≥1，分析可得其表示的区域即面积，由几何概型公式，计算可得答案． 解答： 解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域， 其中p、q都是整数的点有6×6=36个，

点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， 点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点， 所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=

；

22

（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；

2222

若方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根，则有△=（2p）﹣4（﹣q+1）＞0，

22

解可得p+q≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π， 即方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率，P2=

2

2

．

点评： 本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．

20．为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得． 解答： 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量

，

，x=0.100

﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5， 分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种， 分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3）， （a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1）， （a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）． 其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为： （a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5）， （a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）． ∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率

．

点评： 本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题． 21．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC； （Ⅱ）设E为BC的中点，求

与

夹角的余弦值．

考点： 平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离． 专题： 计算题．

分析： （Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；

（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出D、B、C、A、E的坐标，从而得出向量、

的坐标，最后根据空间向量夹角余弦公式，计算出

与

夹角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又DB∩DC=D， ∴AD⊥平面BDC， ∵AD?平面ADB

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直， 不防设|DB|=1，以D为坐标原点， 分别以

、

、

所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0）， A（0，0，∴

=

=（1，0，0）， ∴

与

夹角的余弦值为 ），E（，，0），

，

cos＜，＞==．

点评： 图中DA、DB、DC三条线两两垂直，以D为坐标原点建立坐标系，将空间的几何关系的求解化为代数计算问题，使立体几何的计算变得简单．

22．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求证：FC∥平面EAD；

（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，可得平面FBC∥平面EAD，由此能够证明FC∥平面EAD； （2）证明FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，求得平面BFC、平面AFC的法向量，由此能求出二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

解答： （1）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形， 所以AD∥BC，DE∥BF．

因为AD?平面FBC，DE?平面FBC，

所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC…（2分） 又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD， 所以平面FBC∥平面EAD 又FC?平面FBC，

所以FC∥平面EAD…（4分） （2）解：连接FO、FD，则

因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°， 所以△DBF为等边三角形，

因为O为BD中点．所以FO⊥BD， 又因为O为AC中点，且FA=FC， 所以AC⊥FO

又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD…．（6分）

由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz 设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，， 所以

…..（8分） 所以

=（

，0，

），

=（

，1，0），

设平面BFC的一个法向量为=（x，y，z）， 则有

，令x=1，则=（1，﹣

，1）

因为BD⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为=（0，1，0）…．（10分）

因为二面角A﹣FC﹣B为锐二面角，设二面角的平面角为θ 则cosθ=|

|=

，

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为…（12分）

点评： 本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查学生分析解决问题的能力，注意向量法的合理运用．

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