2006年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》试卷

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2006年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》试卷

题 号 得 分 一 二 三 四 五 总 分 复核

考试说明：

1、考试为闭卷，考试时间为150分钟，满分为150分；

2、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 3、密封线左边各项要求填写清楚完整； 4、答案写在密封线内的无效。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）

2??x?t?t1. 曲线 ?在 t?0 处的切线方程y??te?y?1?0得分 阅卷人 为 .

x22. 已知 f(x) 在 (??,??) 内连续 , f(0)?1 , 设 F(x)?sinx?f(t)dt, 则

F?(0)= . 3. 设 ? 为球面 x?y?z?a (a?0) 的外侧 , 则

333xdydz?ydzdx?zdxdy = . ???2222(?2)n?3n4. 幂级数 ?(x?1)n 的收敛域为 . nn?1?25. 已知 n 阶方阵 A 满足 A?A?2E?0 , 其中 E 是 n 阶单位阵, k 为任意实数 ， 则

(A?kE)?1 = . ?112????6. 已知矩阵 A 相似于矩阵 ?1?10? , 则 A?E? . ?001???7. 已知 P(B)?0.2,P(AB)?0.6, 则 P(A|B) = .

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8. 设 f?(x) 是随机变量 ? 的概率密度函数 , 则随机变量

??? 的概率密度函数

f?(y)= .

二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1. lim得分 阅卷人 1??2?n??= ( ). sin?sin???sin?n??n?nnn??

(B)

(A) 2

1 2

(C)

? 2

(D)

2?

2. 微分方程(2x?y)dx?(2y?x)dy?0的通解为 ( ). （C 为任意常数） (A) x?xy?y?C (B) x?xy?y?C (C) 2x2?xy?3y2?C (D) 2x2?xy?3y2?C

2222?xx2x3?(?1)nn3. ??1??????x???e2xdx = ( ) .

1!2!3!n!?0?(A) e?1 (C)

(B) e (D)e?1

31

13(e?1) 3

4. 曲面 x2?y2?z,x2?y2?4 与 xOy 面所围成的立体体积为 ( ).

(A) 2?

5. 投篮比赛中,每位投手投篮三次, 至少投中一次则可获奖.某投手第一次投中的概率为 次未投中, 第二次投中的概率为

(B) 4?

(C) 6?

(D) 8?

1 ; 若第一279 ; 若第一, 第二次均未投中, 第三次投中的概率为 ， 则该投1010

(C)

手未获奖的概率为 ( ). (A)

1 200

(B)

2 2003 200

(D)

4 200第 页，共 10 页

2

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6． 设

?1,?2,?,?k 是 k 个 m 维向量 ， 则命题 “ ?1,?2,?,?k线性无关 ”

与命题 （ ） 不等价 。

（A） 对

?c?ii?1ki?0， 则必有 c1?c2???ck?0 ；

（B） 在 ?1,?2,?,?k 中没有零向量 ；

k（C） 对任意一组不全为零的数 c1,c2,?ck ， 必有

?c?ii?1i?0 ；

（D） 向量组中任意向量都不可由其余向量线性表出 。

7. 已知二维随机变量 (?,?) 在三角形区域 0?x?1,0?y?x 上服从均匀分 布, 则其条件概率密度函数 f??(x|y) 是 ( ). (A).0?y?1 时 , f?|?(x|y)???1?y, y?x?1

其它?0, ?1, 0?x?1? (B).0?y?1 时 , f?|?(x|y)??1?y

?其它?0, 0?x?1?1?y, (C) 0?y?1 时 , f?|?(x|y)??

0, 其它??1, y?x?1? (D) 0?y?1 时 , f?|?(x|y)??1?y

?其它?0, 8. 已知二维随机变量 (?,?) 的概率分布为:

P???1,???1??P???1,??1??P???4,???2??P???4,??2?? 则下面正确的结论是 ( ).

(A)

1 , 4?与? 是不相关的

(B) D??D? (C)

?与? 是相互独立的

??a?b???1 (D) 存在 a,b?(??,??) ，使得 P?

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三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）

1. 计算 lim?x????

2. 设直线 L:?得分 阅卷人 ?a?1? , (a?0,a?1). ???x?x1x?x?y?b?0 在平面 ? 上,而平面 ? 与曲面

?ax?5y?z?3?022 z?x?y 相切于点 (1,?2,5), 求 a,b 的值.

?1?1??4?3. 计算 ????y1?zdz?dy?dx . ???0????x?y1

?2z?2z2x4. 设 f(u) 具有二阶导数 , 且 z?f(esiny) 满足等式 ??ez ,

?x2?y2x 若 f(0)?1,f?(0)?1 , 求 f(u) 的表达式.

5. 将函数 f(x)?

3x 展开成 x 的幂级数.

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?210????6. 已知矩阵 A??021?， 且 (A?)?B(A?1)??BA?E , 其中 A 为 A

?002??? 的伴随矩阵 , 求矩阵 B.

7. 已知 A 为 6 阶方阵，且 A?(?1,?2,?,?6)?2 , B?(?2,?3,?,?6,?1), C?(?6,?1,?2,?,?5) , 求 B?C .

8. 已知随机事件 A,B 满足 P(B)?,P(B|A)?1311,P(A|B)? , 定义随机变量 24?1, B发生?1, A发生 ???, ???

?1, B不发生?1, A不发生??求 (1) 二维随机变量 (?,?) 的联合概率分布 ; (2) P{2????1} .

9. 设随机变量

?1,?2,?,?100 是相互独立的 , 且均在 (0,20) 上服从均匀分布.令 ????j , 求

j?1100? 的近似值 。 (?(3)?0.9582) P???1100

得分

四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）

1.假定足球门宽为 4 米, 在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底

线的方向带球前进(如图) . 问: 他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角 ? ?

46

?

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阅卷人

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2.已知

??(1,0,?1,1)T,??(1,1,0,1)T ， 且 A???T, 求方程组 Anx?0 的

通解 .

3.已知随机变量 ?,? 满足 E(?)?1,E(?)?2,D(?)?4,D(?)?9 ， 且 ????

五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）

1.设 f(x) 在 (??,??) 内连续,且 limx??12 . 令 ??(4??a?) , 求 a 的值使 E(?) 最小 . 2得分 阅卷人 f(x)?0 , 证明: 总存在一点 ? , 使 x 得 f(?)?? .

2. 已知 A,B 均为 n阶方阵 , 且 A?0 及 B 的每一个列向量均为方程组 Ax?0 的解 , 证明 : |B|?0 .

2006年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》参考答案

一、填空题

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1. y?1?1x; e

2. ?1;

3.

125?a; 54.

?2,4?；

???33??1(A?(??1)E); 6. 1; 5. 2????2二、单项选择题

17. ; 4

?0,y?08.?. 22yf(y),y?0??1. D; 2. B; 3. A; 4. D; 5. C 6. B 7. D 8. A 三、计算题

??axlna1???ln(ax?1)?lnx????, ?????????? 3分 ?1. 解 原式=exp?lim?=exp?xlim???ax?1x???x??x????axlna?0, ? 原式=e0?1. ???????????? 5分 当0?a?1时, ? limxx???a?1 当a?0时, ? limlna?lna, ? 原式=elna?a. ??????????? 7分 ?xx???1?a2. 解 曲面在(1,?2,5)处的法向量为

n?(zx,zy,?1)(1,?2,5)?(2,?4,?1) ??????????????????? 2分 平面?方程为

2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0, 即 2x?4y?z?5?0. ????????? 4分 直线L的方程又可写为?11z?y??x?b,代入平面?的方程解得a?1,b??2. ?? 7分

?z?ax?5(x?b)?33. 解 原式=dxdzy1?z4dy ???????????? 2分

???0xx111 =?dx?1?z4(z2?x2)dz ????????? 3分

20x1 =?dz?1?z4(z2?x2)dx ????????? 5分

2001 =?1?z4z3dz ?????????????? 6分

30 =

11z22?1. ????????????????? 7分 18第 页，共 10 页

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4. 解

?z?z?f?(u)exsiny, ?f?(u)excosy. ?????????????1分 ?x?y?2zx2x2??? =f(u)(esiny)?f(u)esiny?uf??(u)?uf?(u), ?????????2分 2?x?2zx2x2x2????? =f(u)(ecosy)?f(u)esiny?f(u)e(1?siny)?uf?(u) 2?y =e2xf??(u)?u2f??(u)?uf?(u). ???????????????????3分

?2z?2z2x 由2?2?ez得f??(u)?f(u)?0. ?????????????????? 4分

?x?y 特征方程r?1?0,特征根r1??1,r2?1.

? f(u)?C1e?u?C2eu. ????????????????????????? 6分 由f(0)?1,f?(0)?1得C1?0,C2? ? f(u)?21. 21ue. ???????????????????????????? 7分 23x11??5. 解 , ? ??????????????????? 2分 21?x1?2x1?x?2x?1 ??xn, |x|?1, ????????????????????? 4分

1?xn?0??1n ??(?2x)??(?1)n2nxn, |2x|?1. ??????????? 6分

1?2xn?0n?0??? f(x)??x??(?1)2x=?[1?(?1)n2n]xn, |x|?nnnnn?0n?0n?01. ?????? 7分 26. 解: ?A??AA?1?BA?E?(AA?1)?B(AA?1)?1 ?????? 2分

?AA(AA)BAA ????? 3分

?1?1?1?1 ?ABA ??? 4分 ? B?(A(E?A))?1 ?????????5分

??2?3?1??? ??0?2?3? ????? 6分

?00?2???第 页，共 10 页

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??1??2 =?0??0??341?207???8?3? ??????? 7分 4?1??2??7. 解: B?C??2??6,?3??1,?4??2,?5??3,?6??4,?1??5

??2,?3??1,?4,?5??3,?6,?1??5+?6,?3??1,?2,?5??3,?4,?1??5?? 2分 ??2,?3,?4,?5,?6,?1??2,?1,?4,?3,?6,?5

+?6,?3,?2,?5,?4,?1??6,?1,?2,?3,?4,?5 ???????????? 5分 ??8??????????????????????????????????? 7分 18. 解: P???1,??1??P(BA)?P(B)P(AB)? ??????????? 2分

121 P???1,???1??P(BA)?P(B)?P(AB)? ??????????3分

4???1,??1??P(BA)?P(A)?P(AB)? P?P(AB)1?P(AB)? ?? 4分

P(B|A)127 ????????? 5分 1211 P{2????1}?P{???1,??1}?P{???1,???1}?P{??1,???1}? ? 7分

121009. 解: E(?i)?10,D(?i)? ???????????????????? 2分

3 P????1,???1??P(BA)?1?P(A?B)? P(??1100)?P(??100?10100?1003?1100?1000)

100?1003 ?1?P(??10001000032?3) ??????????????? 5分

3 ?1????1?t2edt?1??(3)?0.042 ????????? 7分 2?四、应用题

41. 解 如图所示,?????,

6???x第 页，共 10 页

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106?tan??tan?xx=4x. ???? 3分 ?= tan=

60x2?601?tan?tan?1?2x 上式两边对x求导:

d?4(60?x2) sec?, ??????????? 5分 ?dx(x2?60)2 令

d??0得惟一驻点x?215. ???????? 6分 dx 由问题的实际意义知?必有最大值,故x?215就是?的最大值点,即球员在离底线215米处可获得最大射门张角arctan15. ?????????? 8分 151?1?00nTnn?1?2. 解: ? A?(??)?2??1?1??11?n01??00? ???????????3分

0?1??01?? ? Ax?0?x1?x2?x4?0 ????????????????5分

??1???1??0????????1??0??0?k?k?k ?通解:?0?1?0?2?1?3???????0??1??0???????2ki?Ri?1,2,3 ??????8分

3. 解: ? E(?)?E(4??a?)?D(4??a?)?(E(4??a?)) ???? 2分

2 ?D(4?)?D(a?)?2cov(4?,a?)+(4+2a)?????? 5分

2 ?80?40a?13a ????????????????? 6分 ? 当a??五、证明题

1. 证 令F(x)?f(x)?x, ?????????????????? 1分 ? lim220时,E(?)达到最小 ?????????????? 8分 13f(x)?xF(x)=lim=?1?0, ?????????? 2分 x???x???xx ? 由极限保号性知,?a?0,使得F(a)?0. ????????? 4 分

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同理,由limF(x)=?1?0得,?b?0,使得F(b)?0. ????? 5分

x???x由于F(x)在[a,b]上连续,F(a)F(b)?0,故由零点定理知,???(a,b)?(??,??),使得

F(?)?0,即f(?)??. ???????????????????? 8分

2.证: ?A?o?r(A)?1 ?????????????????? 1分 ?Ax?0的基础解系中含的向量的个数?n?r(A)?n?1?n?? 3分 由B的每一个列向量是Ax?0的解?r(B)?n?r(A)?n ????5分 ?B中列向量组是线性相关的,?

B?0 ??????????7分

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同理,由limF(x)=?1?0得,?b?0,使得F(b)?0. ????? 5分

x???x由于F(x)在[a,b]上连续,F(a)F(b)?0,故由零点定理知,???(a,b)?(??,??),使得

F(?)?0,即f(?)??. ???????????????????? 8分

2.证: ?A?o?r(A)?1 ?????????????????? 1分 ?Ax?0的基础解系中含的向量的个数?n?r(A)?n?1?n?? 3分 由B的每一个列向量是Ax?0的解?r(B)?n?r(A)?n ????5分 ?B中列向量组是线性相关的,?

B?0 ??????????7分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ac93.html