3.1不等式关系

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学校：临清二中学科：数学编写人：王海静审稿人：一审李其智二审马英济

第三章不等式 §3.1不等式与不等关系

第1课时

【授课类型】新授课【教学目标】

1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。【教学重点】同目标2 【教学难点】同目标3 【教学过程】

1、情境导入

在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 2、展示目标

下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

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（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系。

3、检查预习

（1）用不等式表示不等关系

限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：

v?40

4、合作探究

（2）用不等式表示不等关系

某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示

?f?2.5%??p?2.3%

5、交流展示

引例：b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根

据这个事实写出一个不等式。

6、精讲精练

例题1：设点A与平面?的距离为d,B为平面?上的任意一点，则d?|AB|。例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

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x?2.5?0.2)x 万元，那么0.1不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8?

(8?x?2.5?0.2)x?20 0.1例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？

解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：

（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

?500x?600y?4000;?3x?y;?

x?0;?

?y?0.?

7、反馈测评 (1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 (2)课本P82的练习1、2

8、课时小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

9、评价设计课本P83习题3.1[A组]第4、5题

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【板书设计】

【授后记】

第三章不等式

§3.1不等式与不等关系学案

第1课时

【教学目标】X k b 1 . c o m

1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。【教学重点】同目标2 【教学难点】同目标3

请同学们阅读课本内容，完成下列题目：

用不等式表示不等关系 1、限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：

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2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示

3、b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式。

精讲精练

例题1：设点A与平面?的距离为d,B为平面?上的任意一点，则———— 例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

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例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？

反馈测评

(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 (2)课本P82的练习1、2

课时小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

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课本P83习题3.1[A组]第4、5题答案：

精讲精练例题1：d?|AB| 例题2：

x?2.5?0.2)x 万元，那么0.1不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8? (8?x?2.5?0.2)x?200.1 例题3：解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

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?500x?600y?4000;?3x?y;?

x?0;?

?y?0.?

学校：临清二中学科：数学编写人：王海静审稿人：一审李其智二审马英济

第三章不等式 §3.1不等式与不等关系

第2课时

【授课类型】新授课【教学目标】

1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】

1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

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请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a?b?a?c?b?c

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若a?b,c?0?ac?bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若a?b,c?0?ac?bc

2.讲授新课 1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明不等式的基本性质a?c?b?c吗？证明：

?(a?c)?(b?c)?a?b?0， ∴a?c?b?c．

实际上，我们还有a?b,b?c?a?c，证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）a?b,b?c?a?c （2）a?b?a?c?b?c （3）a?b,c?0?ac?bc

（4）a?b,c?0?ac?bc

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2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）a?b,c?d?a?c?b?d；

（2）a?b?0,c?d?0?ac?bd；

（3）a?b?0,n?N,n?1?an?bn;na?nb。证明： 1）∵a＞b，

∴a+c＞b+c ①

∵c＞d， ∴b+c＞b+d ② 由①、②得 a＋c＞b＋d． 2）a?b,c?0?ac?bc???ac?bd c?d,b?0?bc?bd?3）反证法）假设na?nb， na?nb?a?b则：若这都与a?b矛盾，

nna?b?a?b∴na?nb． [范例讲解]：例1、已知a?b?0,c?0,求证cc?。 ab1?0。 ab证明：以为a?b?0，所以ab>0,

于是 a?1111?b?，即? ababba新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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由c<0 ，得

cc? ab 3.随堂练习1 1、课本P82的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2；（3）

11 ；

6?55?222(4)当a＞b＞0时，log1a log1b 答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜ [补充例题]

例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）

随堂练习2

比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)

解：(x+5)(x+7)-(x+6)

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=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0 所以：(x+5)(x+7)<(x+6)2

4.课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论

5.评价设计课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题【板书设计】

【教学后记】

第三章不等式 §3.1不等式与不等关系

第2课时

【授课类型】新授课

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【教学目标】

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。新课标第一网【教学过程】

1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即______________ （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即______________ （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即______________ 2.讲授新课 1、不等式的基本性质请同学们证明下列不等式

(1)a?c?b?c

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(2) a?b,b?c?a?c

于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）a?b,b?c?a?c （2）a?b?a?c?b?c （3）a?b,c?0?ac?bc

（4）a?b,c?0?ac?bc 2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）a?b,c?d?a?c?b?d；（2）a?b?0,c?d?0?ac?bd；（3）a?b?0,n?N,n?1?an?bn;na?nb。

证明：（1）a?b,c?d?a?c?b?d

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（2）a?b?0,c?d?0?ac?bd （3）a?b?0,n?N,n?1?an?bn;na?nb

[范例讲解]：

例1、已知a?b?0,c?0,求证