2015年浙江省温州市高三文科三模数学试卷

2015年浙江省温州市高三文科三模数学试卷

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 设集合 ??= ??∈?? ??2=1 ，??= ??∈?? ??2?2???3=0 ，则 ??∪??= ??

A. ?1

B. ?1,1,3

C. 1,3

D. ?1,3

2

2. 已知命题 ??：???0∈??，??0+2??0+1≤0，则 ??? 为 ??

2

A. ???0∈??，??0+2??0+1>0

B. ???∈??，??2+2??+1≤0 D. ???∈??，??2+2??+1>0

C. ???∈??，??2+2??+1≥0

3. 设 ??，?? 是实数，则“??>??”是“??2>??2”的 ??

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知 ??，?? 是两条不同的直线，??，?? 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是 ??

A. 若 ?????，??∥??，则 ??∥?? C. 若 ??⊥??，??⊥??，则 ??∥??

π

B. 若 ??∥??，??∥??，则 ??∥?? D. 若 ??⊥??，??⊥??，则 ??∥??

5. 要得到函数 ??=sin 2??+ 的图象，只需将函数 ??=sin2?? 的图象 ??

3

A. 向左平移 个单位长度

3π

B. 向右平移 个单位长度

3

π

C. 向左平移 6 个单位长度

π

D. 向右平移 6 个单位长度

π

= ?? =1，则 2?? ???6. 已知向量 ?? = ?? ??? = ??

A. 2

??2

??2

B. 3 C. 3 D. 2 3 7. 已知双曲线 ??1：??2???2=1 ??>0,??>0 的右焦点 ?? 也是抛物线 ??2：??2=2???? ??>0 的焦点，??1 与 ??2 的一个交点为 ??，若 ????⊥??轴，则双曲线 ??1 的离心率为 ??

A. 2+1

B. 2 2 C. 2 2?1

D. 3+1

8. 如图，正三棱柱 ?????????1??1??1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，?? 为 ????1 的中点．?? 、 ?? 分别是 ????1 、 ????1 上的动点（含端点），且满足 ????=??1??．当 ??，?? 运动时，下列结论中不正确的是 ??

A. 平面 ??????⊥平面??????1??1 B. 三棱锥 ??1??????? 的体积为定值 C. △?????? 可能为直角三角形

第1页（共9页）

D. 平面 ?????? 与平面 ?????? 所成的锐二面角范围为 0,4

π

二、填空题（共7小题；共35分）

9. 已知等差数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，??4=10，??3=12，则数列 ???? 的首项 ??1= ，通

项 ????= ．

10. 如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积为 cm3，表面积

为 cm2．

11. 已知 sin???cos??=5 0

12. 定义在 ?? 上的奇函数 ?? ?? 满足：当 ??>0 时，?? ?? =?log2??，则 ?? ? = ；使

4

1

1ππ

?? ?? <0 的 ?? 的取值范围是 ．

?????+1≥0,

则 ??=???2???1 的最大值为 ． 13. 已知实数 ??，?? 满足 ??+???1≥0,

3??????3≤0,

14. 若直线 ????+?????1=0 ?????>0 平分圆 ??：??2+??2?2???4??+1=0，则 ??+?? 的最小值

为 ．

15. 若对任意 ??∈ 1,2 ，不等式 4??????2??+1+??2?1>0 恒成立，则实数 ?? 的取值范围

是 ．

1

1

三、解答题（共5小题；共65分）

16. 已知 △?????? 的内角 ??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，且 ??2=??2+??2?????．

（1）求角 ?? 的大小；

（2）若 ??= 3，求 ??+?? 的取值范围．

17. 已知数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 2????+3=3???? ??∈??? ．

（1）求数列 ???? 的通项公式；

（2）设 ????= ??+1 log 3????，记 ????=??+??+?+??，求证：2????<1．

1

2

??

111

18. 如图，在四棱锥 ??????????? 中，????⊥平面????????，底面 ???????? 为平行四边形，∠??????=90°，

????=2????．

第2页（共9页）

（1）证明：????⊥????；

（2）若 ????=????，求直线 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值．

19. 设抛物线 ??：??2=2???? ??>0 的焦点为 ??，过 ?? 且斜率为 ?? 的直线 ?? 交抛物线 ?? 于 ?? ??1,??1 ，

?? ??2,??2 两点，且 ??1??2=?4．

（1）求抛物线 ?? 的标准方程；

（2）若 ??=1，?? 为坐标原点，求 △?????? 的面积．

20. 对于函数 ?? ?? ，若存在 ??0∈??，使 ?? ??0 =??0 成立，则称 ??0 为 ?? ?? 的一个不动点．设函数

?? ?? =????2+????+1 ??>0 ．

（1）当 ??=2，??=?2 时，求 ?? ?? 的不动点；

（2）若 ?? ?? 有两个相异的不动点 ??1，??2，当 ??1<1

求证：??>；

21

（3）若 ?? ?? 有两个相异的不动点 ??1，??2，若 ??1 <2 且 ??1???2 =2，求实数 ?? 的取值范围．

第3页（共9页）

答案

第一部分 1. B 2. D

【解析】??= ??∈?? ??2=1 = 1,?1 ，??= ??∈?? ??2?2???3=0 = 3,?1 ， 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，

则 ??∪??= ?1,1,3 ．

2

所以，命题 ??：???0∈??，??0+2??0+1≤0，

则 ??? 为：???∈??，??2+2??+1>0． 3. D 4. D

【解析】当 ????<0 时，由 ??>?? 不一定推出 ??2>??2，反之也不成立．

【解析】A不正确，因为 ??∥??，可得出 ?? 与 ?? 内的直线位置关系是平行或异面；

B不正确，因为 ??∥??，??∥?? 中的平行关系不具有传递性，平行于同一直线的两个平面可能相交； C不正确，??⊥??，??⊥??，可得出 ??∥?? 或 ?????；

D正确，??⊥??，??⊥??，可根据垂直于同一直线的两个平面平行得出 ??∥??． 5. C

π

π

【解析】??=sin 2??+ =sin2 ??+ ，

36

故要得到 ??=2sin 2??+3 的图象，只需将函数 ??=sin2?? 的图象向左平移 6 个单位． 6. B

= ?? =1， 【解析】因为 ?? = ?? ???

2= ?? 2?2?? ， 所以 ?? 2= ?? 2+ ?? ??? 2=2?? =1， 所以 ?? 2= ?? ???

??? ??? 2?4?? + ??则 2?? = 2?? = 4 ?? ??? 2= 3． 7. A

【解析】抛物线 ??2=2???? 的焦点为 ?? 2,0 ，由 ???? 与 ?? 轴垂直，令 ??=2，可得 ???? =??．

??2

??2

??

??

??

2π

π

双曲线 ??2???2=1 的实半轴为 ??，半焦距 ??，另一个焦点为 ???．

由抛物线 ??2=2???? 的焦点 ?? 与双曲线的右焦点重合，即 ??=2，可得双曲线的焦距 ????? =2??=??． 由于 △??????? 为直角三角形，则 ????? = ????? 2+ ???? 2= 2??． 根据双曲线的定义，得 2??= ????? ? ???? = 2?????，可得 ??=因此，该双曲线的离心率 ??=8. C

【解析】如图，

????

2?1 ??

2

．

=

1

??2 2?1 ??2= 2+1．

第4页（共9页）

当 ??，?? 分别在 ????1，????1 上运动时，若满足 ????=??1??，则线段 ???? 必过正方形 ??????1??1 的中心 ??，而 ????⊥平面??????1??1，所以 平面??????⊥平面??????1??1，故A正确；

当 ?? 、 ?? 分别在 ????1 、 ????1 上运动时，△??1???? 的面积不变，?? 到 平面??1???? 的距离不变，所以棱锥 ?????1???? 的体积不变，即三棱锥 ??1??????? 的体积为定值，故B正确；

若 △?????? 为直角三角形，则必是以 ∠?????? 为直角的直角三角形，但 ???? 的最大值为 ????1，而此时 ????，???? 的长大于 ????1，所以 △?????? 不可能为直角三角形，故C错误；

当 ?? 、 ?? 分别为 ????1 、 ????1 的中点时，平面?????? 与 平面?????? 所成的角为 0，当 ?? 与 ?? 重合时，?? 与 ??1 重合时，平面?????? 与 平面?????? 所成的锐二面角最大，为 ∠??1????，等于 ，

4π

π4

所以平面 ?????? 与平面 ?????? 所成的锐二面角范围为 0, ，故D正确． 第二部分 9. 1，3???2

【解析】设等差数列 ???? 的首项为 ??1，公差为 ??，

??+3??=10,??=1,由 ??4=10，??3=12，得 1 解得 1

3??1+3??=12,??=3.

所以 ????=1+3 ???1 =3???2． 10. 4，14+2 13

【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，面积为 ×3×4=6，有一侧棱垂直

21

于底面，高为 2，

所以其体积：×6×2=4，表面积为 6+×5×2+×3×2+×4× 4+9=14+2 13．

3

2

2

2

1

1

1

1

11. 25，2431 250

1

π

π

π

【解析】提示：由 sin???cos??= 0

524212. ?2， ?1,0 ∪ 1,+∞

【解析】对于定义在 ?? 上的奇函数 ?? ?? 满足：当 ??>0 时，?? ?? =?log2??，则 ?? ?4 =??? 4 =? ?log24 =log24=?2．

由于奇函数 ?? ?? =?log2?? 在 0,+∞ 上是减函数，故 ?? ?? 在 ?∞,0 上也是减函数． 再由 ?? ?1 =??? 1 =0，可得 ?? ?? <0 的 ?? 的取值范围是 ?1,0 ∪ 1,+∞ ． 13. 0

【解析】由 ??=???2???1 得 ??=2???2?2，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

1

??

1

1

1

1

1

第5页（共9页）

平移直线 ??=????，

2

2

1??1

由图象可知当直线 ??=2???2?2 过点 ?? 时，直线 ??=2???2?2 的截距最小，此时 ?? 最大， ??+???1=0,??=1,由 解得

??=0,3??????3=0,

即 ?? 1,0 ，代入目标函数 ??=???2???1，得 ??=1?1=0， 所以目标函数 ??=???2???1 的最大值是 0． 14. 3+2 2

【解析】圆 ??：??2+??2?2???4??+1=0 的圆心坐标为 1,2 ， 因为直线平分圆， 所以直线过圆心 1,2 ， 所以 ??+2??=1， 所以

1111

+= ??+2?? + ????????2????

=3++

????

2????

≥3+2 ?

????=3+2 2,当且仅当 ??= 2??= 2?1 时取等号． 15. ?? ??<1或??>5

【解析】令 2??=??，因为 ??∈ 1,2 ，所以 ??∈ 2,4 ，所以当 ??∈ 2,4 时，??2?2????+??2?1>0 恒成立，即有 ????? 2>1 恒成立，解得 ??>??+1 或 ??4 解得 ??<1或??>5，所以实数 ?? 的取值范围是 ?? ??<1或??>5 ． 第三部分

16. （1） 由已知得：????=??2+??2???2， 故 cos??=

??2+??2???2

2????

????

1

21

??11??1

=2????=2，

因为 0

3π

（2） 因为 ??+??>??，所以 ??+??> 3，

又 ??2=3=??2+??2?????= ??+?? 2?3????≥ ??+?? 2? ??+?? 2= ??+?? 2，

4

4

3

1

即 ??+?? 2≤12，所以 ??+??≤2 3（当且仅当 ??=??= 3 时取到等号） 综上： 3

17. （1） 当 ??=1 时，2??1+3=3??1，得 ??1=3， 当 ??≥2 时，2????+3=3????,??①

2?????1+3=3?????1,??②

①?②，得：2????=3?????3?????1，即 ????=3?????1，

第6页（共9页）

平移直线 ??=????，

2

2

1??1

由图象可知当直线 ??=2???2?2 过点 ?? 时，直线 ??=2???2?2 的截距最小，此时 ?? 最大， ??+???1=0,??=1,由 解得

??=0,3??????3=0,

即 ?? 1,0 ，代入目标函数 ??=???2???1，得 ??=1?1=0， 所以目标函数 ??=???2???1 的最大值是 0． 14. 3+2 2

【解析】圆 ??：??2+??2?2???4??+1=0 的圆心坐标为 1,2 ， 因为直线平分圆， 所以直线过圆心 1,2 ， 所以 ??+2??=1， 所以

1111

+= ??+2?? + ????????2????

=3++

????

2????

≥3+2 ?

????=3+2 2,当且仅当 ??= 2??= 2?1 时取等号． 15. ?? ??<1或??>5

【解析】令 2??=??，因为 ??∈ 1,2 ，所以 ??∈ 2,4 ，所以当 ??∈ 2,4 时，??2?2????+??2?1>0 恒成立，即有 ????? 2>1 恒成立，解得 ??>??+1 或 ??4 解得 ??<1或??>5，所以实数 ?? 的取值范围是 ?? ??<1或??>5 ． 第三部分

16. （1） 由已知得：????=??2+??2???2， 故 cos??=

??2+??2???2

2????

????

1

21

??11??1

=2????=2，

因为 0

3π

（2） 因为 ??+??>??，所以 ??+??> 3，

又 ??2=3=??2+??2?????= ??+?? 2?3????≥ ??+?? 2? ??+?? 2= ??+?? 2，

4

4

3

1

即 ??+?? 2≤12，所以 ??+??≤2 3（当且仅当 ??=??= 3 时取到等号） 综上： 3

17. （1） 当 ??=1 时，2??1+3=3??1，得 ??1=3， 当 ??≥2 时，2????+3=3????,??①

2?????1+3=3?????1,??②

①?②，得：2????=3?????3?????1，即 ????=3?????1，

第6页（共9页）

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