第一章第四讲集合习题课

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第3课时习题课

知识整合

一、网络构建

二、规律小结

在处理与集合有关的题目时应注意： 1．集合的属性(点集、数集、图形集等)．

2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合A＝{a1，a2，a3，?，an}的子集的个数为2n. 4．空集优先的原则，如已知A?B，则首先要考虑A＝?. 5．集合运算中的一些结论： (1)若A∩B＝A则A?B； (2)若A∪B＝B，则A?B； (3)若A∩B＝A∪B，则A＝B； (4)若A?B，则?UA??UB； (5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)；

(6)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)．

6．借助Venn图或数轴解题．

题型讲解

1．集合是一个不加定义的概念，只对其作了描述性的说明，把一些确定的对象集在一起就构成一个集合，应了解集合中的元素是确定的、互不相同的、没有顺序的．

[例1] 若集合A＝{1，x}，B＝{x2,0}，有没有x的值，使A＝B?

[分析] 两集合相等，则其元素完全相同，同一集合内的元素应互不相同． ?x＝0

[解析] ∵A＝B，且1≠0，∴?2无解，故不存在x的值使A＝B.

?x＝1

2．集合的表示方法有列举法、描述法、图示法，用列举法表示集合，应将元素一一列出，或将其规律体现出来；描述法是表示集合的重要方法，要对其中的元素有什么共同属性，代表元素是什么清清楚楚；图示法常用于表达集合之间的关系和抽象集合．

[例2] 已知集合M＝{x|x＝a＋b2，a，b∈Q}． (1)判断下列元素与集合间的关系． 12

①3＋22；②2－1；③3；④－1； ⑤(2＋2)(3－2)；⑥

. 3＋2

(2)若x1∈M，x2∈M，求证：x1＋x2∈M，x1·x2∈M.

[分析] 本题关键点是求解描述法中，代表元素的性质，即a，b∈Q. 11

[解析] (1)①3＋22显然a＝3，b＝2都属于Q，所以是集合M的元素； ②a＝－1，b＝1，是集合M的元素；

211

③3＝0＋3·2，a＝0，b＝3是集合M的元素；

④－1＝－1＋0×2，a＝－1，b＝0是集合M中的元素； ⑤(2＋2)(3－2)＝4＋2，a＝4，b＝1是集合M中的元素；

3－213131

⑥＝＝－·2，a＝7，b＝－7是集合M中的元素． 3＋2?3＋2??3－2?77(2)设x1＝a1＋b12，x2＝a2＋b22，其中a1，a2，b1，b2∈Q， x1＋x2＝a1＋b12＋a2＋b22 ＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)2，又a1＋a2，b1＋b2∈Q， ∴x1＋x2∈M

x1x2＝(a1＋b12)(a2＋b22)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)2，又a1a2＋2b1b2，a1b2＋a2b1都属于Q， ∴x1x2∈M.

3．元素与集合的关系和集合与集合的关系要加以区分，要正确运用“∈”，“?”，“?”，“”等数学符号．准确理解集合之间的关系．

x1[探究] 在上题(2)中，x1－x2，x(x≠0)是否属于M，同理可证明均属于M(证明可由学生自己完

2成)．

[例3] (微山一中2012～2013高一十月份月考试题)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，则下列表示正确的是( )

A．1?A B．{0}∈A C．??A D．?∈A

[分析] 首先分清是集合与集合之间的关系，还是元素与集合之间的关系，再弄清集合中元素的属性，然后作出判断．

4．熟练掌握集合的交、并、补运算，这是高考考查的重点． [例4] 已知集合U＝{x∈R|1＜x≤7}， A＝{x∈R|2≤x<5}，B＝{x∈R|3≤x＜7}，求 (1)(?UA)∩(?UB)； (2)?U(A∪B)； (3)(?UA)∪(?UB)； (4)?U(A∩B)．

(5)观察上述结果你能得出什么结论．

[分析] 利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常用的方法．本题可先在数轴上画出集合U、A、B，然后求出A∩B，A∪B，?UA，?UB，就能逐一写出各小题的结果．

[解析] 利用数轴工具，画出集合U、A、B的示意图，如下图所示．

可以得到，A∩B＝{x∈R|3≤x＜5}． A∪B＝{x∈R|2≤x＜7}，

?UA＝{x∈R|1＜x＜2或5≤x≤7}，?UB＝{x∈R|1＜x＜3或x＝7}．规律总结：上述发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？如图．

∴?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)

对于?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)可由读者仿照上面来证明．同学们不妨再验证一个上述结论．

已知集合U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求?U(A∪B)，?U(A∩B)，(?UA)∩(?

UB)，(?UA)∪(?UB)．

[分析] 可以把U，A∪B，A∩B，?UA，?UB的元素分别求出来，再进一步求出所要求的集合，也可以直接利用Venn图来直观地求解．

作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．

[点评] 可用Venn图研究(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)与(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决这一类集合问题．

[解析] ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∴?U(A∪B)＝{6,7,9}． ∵A∩B＝{5,8}，

∴?U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}

∵?UA＝{1,3,6,7,9}，?UB＝{2,4,6,7,9}．

∴(?UA)∩(?UB)＝{6,7,9}，(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

5．利用文氏图巧解集合题

[例5] (河南安阳一中分校2012～2013学年第一学期阶段性测试)设全集U＝{x|x≤8，x∈N＋}，

若A?U，B?U，B∩(?UA)＝{2,6}，A∩(?UB)＝{1,8}，(?UA)∩(?UB)＝{4,7}，，则( )

A．A＝{1,8}B＝{2,6} B．A＝{1,3,5,8}B＝{2,3,5,6} C．A＝{1,8}B＝{2,3,5,6} D．A＝{1,3,8}B＝{2,5,6}

[解析] 作出Venn图如图所示．

∵(?UB)∩A＝{1,8}，(?UB)∩(?UA)＝{4,7}， ∴?UB＝{1,4,7,8}，∴B＝{2,3,5,6}．又∵(?UA)∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{4,7} ∴?UA＝{2,4,6,7}∴A＝{1,3,5,8}．故选B.

规律总结：从本例解法中可以很清楚地看出Venn图在解集合题中的价值．在此题中，我们也可以发现?UB＝?UB∩(A∪?UA)＝(?UB∩A)∪(?UB∩?UA)．

6．解答信息迁移题时，先要准确理解所给条件提供的信息，进行必要的提炼加工，转化为所学知识，利用已掌握方法，加以解答．

[例6] 对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题：

(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D； (2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A、B；

(3)若A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素． [解析] (1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．

(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，∴A＝{1,2}，B＝{2}．

(3)集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．

故若A中有3个元素，B中有4个元素，

则A×B中有3×4＝12个元素．

定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为( )

A．9 B．14 C．18 D．21

规律总结：新定义、信息迁移类型的题目往往比较新颖，通过读题，一定要弄懂运算的规律．

基础巩固训练

1．(2012～2013山西太原高三第二次模拟)已知集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则下图阴影部分表示的集合为( )

A．{0,2} B．{0,1,3} C．{1,3,4}