第七章 应力状态和强度理论

第七章

应力状态和强度理论

§7-1 概述 §7-2 平面应力状态下的应力分析、主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用

§7-1 概述一、一点的应力状态

应力分析和强度理论

1. 一点的应力状态 ：通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况。

2.研究应力状态的目的 ：找出该点的最大正应力和切应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。

二、研究应力状态的方法—单元体法1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。

应力分析和强度理论Z sz tzy tzx txy txz tyz sx dz sy

sy tyz

tyx txzO sx tzy dy txy tzx

tyx

Ydx

z X O

sz

y

x

2.单元体上的应力分量

应力分析和强度理论

(1)应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。(2)面的方位用其法线方向表示，而且有：t yz t zy , t zx t xz , t xy t yx

3.截取原始单元体的方法、原则 ①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体

②单元体各个面上的应力已知或可求； ③几种受力情况下截取单元体方法：

应力分析和强度理论F A s s F/A F Me B Me

A

B

t Me/Wp

a) 一对横截面，两对纵截面 F

b) 横截面，周向面，直径面各一对 C

Me

Me

c) 同b),但从 上表面截取

s

t

C

s

FA

应力分析和强度理论

BC

sA

A

sA

B

tB

sC

tCC

sC

三、应力状态分类(按主应力)

应力分析和强度理论

1. ①主平面：单元体上切应力为零的面； ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；z sz tzx txz sx txy tyx z' tzy tyz sy y 旋转 s2 y' s3

x'

s1

x

③主应力：主平面上的正应力，用s1 、s2 、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。

应力分析和强度理论2.应力状态按主应力分类：①只有一个主应力不为零称单向应力状态； ②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态); ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态); ④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。

四、强度理论

应力分析和强度理论

1.简单应力状态下强度条件可由实验确定 2.一般应力状态下，材料的失效方式不仅与材料性质有 关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关； 3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针 对每一种应力状态做无数次实验); 4.强度准则： ①金属材料的强度失效

分为：屈服与断裂； ②强度准则(强度理论): (假说—实践—理论); ③通过强度准则，利用单向拉伸实验结果建立各种应力 状态下的失效依据和相应的设计准则。

两类强度理论

1. 第一类强度理论(以脆 性断裂破坏为标志) 2. 第二类强度理论(以 塑性屈服破坏为标志)

应力分析和强度理论

§7-2平面应力状态下的应力分析、主应力一、平面应力分析的解析法1.平面应力状态图示：sy

sx

sx sy

sx

sx txy

tyx

txy

sy

tyx

2.任意a角斜截面上的应力y sy t

应力分析和强度理论n

sx

sxtxy sy tyx x

txy sx sx

sα

adAsy

atα tyx x

n 0: s a dA (s x dA cos a ) cos a (s y dA sin a ) sin a (t xy dA cos a ) sin a (t yx dA sin a ) cos a 0

t 0:t a dA (s得

x

dA cos a ) sin a (s y dA sin a ) cos a

(t xy dA cos a ) cos a (t yx dA sin a ) sin as x s y s x s y cos 2 a t s a 2 2 s x s y t sin 2 a t xy cos 2 a a 2 xy

0

sin 2 a

符号规定：

应力分析和强度理论

a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负

s—拉为正，压为负t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位：2t

①由主平面定义，令t =0,得：

tan 2 a 0

xy

s

x

s

y

可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。 ②令ds a da 0 得： tan2a0

2t

xy

s

x

s

y

即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。

③主应力大小：s s' s " x

应力分析和强度理论 s x

s 2

y

s 2

y

t

2

2 xy

(s ' s " )

④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3 ⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应) txy 箭头指向第几象限 (一、四),则s'(较大主应 力)在第几象限，即先判断 s'大致方位，再判断其与 算得的a0 相对应，还是与 a0+90o相对应。 ⑥ s ' s " s x sy

s' s" a0* txy a0* s' s"a

s

s

a 90

o

4.极值切应力： ①令：dt a da 0 ,可求出两个相差90o

应力分析和强度理论的tg 2 a 1 sx

sxy

y

2t

a1,代表两个相互垂直的极值切应力方位。②极值切应力：t' t" s s 2 2

x

y

t

2 xy

s s" 2

③

tg 2 a

0

1 tg 2 a 1

(极值切应力平面与主平面成45o)

a=30o 斜截面上的应力； ②主应力并画出主单元体；③极值切应 力。 40s' asa ta 20 30 s" s 30 40 30 40 cos 60 o ( 20 ) sin 60 o a 2 2 解： 1 ) 29 . 8 MPa 30 40 ta sin 60 o ( 20 ) cos 60 o 20 . 3 MPa 2 s ' s '' 30 40 2 3 5 .3 M P a 30 40 2 20 2

4 5 .3 M P a2 2

例7-1 图示单元体，试求：①

s"

40 20 s' 14.9o 30

单位：MPa

2)

s 1 s ' 3 5 .3 M P a , s tg 2 a 0 2 20 30 40

0, s

3

s '' 4 5 .3 M P ao

a 0 1 4 .9 , 主 单 元 体 如 上

3)

t'

t ' '

s ' s ' '2

40 . 3 MPa

4 ) 讨论并证明：

s ' s " s

a

s

a 90 o

C (同一单 )

元体任意垂直平面上正

应力之和为常数

例7-2 分析圆轴扭转时的应力状态。MeA B s1 D C Me s3 45o x t -45o

应力分析和强度理论

分析圆轴扭转时的应力状态解： 1 )围绕圆轴外表面一点取 单元体 ABCD : t M2e

/Wn

s' 0 2) s '' 2 tg 2 a0

0 2

t2 t

t a 0 45 o 0 3 ) s 1 s ' t , s 2 0 , s 3 s '' t 主单元体如右

s3

ABCD

s1

4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴 线成±45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的切应力；

5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断； 6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。

二、平面应力分析的图解 法—应力圆1.理论依据：

应力分析和强度理论

s x s y s x s y cos 2 a t xy sin 2 a s x' 2 2 s x s y t sin 2 a t xy cos 2 a x 'y ' 2

s

x'

s

x

s 2

y

t 2 'y ' x 2

s

x

s 2

y

t2 xy

2

2

②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y‘为： 以[( s x s y ) / 2 , 0 ]为圆心，以 [( s x s y ) / 2 ] 2 t 2 xy

为半径的圆。

2.应力圆的绘制： ①定坐标及比例尺； ②取x面，定出D( s x , t xy )点；取y面，定出D‘( s y , t yx)点； ③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；

应力分析和强度理论y tyx sx sy n ata sa

t sa,ta E sx x G1 t ' 2a B1 O s" D(sx, txy) 2a0 C A A1 s'

txy

B

txy

s

sy

tyx

D' (sy, tyx)

G2 t"

3.应力圆的应用

应力分析和强度理论

①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的 应力； ②角度对应关系：应力圆上半径转过2a,单元体上坐标轴转 过a; ③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向 相同；④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点， 按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。 ⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上切应力t=0,确 定D转过的角度；D转至s轴正向A1 点代表s‘所在主平面，其转 过角度为2 a * ,转至s轴负向B1点

代表s"所在主平面； 0

⑥确定极值切应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点 为t’,纵轴坐标最小的G2点为t”,作用面确定方法同主应力。

例7-3 用应力圆法重解例7-1。40 sa a ta D'(-40,20)

应力分析和强度理论2)主应力及其方位；

求：1)a=30o斜截面上的应力；

2030 x

3)极值切应力。 40.3 t

单位：MPa-45.3s 30o 29.8MPa,t 30o 20.3MPa

(29.8,20.3) C O 60o s 35.3

s 1 35.3MPa,s 2 0,s 3 45.3MPas 1与x轴夹角：a * 29.8 o / 2 14.9 o 0t' 40.3MPa t"

29.8o D(30,-20) -40.3

例7 4 平面应力状态如图所示，试用应力圆和解析法分别求 出主应力和斜截面AB上的剪应力t。(应力单位：MPa)解：①应力圆法 : 1)建立s t坐标系； 2)定点D(80,0), 并作直线 s 60 o 50 MPa ; 3)作与s轴倾角为120o的斜直线l分别交s轴和 线于D'、C两点，且有|D'C|=|CD|;y

A

80

60o

50 t B 80

xs 50 MPa

t 50

60 o

4)以C为圆心，CD为半径画圆，既得所求的应力圆； 5)由应力圆量得：s1=80MPa,s2=40MPa,s3=0, AB截面：t=17.3MPa

②解析法： 1)建立x—y坐标系如上图： 2) s s x s y s x s y cos 2 a t sin 2 aa

2 80 s y 2

2 80 s y 2

xy

3)cos( 2 60 o ) 50 MPa

ta

sin 2 a t xy sin 2 a 2 80 40 sin( 2 60 o ) 17 . 3 MPa 2

s

x

s

y

解得：sy=40MPa ∴s1=80MPa,s2=40MPa,s3=0

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