高等数学自测题第13章 自测题2答案

第13章 自测题2答案

一、选择题（每小题4分） 1、

设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I??ex?y22ds不OM相等的积分是1(A)?e2x2dxy2dy0(B) ?1e2021(C)?erdr0(D) ?er2dr0

2、

设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答： (A) 3、

设C为沿x2+y2=R2逆时针方向一周，则用格林公式计算，

答：（D） 4、

答 ( ) 答( )

曲线积分

(A)与曲线L的形状有关 (C)等于零 答：（A）

二、填空题（每小题4分） 1、

的值

(B)与曲线L的形状无关 (D)等于2π

答( )

设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且f(x)=_______. 答：x2+c 2、

设 则 答：10 3、

则

是由A(－2，3)沿y=x2－1到点M(1，0)，再沿y=2(x－1)到B(2，2)的路径，

________.

设力 的模 质点沿

, 的方向与 相同，则在力 的作用下，

曲线L： 正向绕行一周，力 所做的功可用曲线积分表示为________________.

答： 4、

??ydx?xdy?Lx2?y2

若 是某二元函数的全微分，则m=______.

答：1

三、解答题（每小题6分） 1、求 自x=1到x=e之间的一段曲线的弧长。

2、设心脏线L的极坐标方程为r=a(1－cosθ) (0的形心坐标( ).

≤θ≤2π)，其线密度为常量μ，求L3、求质点M(x , y)受作用力 3、

3 . 求质点M(x , y)受作用力 椭圆4x+y=4顺时针方程的一周。

2

2

沿路径L所作的功W. L是

沿路径L所作的功W. L是沿

4、

求半径为R的均匀半圆周L(线密度为δ=1)对于位于圆心的单位质量的质点的引力。

5、设质线L的方程为 L的质心坐标(ξ,η).

??x?cos??参数方程?y?sin44 ，L上的任意点(x,y)处的线密度为 求质线

tt? 解：L 0≤t≤

t?sin42

ds?4costsintcos4tdt

xyx?y对L方程质线的线密度质线L的质量

m???而言，变量x与y是对等的，故?.??.

??dsL

???xyx?y?2ds4L?coscos?24tsin4t40t?sin3t?4costsint?cos4t?sin4tdt?4?sin3tcostdt0

?13

1m?2?????12?y?ds7L3?sintcostdt0

?310

3??3 , ??1010?? 故质心坐标为

6、

3??x?acos?利用曲线积分计算星形线?所围区域面积。3?y?asin??

7、

计算曲线积分 式中

y=x到点O(0，0)再沿直线y=0到点B(2，0)的路径。

2

为由点A(－1，1)沿曲线

解：记点C(0,1)

?AO ?(??OC?(12xy?e)dx?(cosy?xe)dyyyCA

???(ey?12x?ey)dxdyD

10??dy?12xdy?30??y ?1??cosydy??sin1OC?0??1??(12x?e)dx?b?eCA0

((故?AO??AO??????OC?CA?CA?OC?CA

?3?sin1?b?e

??3?e?sin1

?(12xy?ey)dx?(cosy?xey)dyOB

??21?dx?20

((故

?AOB??AO??OB

??1?e?sin1

8、

求二元可微函数u=φ(x,y)，使曲线积分

及 都与积分路径无关。并适合φ(1,0)=1.

四、证明题

1、（6分）

证明：用反证法，倘若存在(x0,y0)?L，使

f(x0,y0)?0，则存在??0，当x?x0??

时，

相应L上的一段记为L，使当(x,y)?L1时，

1

f(x,y)?1f(x0,y0)?02。从而

1f(x0,y0)dsL12

?f(x,y)dsL??f(x,y)dsL1?

l12?f(x0,y0)?0 （l是L的长度）

1

1

注：若(x0,y0)是L的端点，则只需

x0?x?x0??x?x0??改为

或x0???x?x0则类似可证

学生不讨论此点，不扣分。 2、（7分）

设L是正方形域D：0≤x≤1, 0≤y≤1的正向边界，f(x)是正值连续函数，试证：

3、（7分）

证明：积分 与路径无关，式中L是不与直线x+y=0相交的任意路径。并求

的值。

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