第30-34课时 参数取值问题的题型与方法

第30－34课时： 参数取值问题的题型与方法

（Ⅰ）参数取值问题的探讨

一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x?R时，不等式a+cos2x<5?4sinx+5a?4恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x?R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<5a?4?a+5

要使上式恒成立，只需5a?4?a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=?2sin2x+4sinx+1=?2(sinx?1)2+3?3,

∴5a?4?a+5>3即5a?4>a+2

?a?2?0?a?2?04?上式等价于?5a?4?0或?，解得?a<8.

5?5a?4?0?2?5a?4?(a?2)2

说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1?2sinx,故若把sinx换元成t,则

可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

另解：a+cos2x<5?4sinx+5a?4即

a+1?2sin2x<5?4sinx+5a?4,令sinx=t,则t?[?1,1], 整理得2t2?4t+4?a+5a?4>0,( t?[?1,1])恒成立。 设f(t)= 2t?4t+4?a+5a?4则二次函数的对称轴为t=1,

? f(x)在[?1，1]内单调递减。

? 只需f(1)>0,即5a?4>a?2.(下同)

2

例2．已知函数f(x)在定义域（??，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(k?sinx)?f(k2?sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。

22

分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k?sinx≤k?sinx≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于

?k2?1?sin2x????(1)?对于任意x∈R恒成立。 ?2112?k?k??(sinx?)???(2)42?不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即?1≤k≤1----------(3) 不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2?k+

14≥[(sinx?12)2]max=

94,

即k≤?1或k≥2,-----------(4)

由（3）、（4）求交集，得k=?1,故存在k=?1适合题设条件。

说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。 例3．设直线l过点P（0，3），和椭圆取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：

APPBx29?y24?1顺次交于A、B两点，试求

APPB的

=?xAxB，但从此后却一筹莫展, 问题的

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根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

APx思路1: 从第一条想法入手，=?A已经是一个关系式，但由于有两个变量

PBxBxA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜

率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y

得到关于x的一元二次方程

求根公式

xA= f（k），xB = g（k）

AP/PB = —（xA / xB）

得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围 所求量的取值范围

解1：当直线l垂直于x轴时，可求得

APPB??15；

圆方程，消去y得?9k2?4?x2?54kx?45?0，

解之得 x1,2??27k?69k2当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：y?kx?3，代入椭

?5. 29k?4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.

当k?0时，x1?所以

APPB??x1x22?27k?69k9k22?5?42，x2?=1??27k?69k?59k?418k222，

18=

?9k?29k9k?29k2?52=1??5?59k?29k29?29?5. k2由 ??(?54k)?180?9k?4??0, 解得 k所以 ?1?1?APPB?59，

189?29?5??15??k215，

综上 ?1?

.

思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原

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因在于

APPB??x1x2不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有

了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围

解2：设直线l的方程为：y?关于所求量的不等式y得 kx?3，代入椭圆方程，消去?9k2?4x?54kx?45?0 （*）

?2?54k?x?x?,2122?x11324k?9k?4??，则，???2?则? 令. 2x45?45k?202?xx?.122?9k?4?52在（*）中，由判别式??0,可得 k?，

9从而有 4?解得

15324k45k22?20?365，所以4???15???1.

1??2?365，

???5.结合0???1得

APPB??15综上，?1?.

说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

二、直接根据图像判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例4．（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tan?的取值范围是 （ ）

(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(,)

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分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念．本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设P4与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以

tan??12yP4P2P4'DP3ACP1P2'P3'P3P4PP4BHx．由于在四个选择支中只有C含有

12，

图2

故选C．

当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化2y1=(x-1) y 成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．

说明 由本题可见, 0３年试题强调实验尝试, 探索猜想在y2=logax 数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．

1

x

o 2

y

P2C(2,1)

D(0,2)

P3

P1

x例

A(0,0)P4B(2,0)P5．当图1 x?(1,2)时，不等式(x?1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

解：设y1=(x?1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x?(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

故loga2>1,a>1,?1

2例6．函数y=(x?1)log3a?6xlog3a+x+1，其中在x?[0,1]时函数恒正，求a的范围。 解：排除对数log3a的干扰，选x为“主元”化函数为 y=f(x)=(log32a?6 log3a+1)x+1?log32a, x∈[0,1].

一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x轴的上方。故有： ?a?011?3?f(0)?0??a?3,??1?log3a?33. ?f(1)?0?说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

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ⅰ）??a?0?f(m)?0或ⅱ）??a?0?f(n)?0亦可合并定成??f(m)?0?f(n)?0?f(m)?0?f(n)?0

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有?

例7．对于满足|p|?2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[?2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x?1)p+x2?2x+1>0,设f(p)= (x?1)p+x2?2x+1,则f(p)在[?2,2]上恒大于0，故有：

2??x?3或x?1?f(?2)?0?x?4x?3?0即?解得：? ?2f(2)?x?1或x??1????x?1?0∴x3.

例8.设f(x)=x2?2ax+2,当x?[?1,+?)时，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)?a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[?1,+?)时恒大于0的问题。

解：设F(x)= f(x)?a=x2?2ax+2?a.

ⅰ)当?=4（a?1)(a+2)<0时，即?2

????0?(a?1)(a?2)?0??即?a?3?0 ?f(?1)?0?a??1,??2a????1,?2?得?3?a??2;

综合可得a的取值范围为[?3，1]

2

y -1 o x ?a?0说明：若二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有?

??0?若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求

解。

例9．关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。

y 分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。

4 解法1（利用韦达定理）：

设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 ???0???x1?x2??(4?a)?0 即?x?x?4?02?1o x ?(4?a)2?16?0?a?0或a??8?? ??a??4?a??4解得a??8.

解法2（利用根与系数的分布知识）：

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