高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0061 192

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆

一．基础题组

1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )

A ．1

B ．13-

C ．23-

D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．

3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．

二．能力题组

1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上

的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）

A.4515-

B.2515

- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。若过点11,

2P ?? ???

的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。 3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.

三．拔高题组

1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．3-a

B ．23

C ．13<<-a 或2

3>a D ．3-

22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A ．53-或35-

B ．32-或23-

C ．54-或45-

D ．43-或34

- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （ ）

A. 3

B. 2

21 C. 22 D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）

A.（1，3)

B. (1,4)

C. (2, 3)

D. (2, 4)

5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ?的最大值是

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；

2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 【重点知识梳理】 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

??

??

?l ⊥αl ?β?l ⊥α 性

质定理 如果两条直线垂直于同一个

平面，那么这两条直线平行

??

???

a ⊥α

b ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言 判定 定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

??

???l ⊥αl ?β?α⊥β 性质 定理

如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

?

???

?α⊥β

α∩β＝a l ⊥a l ?β

?l ⊥α (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

(2)线面角θ的范围：θ∈?

??

?0，π2.

4．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

【高频考点突破】

考点一直线与平面垂直的判定与性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

【变式探究】 (·山东卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F

分别为线段AD ，PC 的中点．

求证：(1)AP ∥平面BEF ；

(2)BE ⊥平面PAC.

所以四边形BCDE 为平行四边形，

因此BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ，

所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE.

因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC.

又AP∩AC ＝A ，AP ，AC ?平面PAC ，

所以BE ⊥平面PAC.

考点二 平面与平面垂直的判定与性质

【例2】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．

求证：(1)CE∥平面PAD；

(2)平面EFG⊥平面EMN.

规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，

a?α?α⊥β)．

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

【变式探究】 (·江苏卷)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC.

考点三线面角、二面角的求法

【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(2)证明：AE⊥平面PCD；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

(1)解在四棱锥P－ABCD中，

(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．

由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD. 因此∠AME 是二面角A-PD-C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得

PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a.

在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM·PD ＝PA·AD ， 则AM ＝PA·AD PD ＝a·233a 21

3a

＝277 a. 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144.

所以二面角A-PD-C 的正弦值为144.

规律方法 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂

线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面A BCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明PA∥平面EDB；

(2)证明PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C－PB－D的大小．

【真题感悟】

1.【高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，

6AB =，C 3B =．

（1）证明：C//B 平面D P A ；

（2）证明：C D B ⊥P ；

（3）求点C 到平面D P A 的距离．

2.【高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .

（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V

，求12V V 的值．

（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC

CD PD =?=??；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136

BCE V S DE BC CE DE ?=?=??.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2DE CE CD ==，于是 12123 4.16

BC CD PD V CD PD V CE DE BC CE DE ???===??? 3.【高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。

（I ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；

（II ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积。

4.【高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

【答案】证明见解析

【解析】

(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC 得

GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE

又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.

又,HE GH ?平面EGH ，HE GH H ?=，所以BC ⊥平面EGH ，

又BC ?平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH

5.【高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD 中，

//,,2AD BC BAD AB BC π

∠==12

AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ?沿BE 折起到图2中1A BE ?的位置，得到四棱锥1A BCDE -.

(I)证明：CD ⊥平面1

AOC ； (II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值.

由图1可知，122AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =?=， 从而四棱锥1A BCDE -的为

23111223326

V S AO a a =??=??=， 由3226

a =6a =. 6.【高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)

(Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论.

(Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEG

A B F H E D

C G C

D

E A B

7.【高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，

（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥三棱锥E ACD -的体积为63

，求该三棱锥的侧面积. 【答案】（I ）见解析（II ）3+25

【解析】

（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ，

8.【高考浙江，文18】（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C 中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====，在底

面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.

（1）证明：11D A BC A ⊥平面；

（2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.

【答案】(1)略；7

所以17sin 8

A BF ∠= 9.【高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥PABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点

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