三年级奥数-逻辑推理 (1)

第十一讲：逻辑推理

教学目标

1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法：列表、假设、对比分析法等 2. 培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口. 3. 能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题

知识精讲

逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。

一列表推理法

逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.

二、假设推理

用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．

解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设

模块一、列表推理法

【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹

二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？

【解析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹．由

第二盘看出，小红不是马辉的妹妹．将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表．

小丽刘刚马辉李强小英小红小丽刘刚马辉李强小英小红××××××√×√×√××

刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹．

【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运

动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？

【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“√”表示是，

“×”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“√”，可推出其它两格是“×”

王文 张贝 李丽 跳伞 田径 游泳 √ × × × √ 由⑴⑶可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由⑶可知，李

丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员．

【巩固】 李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门

课的教学，每人教两门．现知道： ⑴ 顾锋最年轻；

⑵ ⑵李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；

⑶ ⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大； ⑷ ⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；

⑸ 刘英与语文老师是邻居．问：各人分别教哪两门课程？

【解析】 李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育．由⑴⑶⑷推知顾锋教数学和政治；

由⑵推知刘英教体育；由⑶⑸推知李波教图画、语文．

【巩固】 王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队

长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？

【解析】 根据条件⑵和⑶，王平和中队长的成绩不相同，中队长比宋丹的成绩差．，可以断定，王平不是

中队长，宋丹也不是中队长，只有韩涛当中队长了． 大队长 中队长 小队长 王平 宋丹 韩涛 × × √ 王平和宋丹两人谁是大队长呢？由⑴和⑶，韩涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可

以推断出按成绩高低排列的话，宋丹的成绩比中队长（韩涛）的成绩好，韩涛的成绩比大队长的成绩好．这样，宋丹、韩涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平．

【例 2】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明

不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？

【解析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系．三

者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表．

我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件⑴得到表1，由条件⑵、⑶得到表2，

由条件⑷得到表3．

因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表2可填全为表5．

由表5知农民在北京工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在北京工作，可以将表1可填全完为表4 由表4和表5知得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津，是教师；李刚住在北京，是农民．

方法二：由题目条件可知：席辉不在上海工作，而在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农民，那么席辉只能是教师，不在北京工作，就只能是在天津工作，那么张明在上海工作，是工人。李刚在北京，是农民。

【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已

知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人． 求这三人各自的籍贯和职业．

【解析】 由题意可画出下面三个表：

将表3补全为表4．由表4知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由此可将表1补

全为表5．

所以，甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人．

方法二：将能判断的条件先列入图表中，广西人是教师，但是乙不是广西人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演员。在对应的地方打上“√”，对应的行列均打“×”。但是辽宁人不是演员，所以乙不是辽宁人，乙就是山东人，所以甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人。

【巩固】 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所

小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？

【解析】 这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的

表1、表2、表3表示：

因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。

由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。

【巩固】 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；

小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？

【解析】 这道题目并不难，聪明的小朋友思考一下就能得到答案，但是今天我们通过这道题目一起

来学习一个十分有用的方法：列表分析法。由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民， 于是得到右上表。

因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是

教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。

例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题

时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。

需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

【例 3】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；

⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是： ．

【解析】 律师、教师、警察．由⑶可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由⑸知乙不是律师，又由⑷

可知甲是律师．于是由⑴和⑶知丙不是教师，由⑵和⑸知丙不是医生，从而丙是警察．再由⑵知乙是教师，丁是医生．

列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）： 甲 乙 丙 丁 教师 ×⑴ √ ×⑴⑶ × 医生 × ×⑵ ×⑵，⑸ √ 律师 √ ×⑸ ×⑶ ×⑷ 警察 × × √ ×

【巩固】 甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地．

甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．”

假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？ 【解析】 因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真

话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾．所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话．

因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广

州”是真的．由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话．所以，何伟住在南京．

【例 4】 甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他

们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？

【解析】 由⑴⑵⑷可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译．由下表看出，甲

会的另一种语言不是中文就是英语．

中甲乙丙丁

英

法

日

×√×

××

先假设甲会说中文．由⑵知，丁也会中文；由⑴知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、

法语（见左下表：由⑴⑷推知乙会中文和法语；再由⑶及每人会两种语言，推知丁会英语（见右下表）．结果符合题意．

中甲乙丙丁

英法日

中甲乙丙丁英法日√××√××√√

√×

×

再假设甲会说英语．由⑵知，丁也会英语；由⑴知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中

文和法语（见左下表）；由⑴⑷ 推知，乙会中文和日语；再由⑶及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表）．右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾．假设不成立．

中甲乙丙丁

英

法

日

√××√√×√××√√×√√××中甲乙丙丁英法日×√×√

×√

×√×√×

×√×√√××√√×√××√√×

所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语．

【巩固】 宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、

“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？

【解析】 由⑵知，宝宝不是跳高冠军和大作家；由 ⑸知，贝贝不是大作家；由⑹知，贝贝、聪聪都不是

小画家，可以得到下表： 数学博士 短跑健将 跳高冠军 小画家 大作家 歌唱家 宝宝 × √ × 贝贝 × × 聪聪 × √ 因为宝宝是小画家，所以由⑶⑷知宝宝不是短跑健将和数学博士，推知宝宝是歌唱家，因为聪聪是大作家，所以由⑵知聪聪不是跳高冠军，推知贝贝是跳高冠军，因为贝贝是跳高冠军，所以由⑴知贝贝不是数学博士，将上面结论依次填入上表，得到下表： 数学博士 短跑健将 跳高冠军 小画家 大作家 歌唱家 宝宝 × × × √ × √ 贝贝 × √ √ × × × 聪聪 √ × × × √ × 所以，宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家．

【例 5】 （2007年湖北省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：3班

第一名，2班第二名，1班第三名，4 班第四名．小华猜想比赛的结果是：2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是 班第一名， 班第二名， 班第三名， 班第四名。

【解析】 方法一：依题意，3班不为第一名也不为第三名，那么3班为第四名．同样，2班不为第二名也

不为第一名，那么2班为第三名．1班不为第三名也不为第四名，那么1班为第一名．故第一名到第四名依次为1班，4班，2班，3班．

方法二：我们可以将两人的猜测结果列成表格形式，将小明猜想结果用“▲”表示，小华猜测结果用“★”表示，列表如下：

第一名 第二名 第三名 第四名 ▲ ★ 1班 ▲ 2班 ★ 3班 ▲ ★ ★ ▲ 4班 由题意知只有小华猜到的4班为第二名正确，其他的全是错误的，所以很容易确定各班名次 （打√的即为正确的名次） 第一名 第二名 第三名 第四名 ▲ ★ 1班 √ ▲ √ 2班 ★ 3班 ▲ ★ √ ★√ ▲ 4班 方法二：题目中只有小华猜到4班为第二名是正确的，那么其他的猜想均为错误的。在其对应的地方打“×”，正确的则打“√”。 第一名 第二名 第三名 第四名 × × × 1班 √ × √ × 2班 × 3班 × × × √ √ × × 4班 ×

【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都

对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是__________；第三是__________．

【解析】 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被

乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中），以此为突破口。由于戊是第四，则在第四列其余地方均打“×”则丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为：第一是丙，第三是甲． 甲 乙 丙 丁 戊 第一 丙猜的× × 丁猜的√ × × 第二 × 丁猜的√ × × × 第三 戊猜的√ 甲猜的× × × × 第四 × × × 戊猜的× 第五 × × 甲猜的× 乙猜的√ 乙猜的，丙猜的√ ×

【例 6】 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有A、B、C、

D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包．

A猜：第二包是紫的，第三包是黄的；B猜：第二包是蓝的，第四包是红的； C猜：第一包是红的，第五包是白的；D猜：第三包是蓝的，第四包是白的； E猜：第二包是黄的，第五包是紫的．

猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对．请你判断他们各猜对了其中的哪一包？

【解析】 方法一：题目要求A、B、C、D、E五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜

对了一包每包只有一人猜对，所以观察五包珠子中第一包只有C猜，所以C猜对了第一包，又根据每人只猜对了一种，所以C猜第五包是白的，猜错了；第五包只有C、E两人猜，所以E猜第五包是紫的，猜对了；那么E猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有A、E两人猜，那

么A猜第二包是紫的，猜错了；第二包有A，B，E三人猜，其中A，E都猜错了，所以B猜第二包是蓝的，猜对了；那么B猜第四包是红的，猜错了；所以D猜对的是第四包，是白的．D猜第三包是蓝的，也猜错了；所以A猜对的是第三包，是黄的；

总结以上推理判断，A猜对了第三包是黄的，B猜对了第二包是蓝的，C猜对了第一包是红的，D猜对了第四包是白的，E猜对了第五包是紫的．

方法二：分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“×”第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。 红色 黄色 蓝色 白色 紫色 一 二 三 四 五 √ × × × × × × √ × × × √ × × × × × × √ × × × × × √

【巩固】 五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片．现在把它们按顺

序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内所装卡片的颜色．

A猜：第2封内是紫色，第3封是黄色； B猜：第2封内是蓝色，第4封是红色； C猜：第1封内是红色，第5封是白色；

D猜：第3封内是蓝色，第4封是白色；

E猜：第2封内是黄色，第5封是紫色．

然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中．请你根据这些条件，再猜

猜，每封信中夹什么颜色的卡片？

【解析】 把已知条件简明地记录在表格中．选择其中一只信封作为“突破口”．比如第3封，A猜的是黄

色，D猜的却是蓝色．由已知条件，这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色．假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：白色卡片没人猜对．这说明假设不正确，第3封内应是黄色．由此推出其它各封内的颜色．

【巩固】 （2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）老师在3个小箱中各放一个彩色球，让小

明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球． 小明说：“1号箱中放的是黄色的，2号箱中放的是黑色的，3号箱中放的是红色的．” 小亮说：“1号箱中放的是橙色的，2号箱中放的是黑色的，3号箱中放的是绿色的．” 小强说：“1号箱中放的是紫色的，2号箱中放的是黄色的，3号箱中放的是蓝色的．” 小佳说：“1号箱中放的是橙色的，2号箱中放的是绿色的，3号箱中放的是紫色的．” 老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个．” 那么3号箱子中放的是________色的球．

【解析】 由于猜中的总次数为5次，所以有一个箱子至少被猜中了2次以上，从而这个箱子只能是2号箱，

推理得出只能是小亮对了2次，其他人只对一次，所以1号箱只能是橙色的，那么3号箱的颜色是蓝色的．

【巩固】 四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，A、

B、C三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：

第一张 第二张 第三张 林 奥 克 A 林 匹 克 B C 匹 奥 林 结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张.问：这三张卡片上各写着什么字． 【解析】 A、B有两张猜的相同，必有一人全对，一人对两张，因此，C全错，推知B全对.

【例 7】 老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一

人给了一本，结果全发错了．现在知道：⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有两人相互拿错(例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的)．问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？

【解析】 根据“全发错了”及条件⑴～⑸，可以得到下表： 小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎 小胖 × × × 小贝 × × × 小丸子 × × × 小淘气 × × × 小马虎 × × × 由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了．此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法．由

上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的．

先假设小胖拿了小丸子的本．于是得到下表，表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本．两人相互拿错，不合题意．

小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎 小胖 × × √ × × 小贝 × × × × √ 小丸子 × × × √ × 小淘气 √ × × × × 小马虎 × √ × × × 再假设小胖拿小马虎的本．于是又可得表，经检验，下表符合题意． 小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎 小胖 × × × × √ 小贝 √ × × × × 小丸子 × × × √ × 小淘气 × √ × × × 小马虎 × × √ × × 所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了．

模块二、假设推理

【例 8】 甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎．有一次谈到他们的职业．甲说：

“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师．”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠．”丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察．”你知道谁总说谎吗？

【解析】 甲．如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如

果丙从不说谎，也将推出矛盾．

【巩固】 在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的

居民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子．”，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子．”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子．你能判断出吗？

【解析】 假设小白是骑士（说实话），则小蓝是骑士，小黑是骗子；又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝

不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾．假设小白是骗子（说假话），那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话．因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士.

【巩固】 一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话．请提一个尽量简单的

问题，使两人的回答相同．这个问题可以是 .

【解析】 这个问题可以是：你是老实人吗?如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答

案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样．所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗?或者问你是骗子吗?这样他们的回答才会一样．

【巩固】 甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你

判断一下，下面的结论哪一个正确：（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说谎；（4）三人中只有一人不说谎。

【解析】 （4）正确。

【例 9】 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，

而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？

【解析】 丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛

盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。

【巩固】 三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果：聪聪判断：不是苹

果，也不是梨．淘淘判断：不是苹果，而是桃子．皮皮判断：不是桃子，而是苹果．老猴子告诉他们：有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错了．你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？

【解析】 先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾；再设淘

淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾；则说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了．

【例 10】 （2007年太原福布斯迎奥运数学展示活动）4名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定

是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的？

【解析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后

一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾．所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的．如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾．所以乙的预测是对的，丁的预测是错的．

【巩固】 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高．”乙说：“我不最矮．”丙说：“我没甲高，

但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．

【解析】 丁不可能说错，否则就没有人最矮了．由此知乙没有说错．若甲也没有说错，则没有人说错，矛

盾．所以只有甲一人说错．所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高．所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁．

【巩固】 （2009年第七届希望杯一试试题）百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛

的结果同她预测的名次全不相同．由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第 名．

我预测的第二名、第三名、第四名中有1人高出3个名次，有1人高出1个名次，另一人低1个名次．

【解析】 假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊，

由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名, 预测的第二名乙就是实际名次的第三名, 预测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.（如下表所述）

实际名次对应的人 第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 乙 丙 丙 乙 丁 戊 戊 甲 丁 小芳预测名次对应的人 甲

【巩固】 （2007年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生W、X、Y、Z分别预测他们

的成绩是A、B、C或D，评分标准是A比B 好，B比C好，C比D好． W说：“我们的成绩都将不相同．若我的成绩得A，则Y将得D．”

“若Y的成绩得C，则W将得D．W的成绩将比Z好．” X说：

“若X的成绩不是得到A，则W将得C．若我的成绩得到B，则Z的成绩将不是D．” Y说：

“若Y的成绩得到A，则我将得到B．若X的成绩不是得到B，则我也将不会得到B．” Z说：

当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么？

【解析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以X说：“W的成绩将比Z好”是正确的，

这样W将不可能得D，Z不可能得A．这样Y不可能得C（否则W得D）． ⑴如果W得A，那么Y将得D．由于X的成绩不是得到A，那么W将得C，这与W得A矛盾．所以W不得A．

⑵如果Y得A，那么Z将得到B．但这样W的成绩将不可能比Z好，矛盾．所以Y不得A． ⑶由于W、Y、Z均不得A，那么只有X得A．

⑷如果Y得B，那么Z的成绩将不是D．这样Z的成绩将是C，W的成绩将是D，矛盾．所以Y不得B．由于Y不得A、B、C，所以Y得D．

⑸由于W的成绩比Z好，所以剩下的B和C只能是W得B，Z得C． 所以W、X、Y、Z的成绩分别是B、A、D、C．

【巩固】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)三位女孩A、B、C进行百米赛

跑，裁判D、E、F在赛前猜测她们之间的名次。D说：“我猜A是第一名。”E说：“我猜C不会是最后一名。”F说：“我猜B不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？

【解析】 假设A是第一名，那么D猜测正确，F猜测正确，出现矛盾。假设B是第一名，那么D与F猜

测错误，而当C为第二名时，E猜测正确。假设C为第一名，那么E、F猜测正确，出现矛盾，所以第一名是B。

【巩固】 小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、

三等奖．已知：⑴小强不是甲校选手；⑵小明不是乙校选手；⑶甲校的选手不是一等奖；⑷乙校的选手得二等奖；⑸小明不是三等奖．根据上述情况，可判断出小勇是 校的选手，他得的是 等奖．

【解析】 甲校；三等奖．由⑵、小明得的不是二等奖，由⑸知小明得的不是三等奖，所以小明得的是-等

奖，由⑶、⑷知小明是丙校的，由⑴知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖．

【例 11】 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别

供述如下：

甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．” 乙说：“我没有作案，是丙偷的．” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．” 丁说：“乙说的是事实．”

经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话． 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？

【解析】 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话．可是乙和丁两

人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话．即“丙是盗窃犯”．这样一来，甲说的也是对的，不是假话．这样，前后就产生了矛盾．所以甲说的不可能是假话，只能是真话．同理，剩下的三人中只能是丙说真话．乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯．又由甲所述为真话，即甲不是罪犯．再由丙所述为真话，即丁是罪犯．所以乙和丁是盗窃犯．

【巩固】 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，

陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？” 宝宝说：“是星星无意打破的。” 星星说：“是乐乐打破的。” 乐乐说：“星星说谎。”

强强说：“反正不是我打破的。”

如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？

【解析】 因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。

假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了

实话”矛盾，所以星星说错了。

假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。

宝宝、星星确实都说错了。符合题意。

所以是强强打破了玻璃。

【巩固】 （2007年春武汉明心奥数挑战赛）5名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名

是凶手．下面5个人的供述中，只有3 句是对的： A说：D是杀人犯； B说：我是无辜的； C说：E不是杀人犯； D说：A在说谎； E说：B说的是实话．

在这5个人中， 是凶手．

【解析】 B与E判断相同，要么都对，要么都错．

假设B与E都错，即凶手是B，那么A也错，就出现了3句错的，与“有3句是对的”矛盾．所

以B与E都是对的．

余下的3人中还有1人判断是对的，由于A与D互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有3句是对的，那么C必定是错的，所以E是凶手．

【巩固】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，

四人分别回答如下．甲：“丙、丁两人中有人做了好事．” 乙：“丙做了好事，我没做．”

丙：“甲、丁中只有一人做了好事．”

丁：“乙说的是事实．”

最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入．到底是谁做了好事？ 【解析】 我们用假设法来解决．题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入．注意，此处

的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入．

因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲

与丙正确．

⑴假设乙与丁说的话正确．这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾．所以假设错误．

⑵假设甲与丙说的话正确．那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁．若做好事的是甲与丙，

或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意．

综上所述，做好事的是乙与丁．

【例 12】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙

第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”丙说：“丁第2名，我第3 名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

【解析】 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。

假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。由此推知乙说的“我

第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙说的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。这与假设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。

再假设甲的第二句话“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的

第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

【例 13】 传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；

女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？

【解析】 假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人

说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四.

【巩固】 从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足

下列要求：（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A，E，F三种产品中要选两种；（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中选一种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。 问：哪几种产品被选中参展？

【解析】 用假设法。从条件（1）开始，有三种情况：

①假设选A不B选，由（2）知D不能入选，再由（5）知C入选，再由（4）推知C，B同时入选，与前面假设不选B矛盾。假设不成立。

②假设选B不选A，由（3）知选E，F，由（6）知D入选，再由（5）知C不入选，再由（4）推知B，C都不入选，与假设选B矛盾。假设不成立。

③假设A，B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也不入选，再由（3）知F入选，由（4）知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。

【例 14】 三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，

比李丽大1岁．”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁．”李丽说：

“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁．”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？

【解析】 经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的．一句话是刘强说的第一句话：

“我12岁”，另一句话是李丽说的第二句话：“刘强13岁”．这两句话不能都真，必有一句是假的．为了确定这两句话的真假性．可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口．先假设刘强说的第一句话“我12岁”为真，那么李丽说的第二句话“刘强13岁”就为假，因此李丽的另外两句话就应该是真话，从“陈红比刘强大3岁”就推出陈红是15岁；又从“我比刘强年岁小”推出李丽小于12岁．可是这样一来，陈红说的三句话中，“李丽和我差3岁”和“李丽15岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要求(“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的)相矛盾．因此，刘强说的“我12岁”这句话是假的．由于刘强说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的．因此，李丽说的第三句话“陈红比刘强大3岁”就是假的，所以，李丽说的第二句话“刘强13岁”就是真的．于是就可以推出：李丽12岁，陈红15岁，刘强13岁．

【例 15】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛)甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写1个各位数

字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是○，如果数字对而位数不对就是△。 例如：甲写的是1234，乙猜的是1354，那么就是2个○，1个△。 请阅读以下对话并回答问题： 乙：“我猜9856”，甲：“1个○，1个△。” 乙：“6972？”，甲：“也是1个○，1个△。” 乙：“3058？”，甲：“也是1个○，1个△。” 乙：“4732呢？”，甲：“2个△。” 乙：“哇，猜不着呀，8369呢？”甲：“也是2个△。” （1）：请从以上的对话中答出甲最可能写的4个四位数。 后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。 甲：“对不起，刚才有搞错的。”乙：“啊！那么??”

甲“只是1个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对4732的判断有误，正确的回答应该是1个○，1个△。”

乙“稍等一会儿??，啊！我知道啦！甲写的四位数是 吗”？ 甲：“对啦！你真棒！”

(2)：请问甲写的这个四位数是什么？

【解析】 如下表：

由1、4次猜测结果知，2到9中包含了正确数字中的全部四位数字，也即甲写的数字各位都不是

0或1；由2、3次猜测结果，同理知甲写的数字各位都不是1或4；再考察第3、4次猜测结果，由于其中的0和4一定是错的，而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位，可以先假设甲写的数字各位上没有3，那么甲写的数字各位就是2、5、7、8，那么第5次猜测的结果就应该是（0，1）或者（1，0）而非（0，2）。因此甲写的数字一定有一位是3；再由第5次猜测结果，甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个；于是由第1次猜测结果，甲所写的数字中一定有一位是5

再综合第3、5次猜测结果，知甲所写的数字各位上没有8，而一定有且只有6、9其一 根据第2次的猜测结果，甲所写的数字应该有一位是2、7其一。

假定第1、3次猜测中位数对的数字是5，那么根据第3、5次的猜测结果

可以判断出3在甲所写的数字的个位上

于是由第2次猜测结果，2或7一定是数字对而位数不对的，那么6或9一定是数字对且位数对的，于是甲可能写的数字是：6253、2953或7953

假定第1、3次猜测中位数对的数字不是5，那么第3次猜测中位数对的数字一定是3， 第1次猜测中位数对的数字只能是6而不能是9，于是只能第百位是5，十位是7， 这时甲可能写的数字只有3576

综上所述，甲可能写的四位数是6253、2953、7953或3576

（2）由上述前半部分推理，仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5， 且仍然6、9中有其一，而2、7中有其一。

仍然先假设第3次猜测中数字对且位数对的是3，那么第1次猜测中数字对且位数对的只能是6， 而不能是5或9。那么由于第1次猜测中5是数字对而位数不对的，则5只能放在百位，

又由于第2次猜测中有一位数字对且位数对，所以只能是十位上为7，这时这个四位数是3576， 但这时第4次猜测将没有数字对且位数对的数，与甲的叙述不附，因此最开始的假设不成立。 那么第3次猜测中数字对且位数对的数只能是5，由第3、5次猜测结果可以推知， 3不在千位也不在百位，那么3只能在个位。

考虑到第四次猜测中要有一位数字对且位数对，只能是百位上的7， 再由第1次猜测的结果推出千位上不能是9而只能是6，

于是这个四位数是6753，经过检验可知，这个四位数满足所有五个条件，因此甲写的四位数就是

6753。

【巩固】 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是954。”小明说：“它是358。”小亮说：“它

是214。”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是 。

【解析】 每个人只猜了位置不同的一个数字，也就是说一样的数字必然不对，“5、4”第一位肯定是9，

第三位是8，第二位是1，密码就是918。

【例 16】 一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“?”．记分的方

法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知A、B、C、D、E、F、G七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分．并简单说明你的思路． 考生 C G A B E D F 题号 1 2 3 4 5 6 得分 √ √ √ √ √ 7 √ × √ × √ 5 √ × × √ × 5 √ × √ √ × 5 × √ × × × 9 × × × √ × 7 √ × × √ √ ×

【解析】 由于E得了9分，说明他只答错了一道题．先假定答错的是第1题，这样就有一个标准答案，并

由此可分析其他人的得分．如出现矛盾，再假定E答错的是第2题??直到判断出E答错的题号为止．有了正确的答案，就可以写出G的得分．

假设E的第1题答错，那么A至少错3道题，一题未答，最多得5分，与A得7分矛盾．所以E第1题答对．

假设E第2题答错，可知A最多得3分，矛盾．所以E第2题答对． 假设E第3题答错，则B最多得3分，矛盾．所以E第3题答对． 假设E第6题答错，则D最多得3分，矛盾．所以E第6题答对． 由于E得9分，因此E只答错一题，因此E第4题答错，于是A的第2，4两题对，3，6两题错．而

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