物理光学

第一章 光的电磁理论

?z??1.1 一个平面电磁波可以表示成 Ex=0，Ey=2cos[2??10?c?t??2]，Ez=0，问：

??14

（1） 该电磁波的频率、波长、振幅原点的初位相为多少？（2）波的传播和电矢量的

振动取哪个方向？（3）与电场想联系的磁场B的表达式如何写？

?z??t??。 1.2 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为 Ey=0，Ez=0，Ex=10cos?100.65c??2

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试求 （1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。

1.3 证明E=Acos(kz-?t)是波动方程（1-22）的解。 1.4 一种机械波的波函数为y=Acos2???xt???，其中A=20mm，T=12s，?=20mm试画出??T?t=3s时的波形曲线。从x=0画到x=40mm。

1.5 在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，起厚度=0.01，折射率=1.5，若光波的波长=500，试计算插入玻璃片前后光束光程和位相的变化。

1.6 地球表面每平方米接受到来自太阳光的功率约为1.33kW，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度。假设可以把太阳光看作是波长为?=600nm的单色光。

1.7 在离无线电发射机10km远处飞行的一架飞机，收到功率密度为10?W/m2的信号。试计算（1）在飞机上来自此信号的电场强度大小；（2）相应的磁感应强度大小；（3）发射机的总功率。假设发射机各向同性地辐射，且不考虑地球表面反射的影响。

1.8 沿空间k方向传播的平面波可以表示为 E=100exp{i[(2x+3y+4z)-16?108t]}

试求k方向的单位矢量k。

1.9 球面电磁波的电场是r和t的函数，其中r是一定点到波源的距离，t是时间。（1）写出与球面波相应的波动方程的形式；（2）求出波动方程的解。

1.10 证明柱面波的振幅与柱面波到波源的距离的平方根成反比。

1.11 一束线偏振光在450角下入射到空气-玻璃界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，假设玻璃的折射率为1.5，求反射系数和透射系数。

1.12 假设窗玻璃的折射率为1.5，斜照的太阳光（自然光）的入射角为600，求太阳光的透射率。

1.13 利用菲涅耳公式证明（1）RS+TS=1；（2）RP+TP=1

1.14 入射到两种不同介质界面上的线偏振光的电矢量与入射面成?角，若电矢量垂直于入射面的分波（s波）和电矢量平行于入射面的分波（p波）的反射率分别为RS和RP，试写出总反射率R的表达式。

1.15 证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，在下表面的入射角也是布儒斯特角。

1.16 光波在折射率分别为n1和n2的二介质界面上反射和折射，当入射角为?1时（折射角为?2，如图a），s波和p波的反射系数分别为rs和rp，透射系数分别为ts和tp。若光波反过来从n2介质入射到n1介质，且当入射角为?2时（折射角为?1，如图b），s波和p波的反射系数分别为rs/和rp/，透射系数分别为ts/和tp/。试利用菲涅耳公式证明（1）rs=-rs/ (2)rp=-rp/ (3)tsts/=Ts (4)tptp/=Tp .

16题图

1.17 电矢量振动方向与入射面成450角的一束线偏振光入射到两介质界面上，若入射角?1=500，第一介质和第二介质的折射率为n1=1，n2=1.5，问反射光中电矢量与入射面所成的角度是多少？若?1=600，反射光电矢量与入射面所成的角度又是多少？

1.18 证明当入射角?1=450时，光波在任何两种介质界面上的反射都有 rp=rs2 。 1.19 证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的界面上时，tp=1/n，其中n=n2/n1 。

1.20 光束垂直入射到玻璃-空气界面，玻璃折射率n=1.5，计算反射系数、透射系数、反射率和透射率。

1.21 光束垂直入射到450直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出（如图）若入射光强度为I0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。

21题图

1.22 一个光学系统由两片分离的透镜组成，两片透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜，使表面反射率降为1%，问此系统的光能损失又是多少？假设光束接近于正入射通过各反射面。

1.23 光束以很小的入射角 到一块平行平板上，试求相继从平板反射的两支光束和透射的两支光束的相对强度。设平板的折射率n=1.5。

23题图

1.24 如图所示，玻璃块周围介质（水）的折射率为1.33。若光束射向玻璃块入射角为450，问玻璃的折射率至少应为多少才能使透射的光束发生全反射。

24题图

1.25 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成450

角。设玻璃折射率=1.5，问线偏振光应以多大的角度入射才能使反射光的波和波的位相差等于450。

1.26 线偏振光在n1和n2介质的界面上发生全反射，线偏振光的电矢量的振动方向与入射面

2n12?n2成45。证明当 cos?= 2n12?n20

时（?是入射角），反射光s波和p波的位相差有最大值。

1.27 如图是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率为n1，光纤包层的折射率为n2，并且n1>n2。

22（1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式sinu=n1?n2；（2）若n1=1.62，n2=1.52，

最大孔径角等于多少?

27题图 1.28如图是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为n1n2，光纤芯的直径为D，

D??曲率半径为R。（1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式sinu=n?n?1??

?2R?21222（2）若n1=1.62，n2=1.52，D=70?m，R=12mm，最大孔径角等于多少？

28题图

1.29 已知硅式样的相对介电常数

?=12，电导率?=2/??cm，证明当电磁波的频率?0?<109Hz时，硅式样将起良导体作用，并计算?=10Hz时对这种式样的穿透深度。

1.30 试利用电磁场的边值关系证明，当平面电磁波倾斜入射到金属表面时，透入金属内部

的波的等相面和等幅面不互相重合。

1.31 在正常色散区，式（1-136）的实部的表达式可以写为（?〈〈 1〉

2fj?0??2Nq2 n=1+ ?2222?0mj?0??????j?2

???? 证明在略去?j后由上式可以得到科稀公式。

1.32 试证明f(x-vt)是一个沿x正方向运动的具有不变波形的行波。 1.33 试证明?(x,t)?f(x?vt)是一维微分波动方程的解。

1.34 若Ψ1（x，t）和Ψ2(x,t)是微分波动方程的两个解，试证明Ψ1（x，t）+Ψ2(x,t)也

是一个解。

1.35 已知波形为：?(y,0)?32y?12

（1）试写出沿y增加方向以2m/s速率运动相应的行波表达式。 （2）画出t=0和t=1秒的波形。

1.36 (1)试证明表达式?(z,t)?Ae?(2z?3t)是一行被； (2)验证它是波动方程的解。

1.37 下列诸函数哪一个描绘行波?式中A、B和C均是常数。

2?1(x,t)?A(x?t)2 ?2(y,t)?A(y?t?B)

?3(z,t)?AsinB(z2?ct2) ?4(x,t)?A(Bx2?t)

1.38 下列每一个波的传播方向和传播速率是什么？

?1(y,t)?A(y?t)2 ?2(x,t)?A(Bx?Ct?D)2

式中A、B、C和D是常数。

1.39 ?(x,t)?A(A?Bt?D)2?Aexp(Cx2?BC2t2?2BCxt)是一维微分波动方程的解吗？式中A、B、C和D是常数。如果?(x,t)实际上是一波函数，问该被的速率是多少？ 1.40证明波函数?(x,t)对t的变化率等于它对x的变化率乘上一常数。

1.41 试证明对于一列谐波,其空间上的重复性[Ψ（x，t）=Ψ（x±λ，t）]

要求k＝2π／λ。

1.42 光的波长大致是在390nm(紫光)到780nm(红光)的范围内。和所有真空中的电磁波一

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样，它在真空中速率约为3×10m／s。试确定对应的频率范围。 1.43试证明谐波函数?(x,t)?Asin(kx??t)是一维微分波动方程的解。 1.44试证明一列前进谐波可依次用下列方程来描绘：

（1）??Asin2?(x?t?)

?（2）??Asin2??(x?t) v（3）??Asin2?(kx??t)式中??1/?。

l.45 己知光波的波函数(SI单位）为?(x,t)?10sin?(3?10x?9?10t) 试确定(1)速率， (2)波长 (3)频率， (4)周期和(5)振幅。 1.46已知波函数为：?(x,t)?10cos2?(3614x?1.5?1015t) ?72?10试确定其速率、波长和频率。使用SI单位。

l.47 已知振幅为10个单位的谐扰动，它用波函数?(x,t)来描绘，?(0,0)＝0。如果这列

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