2010年高考真题辽宁卷（理）解析版

2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，

（1） 已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},euB∩A={9},则A= （A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 【答案】D

【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。

【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为

euB∩A={9}，所以9∈A，所以选D。本题也可以用Venn

图的方法帮助理解。 (2)设a,b为实数，若复数（A）a?1+2i?1?i，则 a?bi31,b? (B) a?3,b?1 2213(C) a?,b? (D) a?1,b?3

22【答案】A

【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。 【解析】由

?a?b?11?2i3?1?i可得1?2i?(a?b)?(a?b)i，所以?，解得a?，a?bi2?a?b?2b?1，故选A。 223和，两个零件是 34（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为

否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （A）

1511 (B) (C) (D) 24612【答案】B

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则

P(A)=P(A1)+ P(A2)=

21135?+?= 343412 1

(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m， 满足n≥m，那么输出的P等于

m?1（A）Cn m?1(B) An m(C) Cn m(D) An

【答案】D

【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力 【解析】第一次循环：k=1,p=1,p=n-m+1; 第二次循环：k=2,p=(n-m+1)(n-m+2)；

第三次循环：k=3，p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3) ??

第m次循环：k=3，p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)?(n-1)n

m此时结束循环，输出p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)?(n-1)n=An

（5）设?>0,函数y=sin(?x+小值是 （A）

?4?)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则?的最

33243 (B) (C) (D)3 332【答案】C 【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。

?4?)+2的图像向右平移个单位后为

334???4??4??3ky?sin[?(x?)?]?2?sin(?x??)?2，所以有=2k?,即??，又

3333233k3因为??0，所以k≥1,故??≥，所以选C

22【解析】将

y=sin(

?x+

（6）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1, S3?7,则S5? （A）

15313317 (B) (C) (D)

2244【答案】B

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。

2

24【解析】由a2a4=1可得a1q?1，因此a1?12，又因为S?a(1?q?q)?7，联力两式312q有(?3)(?2)?0，所以q=

1q1q1,所以S5?24?(1?1)25?31，故选B。 141?2(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=

(A)43 (B)8 (C)83 (D) 16

【答案】B

【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。

【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为y??3(x?2)，所以点A(?2,43)、

P(6,43)，从而|PF|=6+2=8

(8)平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB?b，则△OAB的面积等于

22b)2 (B) (A)|a||b|?(a?|a|2|b|2?(a?b)2 (C)

11|a|2|b|2?(a?b)2 (D) |a|2|b|2?(a?b)2 22【答案】C

【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。

【解析】三角形的面积S=

1|a||b|sin，而 211|a|2|b|2?(ab)2?|a|2|b|2?(ab)2cos2?a,b? 2211|a||b|1?cos2?a,b??|a||b|sin?a,b? 22 (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐 近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A)

2 (B)3 (C)3?1 (D) 25?1 2【答案】D

【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

x2y2【解析】设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，则F（c,0）,B(0,b)

ab

3

直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=

bbbx垂直，所以????1，即b2=ac aca所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以e?(1O)已知点P在曲线y= 范围是 (A)[0,

1?51?5或e?（舍去） 224上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值 ex?1????3?3?],?) ) (B)[,) (, (D) [422444【答案】D

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。

3??4ex?4????。 【解析】因为y?x，即tan a≥-1,所以???14(e?1)2ex?2?ex'(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是

1212112ax?bx?ax0?bx0 (B) ?x?R,ax2?bx?ax0?bx0 222212121212(C) ?x?R,ax?bx?ax0?bx0 (D) ?x?R,ax?bx?ax0?bx0

2222(A)?x?R,【答案】C

【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。

121b2b2【解析】由于a>0,令函数y?ax?bx?a(x?)?，此时函数对应的开口向上，

22a2abb2当x=时，取得最小值?，而x0满足关于x的方程ax=b,那么

a2ab1212b2x0==,ymin=ax0?bx0??，那么对于任意的x∈R,都有y?ax?bx≥

a222ab212?=ax0?bx0 2a2(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 (A)（0,6?2） (B)（1,22）

(C) (6?2,6?2） (D) （0,22）

【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有

4

以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=

3，SD=

a2?1，则有a2?1<2+3，即

a2?8?43?(6?2)2，即有a<6?2

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0; 综上分析可知a∈（0,6?2）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）(1?x?x)(x?)的展开式中的常数项为_________.

【答案】-5

【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法

r3【解析】(x?)的展开式的通项为Tr?1?C6(?1)rx6?2r，当r=3时，T4??C6??20，当4r=4时，T5??C6?15，因此常数项为-20+15=-5

21x61x2（14）已知?1?x?y?4且2?x?y?3，则z?2x?3y的取值范围是_______（答案用区间表示） 【答案】（3，8）

【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。 【解析】画出不等式组???1?x?y?4表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直

?2?x?y?3线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.

（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______. 【答案】23 【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。 【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为22?22?22?23 5

（16）已知数列?an?满足a1?33,an?1?an?2n,则【答案】

an的最小值为__________. n21 2【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。

【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n2-n

an33??n?1 nn33?33?n?1，令f(n)?2?1?0，则f(n)在(33,??)上是单调递增，在设f(n)?nn所以

(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。

又因为

a553a66321aa21?，??，所以，n的最小值为6? 5566262n三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C

的对边，且

2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.

（17）解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c 即 a?b?c?b c 由余弦定理得 a?b?c?2bccosA

2222222A??故 cos1，A=120° ??6分 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

6

sinB?siCn?sBin?sin?(?6B0

31cosB?sinB 22?sin(60??B)?故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ??12分

（18）（本小题满分12分）

为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。 （Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；

（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面

7

积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

表3：

（18）解：

（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为

992C198100 P?100? ??4分

C200199（Ⅱ）（i）

图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 ??8分

（ii）表3：

200?(70?65?35?30)2K??24.56

100?100?105?952 8

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。 ??12分

（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

（19）证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

??????1???11（Ⅰ）CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0，

22所以CM⊥SN ??6分

111），N（,0,0），S（1,,0）.??4分 222????1（Ⅱ）NC?(?,1,0),

2设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

9

1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). ??9分 则???1x?y?0.??21?1?????2?2 因为cosa,SN?223?2所以SN与片面CMN所成角为45°。 ??12分

(20)（本小题满分12分）

x2y2设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B

ab????????两点，直线l的倾斜角为60,AF?2FB.

o

(I) (II)

（20）解：

求椭圆C的离心率； 如果|AB|=

15，求椭圆C的方程. 4设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为 y?3(x?c)，其中c?a2?b2. ?y?3(x?c),?联立?x2y2得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0

?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a),y2?解得y1? 22223a?b3a?b????????因为AF?2FB，所以?y1?2y2.

即

3b2(c?2a)?3b2(c?2a)?2? 22223a?b3a?bc2?. ??6分 a310

得离心率 e?

1243ab215（Ⅱ）因为AB?1?y2?y1，所以?22?.

3433a?b由

c25155?得b?a.所以a?，得a=3，b?5. 44a33x2y2??1. ??12分 椭圆C的方程为95

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 （I）讨论函数f(x)的单调性；

（II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。

（21）解：

a?12ax2?a?1?2ax?（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?. xx当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；

当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??a?1. 2a则当x?(0,?a?1a?1)时，f'(x)＞0；x?(?,??)时，f'(x)＜0. 2a2aa?1a?1)单调增加，在(?,??)单调减少. 2a2a故f(x)在(0,?（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2 等价于

?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①

11

令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)?a?1?2ax?4 x①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即

a?1?2ax?4?0. x?4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2???2 从而a?2222x?12x?12x?1 故a的取值范围为（-∞，-2]. ??12分

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号下方的方框涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，?ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

?ADC （I）证明：?ABE（II）若?ABC的面积S?1AD?AE，求?BAC的大小。 2

（22）证明：

（Ⅰ）由已知条件，可得?BAE??CAD

因为?AEB与?ACB是同弧上的圆周角，所以?AEB=?ACD 故△ABE∽△ADC. ??5分

ABAD?，即AB·AC=AD·AE. AEAC11又S=AB·ACsin?BAC，且S=AD·AE，故AB·ACsin?BAC= AD·AE.

22则sin?BAC=1，又?BAC为三角形内角，所以?BAC=90°. ??10分

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C： （ ?为参数，0????）上的点，点A的坐标为（1,0），

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧

的长度均为

?。 3（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； （II）求直线AM的参数方程。

（23）解：

12

（Ⅰ）由已知，M点的极角为故点M的极坐标为（

??，且M点的极径等于， 33??，）. ??5分 33（Ⅱ）M点的直角坐标为（

?6,3?），A（0,1），故直线AM的参数方程为 6??x?1?(?1)t?6?（t为参数） ??10分 ??y?3?t?6?

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a?b?c?(2221112??)?63，并确定a,b,c为何值时，abc等号成立。

（24）证明：

（证法一）

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

a?b?c?3(abc)1?111???3(abc)3abc22223 ①

2??111?所以?????9(abc)3 ② ??6分

?abc?22?11123故a?b?c?(??)?3(abc)?9(abc)3.

abc2222又3(abc)?9(abc)23?23?227?63 ③

23?23所以原不等式成立. ??8分

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当3(abc)?9(abc)成立。

即当且仅当a=b=c=3时，原式等号成立。 ??10分 （证法二）

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

14时，③式等号

13

a2?b2?2abb2?c2?2bc c2?a2?2ac所以a?b?c?ab?bc?ac ① 同理

222111111????? ② ??6分 a2b2c2abbcac1112222故a?b?c?(??)

abc?ab?bc?ac?3?63111?3?3abbcac ③

所以原不等式成立. ??8分

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，(ab)2?(bc)2?(ac)2?3时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=3时，原式等号成立。 ??10分

14 14

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