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蚁群算法的优化计算---旅行商问题（TSP）优化

一．理论基础

1.1蚁群算法基本思想

生物学家研究发现，自然界中的蚂蚁觅食是一种群体性行为，并非单只蚂蚁自行寻找食物源。蚂蚁在寻找食物源的时候，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其他蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近，信息素越高，表示对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以比较大的概率优先选择信息素浓度比较高的路径，并释放一定的信息素，以增加该条路径上的信息素浓度，这样会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，既最短距离。值得一提的是，生物学家同时发现，路径上额信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰退。

将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化的问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时的便是待优化问题的最佳解。

1.2蚁群算法解决TSP问题基本原理

将用数学语言对上述蚁群算法的基本细想进行抽象描述，并仔细阐述蚁群算法用于解决TSP问题的基本原理。

不是一般性，设整个蚂蚁群中的蚂蚁个数为m，城市的数量为n，城市i与城市j之间的距离为dij(i,j?1,2,?n).t时刻城市i与城市j连接路径上的信息素浓度为?ij(t)。初始时刻，各个城市间连接路径上的信息素相同，不妨设?ij(0)??0

蚂蚁k(k?1,2,?,m)根据各个城市间连接路径上的信息素浓度决定下一个访问城市。设Pij(t)表示t时刻蚂蚁k从城市i转移到城市j的概率，其计算公式为

[?ij(t)]?[?ij(t)]?s?allowkk???Pij?k?[?is(t)]?[?is(t)],s?allowk------------------(1)

其中，?ij(t)为启发函数，?ij(t)=1?dij，表示蚂蚁从城市i转移到城市j的期望程度；allowk(k?1,2,?m)为蚂蚁k待访问城市的集合，开始时，allowk中有(n?1)个元素，即包括除了蚂蚁k出发城市的其他所有城市，随着时间的推进，allowk中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的城市均访问完毕；?为信息素重要程度因子，其值越大，?表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离较短的城市。

如前文所述，在蚂蚁释放信息素的同时，各个城市间连接路径上的信息素逐渐消失，设参数?(0???1)表示信息素的挥发程度。因此，当所有蚂蚁完成一次循环后，各个城市间连接路径上的信息素浓度需进行实时更新，即

?ij(t?1)?(1??)?ij(t)??ij

n??ij????k?1kij，0?p?1 ----------------------(2)

其中，??ij表示第k只蚂蚁在城市i与城市j连接路径上释放的信息素浓度。??ij表示所有蚂蚁在城市i与城市j连接路径上释放的信息素浓度之和。

针对蚂蚁释放信息素问题，M.Drifo等人曾给出3中不同的模型，分别称之为ant cycle system,ant quantity system和ant density system，其计算公式如下

k1.ant cycle system模型

ant cycle system模型中，??ij的计算公式为

k??ij=QLij，第k只蚂蚁从城市i访问城市j---------------(3)

k其中，Q为常数，表示蚂蚁循环一次所释放的信息素总量，Lk为第k只蚂蚁经过路径的长度。

2.ant quantity system模型

ant quantity system模型中，??ij的计算公式为

??ij?Qdij,第k只蚂蚁从城市i访问城市j----------------(4)

kk3.ant density system模型

ant density system模型中，??ij的计算公式为

??ij?Q,第k只蚂蚁从城市i访问城市j-------------------(5)

kk上述3中模型中，ant cycle system模型利用蚂蚁经过路径的整体信息（经过路径的总长）计算释放的信息素浓度；ant quantity system模型则利用蚂蚁经过路径的局部信息（经过各个城市之间的距离）计算释放的信息素浓度；而ant density system模型则更为简单的将信息素释放的浓度取为恒值，并没有考虑不同蚂蚁经过路径长短的影响。因此，一般选用ant cycle system模型计算释放的信息素浓度，即蚂蚁经过的路径越短释放的信息素越高。

1.3 蚁群算法解决TSP问题基本步骤

基于上述原理，将蚁群算法应用于解决TSP问题一般需要以下几个步骤： 1.初始化参数

在计算之初，需要对相关的参数进行初始化，如蚁群规模（蚂蚁数量）m，信息素重要程度因子?、启发函数重要程度因子?、信息素挥发因子Q、最大迭代次数iter-max、迭代次数初值iter=1 2.构建解空间

将各个蚂蚁随机地置于不同出发点，对每个蚂蚁k（k=1,2，.....n），按照（1）式计算其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市。

3.更新信息素

计算各个蚂蚁经过的路径长度Lk(k?1,2,?,m)，记录当前迭代次数的最优解（最短路径）。同时，根据式(2)和式(3)对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。

4.判断是否终止

若iter

1.4 蚁群算法的特点

基于蚁群算法的基本思想及解决TSP问题的基本原理，不难发现，与其他优化算法相比，蚁群算法具有以下几个特点：

（1）采用正反馈极值，使得搜索过程不断收敛，最终逼近最优解。

（2）每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接的通讯。

（3）搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率。

（4）启发式的概率搜索方式不容易陷入局部最优，易于寻找全局最优解。

二.案例背景

2.1 问题描述

按照枚举法，我国31个直辖市、省会和自治区首府（未包括港、澳、台）的巡回路

应有约1.326*1032种，其中一条路径如图所示。试利用蚁群算法寻找到一条最佳或者较佳的路径。

2.2 解决思路及步骤

依据蚁群算法解决TSP问题的基本原理及步骤，实现中国TSP问题求解大体上可以分为以下几个步骤，如图所示

（1）计算城市间相互距离

根据城市的位置坐标，计算两两城市间的相互距离，从而得到对称的距离矩阵（维数为31的方阵）。需要说明的是，计算出得矩阵对角线上的元素为0，然而如前所述，由于启发函数?ij(t)?1dij，因此，为了保证分母不为0，将对角线上的元素修正为一个非常小的正数（如10或10等）

?4-5（2）初始化参数

如前文所述，在计算之前，需要对相关的参数进行初始化。

（3）迭代寻找最佳路径

首先构建空间，即各个蚂蚁根据转移概率公式(1)访问所有的城市。然后计算各个蚂蚁经过的长度，并在每次迭代后根据公式(2)和公式(3)实时更新各个城市连接路径上的信息素浓度。经过循环迭代，记录下最优的路径及其长度。

（4）结果分析

找到最优路径后，可以将之与其他方法得出的结果进行比较，从而对蚁群算法的性能进行评价。同时，也可以探究不同取值的参数对优化结果的影响，从而找到一组最佳或者较佳的参数组合。

三.MATLAB程序实现

清空环境变量 clear all clc 导入数据

load citys_data.mat 计算城市间相互距离 n = size(citys,1); D = zeros(n,n); for i = 1:n for j = 1:n if i ~= j

D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2)); else

D(i,j) = 1e-4; end end end 初始化参数

m = 50; % 蚂蚁数量

alpha = 1; % 信息素重要程度因子 beta = 5; % 启发函数重要程度因子 rho = 0.1; % 信息素挥发因子 Q = 1; % 常系数 Eta = 1./D; % 启发函数 Tau = ones(n,n); % 信息素矩阵 Table = zeros(m,n); % 路径记录表 iter = 1; % 迭代次数初值

iter_max = 200; % 最大迭代次数 Route_best = zeros(iter_max,n); % 各代最佳路径 Length_best = zeros(iter_max,1); % 各代最佳路径的长度 Length_ave = zeros(iter_max,1); % 各代路径的平均长度 迭代寻找最佳路径 while iter <= iter_max

% 随机产生各个蚂蚁的起点城市 start = zeros(m,1); for i = 1:m

temp = randperm(n); start(i) = temp(1); end

Table(:,1) = start; % 构建解空间 citys_index = 1:n; % 逐个蚂蚁路径选择 for i = 1:m

% 逐个城市路径选择 for j = 2:n

tabu = Table(i,1:(j - 1)); % 已访问的城市集合(禁忌表) allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);

allow = citys_index(allow_index); % 待访问的城市集合 P = allow;

% 计算城市间转移概率 for k = 1:length(allow)

P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta; end

P = P/sum(P);

% 轮盘赌法选择下一个访问城市 Pc = cumsum(P);

target_index = find(Pc >= rand); target = allow(target_index(1)); Table(i,j) = target; end end

% 计算各个蚂蚁的路径距离

Length = zeros(m,1); for i = 1:m

Route = Table(i,:); for j = 1:(n - 1)

Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1)); end

Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1)); end

% 计算最短路径距离及平均距离 if iter == 1

[min_Length,min_index] = min(Length); Length_best(iter) = min_Length; Length_ave(iter) = mean(Length);

Route_best(iter,:) = Table(min_index,:); else

[min_Length,min_index] = min(Length);

Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length); Length_ave(iter) = mean(Length); if Length_best(iter) == min_Length

Route_best(iter,:) = Table(min_index,:); else

Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:); end end

% 更新信息素

Delta_Tau = zeros(n,n); % 逐个蚂蚁计算 for i = 1:m % 逐个城市计算 for j = 1:(n - 1)

Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i); end

Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i); end

Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau; % 迭代次数加1，清空路径记录表

iter = iter + 1; Table = zeros(m,n); end 结果显示

[Shortest_Length,index] = min(Length_best); Shortest_Route = Route_best(index,:);

disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);

disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]); 最短距离:15601.9195

最短路径:14 12 13 11 23 16 5 6 7 2 4 8 9 10 3 18 17 19 24 25 20 21 22 26 28 27 30 31 29 1 15 14 绘图 figure(1)

plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],... [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-'); grid on

for i = 1:size(citys,1)

text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]); end

text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起点'); text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 终点'); xlabel('城市位置横坐标') ylabel('城市位置纵坐标')

title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')']) figure(2)

plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:') legend('最短距离','平均距离') xlabel('迭代次数') ylabel('距离')

title('各代最短距离与平均距离对比')

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aaf3.html