寿险精算电子教案

寿险精算教案

第二章 利息的度量及基本计算

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生能准确理解利息的基本概念，掌握利息度量标准和有关计算。 ★本章重点与难点：利率与贴现率、现值与终值的比较；单利与复利、单贴现与复贴现的比较；实际利息

率与名义利息率、实际贴现率与名义贴现率的比较；利息理论的核心问题的理解。

★本章教学内容：主要介绍利息理论中的有关利息的基本概念和度量方法，以及利息的有关计算。

§2.1 利息的度量

一、

利息的相关概念

1． 利息：是资金的价格，指借款者向贷款者所支付的使用资金的代价。

2． 利息的几种来源: (1) 节欲论 (2) 时差利息论 (3) 流动偏好论 (4) 劳动价值论

二、 现值函数与终值函数

1．本金、利息和积累值（终值）的关系： 2．终值函数与总量函数 （1） 终值函数：a（t） （2） 总量函数：A（t） 3．现值函数：a?1(t) 三、 利息的度量

1．利息率

（1） 实际利息率 i （2） 名义利息率 i(m) 2．贴现率

（1） 实际贴现率 d （2） 名义贴现率 d(m) 3．息力

dA(t)da（1） 利息力定义：?t?dt(t)A(t)?dta(t) d?1（2） 贴息力定义：?'t??dta(t)a?1(t)

§2.2 等值方程及其求解 一、 可比点（日）

二、 等值方程（等价值式） 三、 建立等值方程的一般步骤

1．画时间轴 2．选择可比日 3．建立等值方程 4．解等值方程

1

第三章 确定年金

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生理解确定年金的概念及相互关系，特别是年金给付期与利息结

算期之间的关系。正确掌握确定年金的计算原理和方法。

★本章重点与难点：年金的概念与分类、年金给付期不等于利息结算期时的确定年金是采取什么样的方法

进行计算？变额年金的现值与终值的计算。

★本章教学内容：主要介绍利息理论中有关确定年金的基本概念，年金现值和年金终值的计算方法。

§3.1 每期支付一次的等额确定年金

一、 期末付年金

1．a21?vnn??v?v???vn?i

2．S(1?inn?1?(1?i)???(1?i)n?1?)?1i

3．有关ani和Sni的关系式 二、期初付年金

n1．??a2n?1?1?vn?1?v?v??vd

2．S??)?(1?i)2??(1?i)n?(1?i)n?1n?(1?id

三、延付年金

1．m?amni?van?am?n?am

2．m??a?ni?vma??n?a??m?n?a??m 四、永久年金

1．av1??1?v?i 2．??a??111?v?d

§3.2 每期支付m次的等额确定年金

一、 期末付年金

11．现值：a(m)n?12m?nnm(vm?vm?...?vm)?1?vi(m)

2．终值：S(m)112m?n?1mmm(1?nn?m[1?(1?i)?(1?i)?...?(1?i)]?i)?1i(m)

二、期初付年金

1．现值：??a(m)1?vnn?d(m)

2

2．终值：S??(m)?(1?i)n?1nd(m)

三、期末付年金与起初付年金的关系 四、延付年金

1．fa(m)n?vfa(m)(m)n?an?f?a(m)f 2．(m)f??a?vf??a(m)(m)m)nn?a??n?f???a(f

五、永久年金

1．a(m)1??i(m)

2．??a(m)1??d(m)

§3.3 每k期支付一次的等额确定年金

一、 期末付年金

nn1．现值：(PV)kI?v?v2k?...?vkk?1?v(1?i)k?1 2．终值：(AV)(1?i)n?1I?(1?i)k?1

二、 期末付年金

3．现值：(PV)D?1?vk?v2?...?v(nkk?1)k1?vn?1?vk 4．终值：(AV)(1?i)n?1D?1?vk

§3.4 变额年金

一、 按等差数列变化的变额年金 （一）期末付年金： 1．递增年金：

（1） 现值：(Ia)23n?a?n?nvnn?v?2v?3v?...?nv?i（2） 终值：(IS)nS??n?nn?(1?i)(Ia)n?i

2．递减年金：

3

（1） 现值：(Da)23nn?ann?nv?(n?1)v?(n?2)v?...?v?i

（2） 终值：(DS)nn(1?i)n?Snn?(1?i)(Da)n?i

（二）期初付年金： 1．递增年金：

（1） 现值：(Ia??)2n?1n?1?2v?3v?...?nv??a?n?nvnd

（2） 终值：(IS??)?(1?i)n(Ia??)S??n?nnn?d

2．递减年金：

（1） 现值：(Da??)2n?1n?n?(n?1)v?(n?2)v?...?v?n?and

（2） 终值：(DS??)n?(1?i)n(Da??)n(1?i)n?Snn?d

二、 按等比数列变化的变额年金

4

第四章 生命函数

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生清楚的知道构成生命表中的原始生存人数和它们的死亡率是计

算的基础，而生命表中的其它项目均是由它们派生而来的生命函数，且都为随机变量。掌握构造生命表所涉及的生存率，死亡率、平均余命等的计算方法。

★本章重点与难点：生命表函数关系的理解与解释、正分数年龄的生命函数、

选择终极表的理解

★本章教学内容：主要介绍构造生命表的各生命函数的意义及其计算。本章是为寿险精算作必要准备。

§4.1 基本随机变量

一、 一些基本随机变量

1．X：新出生的婴儿或0岁的人在死亡时的年龄 2．F(x)：X的分步函数

3．S(x)：新生婴儿能活到x岁的概率值。S(x)?1?F(x)?P(X?x) （1）S(0)?1

（2）S(?)?0

（3）S(x)是关于X的递减连续函数

（4）P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1)?S(x1)?S(x2)

4．T(x)：年龄为x岁的人未来能存活的时间，称作未来余命。 5．K(x)：年龄为x岁的人到其死亡时已经存活的整数年。

§4.2 基本生命函数

一、 一些基本生命函数

1．lx：0岁人中活到x岁的人数

2．dx：0岁的人在x岁与（x+1）岁之间死亡的人数

3．px：x岁的人（简记为(x)）在未来一年之间的生存概率 4．qx：(x)在未来一年之间的死亡概率 5．Lx：(x)在未来一年之间的平均生存人年数 6．Tx：(x)的累计生存人年数

§4.3 一般整数年龄生命函数

一、tpx

表示（x）未来能活过t年的概率

tpx?P(T?t)?S(x?t)lxS(x)??tl

x

二、tdx

表示（x）在未来t年内死亡的人数

tdx?lx?lx?t

5

三、tqx

表示（x）在未来t年内死亡的概率

x)?S(x?t)tqx?S(S(x)?lx?lx?tl

x四、f?nqx

表示（x）在未来f年内生存，在之后的n年内死亡的概率。

S(x?f)?S(f?nqx?f?n)x?S(x)?fpx?nqx?f 五、?x死力

?x??S'(x)S(x)

六、T的分布函数G(t)与密度函数g(t)

1.

G(t)?tqx

2. g(t)?tpx??x?t

七、Lx平均生存人年数 11

Lx??0lx?tdt?lx?1??0t?lx?t??x?tdt

八、Tx累计生存人年数 Tx???0lx?tdt???0t?lx?t??x?tdt

§4.4 生命期望值

生命期望值，又称平均余命，就是未来余命的期望

一、 完全平均余命

0?? eTx?E(T(x))??x0t?tpx??x?tdt??0tpxdt?l x二、简约平均余命

w?x?1w?x?1ex?E(K(x))??k?kqx?k?1?kpx

k?1

§4.5 正分数生命函数

一、 死亡均匀分布假设（UDD假设）

S(x?t)?tS(?x1)?(1?t)S(x),?(0?t

二、鲍德希假设（Balducci）

6

1t1?t??,(0?t?1)

S(x?t)S(x?1)S(x)

三、常值死力假设（CFM假设）

?x??

§4.6 生命表的编制与选择

一、 生命表的编制方法

二、 生命表的分类

第五章 生存年金

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生理解生存年金在寿险中的重要地位，认识到年金保险是一种生

存保险，学会区分生存年金和确定年金，掌握不同条件下的生存年金的精算现值的计算原理和方法，并能加以应用。

★本章重点与难点：在整个寿险中，生存年金有哪些表现形式；每年支付多次与每年支付一次的区别、生

存年金与确定年金的共性、现值与终值计算的基本原理与思想、完全期末生存年金与比例期初生存年金的比较及其优越性。

★本章教学内容：主要介绍生存年金的基本概念，基本计算原理和不同条件下的生存年金的计算方法。

§5.1 n年期满一次性支付的生存年金

一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精算现值

nEx?vnp x二、替换函数

nDx?vxlx

Dx?n DxnE?v nxnpx?

§5.2 每年支付一次的生存年金

一、 期初付生存年金

1．终身生存年金:

??x?1?vpx?v22px?...?a生

存

年

NxDx,其中

Nx?Dx?Dx?1?Dx?2?... 2．n年定期

金：

??x:n?1?vpx?v22px?...?vn?1n?1px?aNx?Nx?n

Dx 7

??x?3．延付n年的终身生存年金：naNx?n DxNx?n?Nx?n?m

DxNx?1 Dx??x?4．延付n年的m年定期生存年金：nma二、期末生存年金

21．终身生存年金：ax?vpx?v2px?...?2n2．n年定期生存年金：ax:n?vpx?v2px?...?vnpx?Nx?1?Nx?n?1

DxNx?n?13．延付n年的终身生存年金：nax?

DxNx?n?1?Nx?n?m?14．延付n年的m年定期生存年金：nmax?

Dx三、生存年金的精算终值：

??x:nNx?Nx?na???1．Sx:n? EDnxx?nax:nNx?1?Nx?n?1?3．Sx:n? EDnxx?n

四、变额生存年金 （一）递增年金

??)x? (Ia

Sx，其中 Sx?Nx?Nx?1?Nx?2?... DxS?Sx?n?nNx?n??)x:n?x(Ia

DxSx?Sx?n??(Ina)x?

DxSx?1(Ia)x?

DxS?Sx?n?1?nNx?n?1(Ia)x:n?x?1

DxS?Sx?n?1(Ina)x?x?1

Dx（二）递减年金

8

nNx?(Sx?1?Sx?n?1)

DxnNx?(Sx?1?Sx?n)??(Da)? xnDxnNx?1?(Sx?2?Sx?n?)2(Da)? x:nDxnNx?1?(Sx?2?Sx?n?)1 (Dna)x?

Dx??)x:n? (Da

§5.3 每年支付m次的生存年金

一、 期末付年金

121m?(v1px?vm2px?...) mmm(m)a1．终身生存年金：x2．延付n年的终身生存年金：nax3．n年定期生存年金：ax:n二、期初付年金

(m)(m)(m)?nEx?ax?n

(m)(m)(m)?ax?nax

2m??x1．终身生存年金：a11?(1?vmm1mpx?v??x2．延付n年的终身生存年金：na

(m)???nEx?a2xm(m)x?n

p?...)

(m)(m)(m)??????a?a?a3．n年定期生存年金：x:nxnx

§5.4 连续给付的生存年金

1．ax:n2．ax??vttpxdt

0?0?n??vttpxdt

nta?v3．nx?tpxdt

§5.5 完全期末生存年金和比例期初生存年金

第六章 人寿保险

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生正确理解死亡保险的趸缴纯保费就是保额现值函数的数学期望

值的意义，准确掌握在不同条件下死亡保险的趸缴纯保费的计算方祛，掌握生存年金与死亡保险之间关系的数量分析。

★本章重点与难点：趸缴纯保费的精算含义、死亡保险的主要险种趸缴纯保费的计算原理和方法、死亡保

9

险与生存年金概念上的区别与关系、对变动保险金额寿险的趸缴保费的计算。

★本章教学内容：主要介绍人寿保险中的死亡保险的趸缴纯保费的概念，在不同条件下死亡保险的趸缴纯

保费的计算原理和方法。

§6.1 死亡发生年度末支付保险金的寿险

一、 终身寿险

（x）参加的在死亡年度末支付保险金的终身寿险，其趸缴纯保费为Ax

w?x?11．依据收支平衡原理：Ax?2．引入辅助函数：Cx?v 二、定期寿险：

k?1 Ax:n??vkqx?1k?0n?1x?1?vk?0k?1kqx

dx,Mx?Cx?Cx?1?Cx?2?...

k?1w?x?1Ax??vk?0Mxq? kxDxMx?Mx?n

DxMx?r Dx

三、延期终身寿险

w?x?r?1rAx??k?0vk?r?1k?rqx?

四、延期定期人寿保险：

n?r?1r???nAx??vk?0k?r?1 五、

Mx?r?Mx?r?nqx?k?rDx

两全保险

n?1k?1kAx:n??vk?0qx?vnnpx?A1x:n?Ax:n1Mx?Mx?n?Dx?n?

Dx§6.2 死亡后即时提供保额的寿险

一、 终身寿险

(x)参加的在被保险人死亡时刻即时给付1个单位的保险金的终身保险的趸缴纯保费为Ax

Ax??0vtpx?x?tdt?二、n年定期寿险

10

?tUDDi?Ax

Ax:n??vtpx?x?tdt?1ntUDDi0?iA1 x:nAx

UDD三、n年延期终身寿险 Ax??nvtpx?x?tdt?n?tUDD?nnn四、 n年两全保险

nt0Ax:n??vtpx?x?tdt?v

px?i?A1?A1 x:nx:n§6.3 人寿保险与生存年金的关系

一、

一些基本关系

??x ?1?da??x:n 2．Ax:n?1?da1．Ax3．A(m)x:n)??(xm?1?d(m)a :n4．Ax:n?1??ax:n 5．Ax(m)??x(m) ?1?d(m)a6．Ax?1??ax

二、相关公式的经济涵义

§6.4 变动保额的寿险

一、 在死亡年度末提供保额的变动保额的寿险

1．递增终身寿险

w?x?1

(IA)x??(k?1)vk?0n?1k?1

2．定期递增寿险

Rxq?,其中?Rx?Mx?Mx?1?Mx?2?...kxDx

(IA)1??x:nk?0Rx?Rx?nM?nk(?1v)kqx?Dxk?1?xn

3．递增水平终身寿险

Rx?Rx?n (InA)x?Dx

4．递减定期寿险

11

(DA)1??(n?k)vx:nk?0n?1k?1

二、在死亡后即时提供保额的变动寿险

nMx?(Rx?1?Rx?n?1)q?kxDx

第七章 年缴纯保费

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生了解为什么要进行分期缴纳纯保费，理解年缴纯保费必然联系

到生存年金的精算现值和人寿保险的基本理论。正确掌握年缴纯保费计算的基本原理，掌握不同险种的年缴纯保费的计算方祛。

★本章重点与难点：年缴纯保费的含义与计算原理、趸缴纯保费与年缴纯保费的比较、真实纯保费与年赋

纯保费及比例纯保费的比较

★本章教学内容：本章主要介绍分期缴纯保险费的基本原则，年缴纯保费的类型和年缴纯保费的计算原理

和方法。

§7.1 年缴纯保费计算的一般原理

一、 收支平衡原则

保险人收取的保费在签单时的精算现值=保险人未来给付额在签单时的精算现值

L——保单在签单时的损失（随机变量） Z——保险人未来给付的现值（随机变量）

X——保险人未来收取的保费的现值（随机变量） E(L)?E(Z)?E(X)?0,E(Z)?E(X) 二、年缴纯保费的计算

P——年缴纯保费

Y——单位年缴纯保费在签单时的现值

E(Z)?E(X)?E(PY)?PE(Y)?P?

E(Z) E(Y)§7.2 年缴一次的纯保费的计算

一、

年初缴费、年底提供保额的人寿保险

AxMx? ??axNxA1Mx?M?xnx:n?2. n年缴费的n年定期寿险 P1?

x:n??x:naNx?Nx?n1. 终身缴费的终身寿险 Px?

12

A3. n年缴费的n年生存保险 P11?x:nx:n??x:na?Dx?n

Nx?Nx?n4. n年缴费的n年两全保险 Px:n5. h年缴费的终身寿险 hPx?Ax:nMx?Mx?n?Dx?n?? ??x:naNx?Nx?nAxMx? ??ax:hNx?Nx?hAx:nMx?Mx?n?Dx?n?6. h年缴费的n年两全保险 hPx:n? ??x:haNx?Nx?h

二、

年初缴费、死亡后即时提供保额的人寿保险 连续缴费、年底提供保额的人寿保险 连续缴费、连续提高保额的人寿保险

三、

四、

五、年金保险的年缴纯保费

§7.3 年缴费数次的纯保费的计算

一、 真实纯保费

年缴m次的真实纯保费指纯保费在一年内分m次缴付，且不补收被保险人死亡所在保险年度中尚未缴付的纯保险费。 二、年赋纯保费

年缴m次的年赋纯保费指被保险人在保险年度中途死亡，仍征收该保险年

度从死亡时刻到该年末的残余保费的一种分期付的纯保费。 三、比例纯保费

年缴m次的比例纯保费指被保险人在保单年度中途发生死亡事故，保险人

将返还被保险人每次缴纳保费的一定比例。

§7.4 两全保险保险费的分析

一、Px:n?P1?P1 x:nx:n?P?P，Pn——储金保险的年缴纯保费，P——递减定期死亡保险二、Px:nn的年缴纯保费

???1 P?Snn§7.5 保费返还的保单

一、 不计息的保费返还保单 1．普通保单：

13

??x?Ax?P?(IA)x P?ax:n2．n年定期保费返还保单

??x:n?A1 P?a?P?(IA)1

x:n

二、计息的保费返还保单

1．普通保单：

??vk?1q ??x?Ax?P??SP?akxk?1k?0?2．n年定期保费返还保单

k?1????P?a?A?P?Sv1 ?k?1kqx x:nx:nk?0n?1第八章 均衡纯保费准备金

★教学目的和要求：本章主要介绍均衡纯保费准备金基本概念，预期法准备金和追溯法准备金计算的

基本原理，以及各主要险种准备金的计算方法。通过本章学习，要求学生理解责任准备金的含义，掌握预期法准备金和追溯法准备金计算原理，并能计算出各个险种的责任准备金，并能在实务上进行应用；熟悉责任责任准备金的不同表达式，理解责任准备金递推公式的基本含义。 ★本章重点与难点：本章主要讲述责任准备金的概念、计算方法、不同表达式、递推公式。

★本章教学内容： 本章主要讲述责任准备金的概念、计算方法、不同表达式、递推公式以及会计年度末责任准备金的计算。

§8.1均衡纯保费准备金及其性质

一、责任准备金的概念

在人身保险的发展历史中，曾经出现过赋课式保险和自然保费的保险，每年保费收入与保险金支出相等，不会产生给付不足等多余问题，即也不存在应付未来给付责任而进行资金准备的问题，即建立责任准备金的问题。

由于赋课式保险、自然保费保险自身的局限性，代之而起的是均衡保费。在均衡保费制度下，每年的保费收入与保险金支出是不同的。例如，在终身人寿保险中，前期保费收入大于保险金支出，而后期则相反。这样保险人必须把前期所收取的一部份保费以复利形式积存起来，以弥补后期支付的不足。这种保险人以保险契约为依据，为应付将来发生的给付而提取的基金准备，称为责任准备金。换言之，所谓责任准备金，就是保险人为了履行未来给付责任，而从收取的保险费中所提取的准备基金。 二、责任准备金的性质

责任准备金是保险人对被保险人的负债，而不是保险人的资产。责任准备金的提存，关系到保险人给付责任的履行能力，也关系到保险人盈余的多少，因此深刻理解责任准备金概念，正确的计算责任准备金，就具有十分重要的意义。

除了在均衡纯保费制下产生责任准备金外，趸交保费制，也会产生责任准备金问题。本章主要讨论均衡纯保费责任准备金。

§8.2 均衡纯保费准备金的计算

一、责任准备金的计算方法

责任准备金的计算方法共有两种：一种是未来法或预期法；另一种是过去法或追溯法。 1．未来法：某个保险年度末责任准备金就是在该年度末未来保险金支付的现值与未来

14

保险费收入的现值之差。该法是从未来的角度，明确了保险人的给付责任。令tV表示第t年

??，这里A表示保险金支付现值，P表示均衡保费。 末责任准备金，那么t?V?A?P?a2．过去法：某个保险年度末责任准备金就是到该年度末已收取的保险费的终值与已支

付保险金的终值之差。该方法是从过去的角度，刻划了责任准备金的内涵。计算公式为

t?V?PS?A。 E因此，无论是由未来法还是由过去法，所计算出的责任准备金都体现出了责任准备金的实质，就是保险人的未来给付责任。

二、责任准备金的计算前提

1.以预定利率、预定死亡率的实现作为计算基础。

2.在责任准备金的计算时点，死亡保险金已经给付；而生存保险金尚未给付，若有保险费收入，也尚未收取进来。

三、责任准备金的具体计算

（一）预期法

1.在死亡年度末提供保额的保险准备金 （1） 终身保险

tx??x?t V?Ax?t?Px?aV11??x?t:n?t???(t?n)?A?P?a?x?t??:n?tx:n?? ??0??????????????????????????????????(t?n)（2）n年定期保险

(3)

1tx:nn年两全保险

tx:nV??x?t:n?t????(t?n)?Ax?t:n?t?Px:n?a???1???????????????????????????????????(t?n) ?0???????????????????????????????????(t?n)?

(4)限期h年缴费的n年两全保险

tx:nV??x?t:n?t??(t?h)?Ax?t:n?t?hPx:n?a??Ax?t:n?t?????????????????????????(h?t?n)??

1???????????????????????????????????(t?n)??0??????????????????????????????????(t?n)?

2．在死亡后立即提供保额的保险准备金 (1)终身保险

tV(Ax)?(2) n年定期保险

??x?t Ax?t?P(Ax)?a11??x?t:n?t?????(t?n)?A?P(A)?a?1x?t??:n?tx:ntV(Ax:n)??

0??????????????????????????????????????????(t?n)??(3)n年两全保险

15

??x?t:n?t???????(t?n)??Ax?t:n?t?P(Ax:n)?atV(Ax:n)??

??1????????????????????????????????????????????(t?n)(4)限期h年缴费的两全保险

??x?t:n?t????????(t?h)?Ax?t:n?t?P(Ax:n)?a??hV(A)??Ax?t:n?t????????????????????????????????????(h?t?n) tx:n???1??????????????????????????????????????????????(t?n)3．年金保险准备金

(1)n年延期期初终身生存年金保险

??x?t?P(n|a??x)?a??x?t:n?t?????????(t?n)??n?t|a??tV(n|ax)??

??a?????????????????????????????????????????(t?n)??x?t（2）限期h年缴费的n年延付期初终身生存年金保险

??x?t?hP(n|a??x)?a??x?t:n?t???????(t?h)?n?t|a?h????x?t????????????????????????????????????(h?t?n) V(a)??n?t|atn|x????ax?t?????????????????????????????????????????(t?n)

（二）追溯法

1．在死亡年度末提供保额的保险准备金 （1）终身保险

tx???V?Px?Sx:t?Px1:n???1?Px:n?A1x??:ttEx???k ?Px?Stxx:t（2）n年定期保险

???k???????????????????????????(t?n)?Stxx:t????Sx:t1

?????????????(t?n)t?nEx?ntExA1x:n1Vtx:n

（3）n年两全保险

tx:nV???k??????????????????????????(t?n)?Px1:n?Stxx:t???1???????????????????????????????????????????????(t?n) ?0???????????????????????????????????????????????(t?n)?

（4）限期h年缴费的n年两全保险

16

1?A??hPx:n?S??x:t?x:n??????????????????????(t?h)tExhVx:n?????P1A1hx:n?S??x:t??x:n?????????(h?t?n)?t?nEx?ntEx

?1???????????????????????????????????????????????(t?n)??0???????????????????????????????????????????????(t?n)

2．在死亡后立即提供保额的保险准备金 （1）终身保险

tV(Ax)?P(A???A1x:nx)?Sx:t?P(Ax)?S??x:ttxtE?k x（2）n年定期保险

?P(A1)?S???k???????(t?n)

tV(A1x:n)???x:nx:ttx??0?????????????????????????????????(t?n)

（3）n年两全保险

?P(Ax:n)?S???k?????????(t?n)

V(A?x:ttxtx:n)??1????????????????????????????????????(t?n)? ?0???????????????????????????????????(t?n)

④限期h年缴费的n年两全保险

??hP(Ax:n)?S??x:t?tkx??????????????????????(t?h)h?A?hP(A)?S???1?tkx????????(h?ttV(x:nx:t?n)x:n)???t?hEx?h?1???????????????????????????????????????????????????(t?n)??0??????????????????????????????????????????????????(t?n)

3．年金保险准备金

（1）n年付期初终身生存年金保险

?P(n|a??x)?S??????????????????????????????????????(t?n)

tV(n|?a??x:tx)??????P(n|?a?x)?S??1ax?n:t?n x:t?????????(t?n)t?nEx?nt?nEx?n

17

②限期h年缴费n年延付期初终身生存年金保险

?????????????????????????????????????????????(t?h)??P(a)?Shn|xx:t??1?h?????????????????????????????????(h?t?n)tV(n|ax)??hP(n|ax)?Sx:h? t?hEx?h????x?n:t?na1????x)?Sx:h??hP(n|a?????????????(t?n)?t?hEx?ht?nEx?n?

（三）预期法与追溯法的等价性及其运用规则 1.预期法与追溯法所计算出的责任准备金相等。在保险费缴纳期结束后的某时刻的准备金计算，宜用未来法。因为未来没有保费收入，仅有保险金支出。在无须提供保险金的期间内某时刻的责任准备金的计算，则宜用过去法，因为过去没有保险金支付。

2.负准备金产生的可能性及处理对策

对于大多数常见的保单，若采用均衡保险费制，则责任准备金为正；然而有些保单，责任保险金可能为负。如保额递减的一些保单，较早一些年份可能出现负责任准备金。

在实务中，保险人一般并不单独发行这种保单，往往与生存保险（如年金保险）结合起来，可以消除负责任准备金的情形。

例8.1某25岁被保险人投保了保额为15000元的终身死亡保险，终身缴费，年缴一次均衡保费，求其第15年末责任准备金 （以1958CSO3%替换函数为基础）。

? 解：先求年缴费一次终身缴费的均衡纯保费P25A25M25?P?15000?15000?169.1753299?169.18 25??25aN2511???过去法：15V25?15000P 25S25:15?15000A25:15E1525N25?N40M25?M40??P?15000?2652.01（元） 25D40D40??15000A?a???P未来法：V

152525?152525?15 ?15000

M40N?P'2540?2652.01（元） D40D40

§8.3 均衡纯保费准备金的不同表达式

前面我们研究了责任准备金计算可以采用未来法、过去法来计算，因而有未来法与过去

两种表达式。本节则运用人寿保险趸缴保费与生存年金精算现值之间的关系以及年缴保费与生存年金精算现值之间的关系，从未来法表达式出发，研究责任准备金的生存年金现值表达式、人寿保险趸缴保费表达式和人寿保险年缴保费表达式。

一、年缴费一次，于死亡年度末提供保额的保险准备金

（一）终身保险

18

??x?ta年金精算现值表达式：tVx?1?

??xaAx?t?Ax 趸缴纯保费表达式：tVx?

1?AxPx?t?PxV? 年缴纯保费表达式：tx

Px?t?d（二）两全保险

年金精算现值表达式：tVx:n趸缴纯保费表达式：tVx:n年缴纯保费表达式：tVx:n??x?t:n?ta?1???x:na

??Ax?t:n?t?Ax:n1?Ax:nPx?t:n?t?Px:nPx?t:n?t?d

二、年缴连续纯保费，于死亡后立即提供保额的保险准备金

（一）终身保险

年金精算现值表达式：tV(Ax)?1?ax?tax

Ax?t?Ax趸缴纯保费表达式：tV(Ax)?1?Ax

P(Ax?t)?P(Ax)年缴纯保费表达式：tV(Ax)?

P(Ax?t)??

（二）两全保险

年金精算现值表达式：tV(Ax:n)?1?ax?t:n?tax:n

趸缴纯保费表达式：tV(Ax:n)?)?Ax?t:n?t?Ax:n1?Ax:n

年缴纯保费表达式：tV(Ax:n

P(Ax?t??)?P(Ax??):n?t:nP(Ax?t??)??:n?t

三、年缴m次真实纯保费，于死亡所在1m年末提供保额的保险准备金险

（一）终身保险

19

(m)??a(m)(m)?t(Ax)?1?x年金精算现值表达式：tV(m)??xa

(m)(m)A?A(m)(m)(Ax) ?x?t(mx) 趸缴纯保费表达式：tV1?Ax

(m)(m)(m)(m)P(A)?P(Ax?tx)(m)(m)(Ax)?年缴纯保费表达式：tV (m)(m)P(m)(Ax)?d?t

（二）两全保险

(m)??a(m)(m)x?t:n?t(Ax)?1?年金精算现值表达式：tV(m):n??xa:n

趸缴纯保费表达式：tV(m)(m)(Ax) ?(m)(m)Ax?A?t:n?tx:n(m)1?Ax:n

(m)年缴纯保费表达式：tV(m)(Ax)?(m)(m)(m)P(m)(Ax)?P(A)?t:n?tx:n(m)(m)P(m)(Ax)?d?t:n?t

§8.4 相邻年度末责任准备金之间的关系

本节主要讨论相邻保险年度末责任准备金之间的关系，又称为递推公式。其作用之一就是据此可以求出各年末责任准备金；其作用之二就是可以阐述责任准备金的形成机制。

一、终身保险在相邻年度期末准备金之间的关系

?Px?vqx?t?vPx?t?t?1Vx

Vx （二）lx?t?(tVx?Px)(1?i)?dx?t?lx?t?1?t?1Vx)V?qx?t?(V?t?1Vx?tVx) （三）Px?(1?t?1Vx)?(V?t?1Vx?tVx)lx?t （四）lx?tPx?vdx?t(1?t?1公式（一）、（二）反映了年初责任准备金的使用情形；公式（三）、（四）则反映了

年度保费可以分解为储蓄保费与危险保费之和。

（一）tVx二、一般保险在相邻年度的期末准备金的关系

（一）(tV?P)(1?i)?bt?1?qx?t?px?t?t?1V

qx?t1?iV?(tV?P)??bt?1?（二）t?1

px?tpx?t或者为Fackler公式：

20

V?t?1Dx?tC(tV?P)?x?tDx?t?1Dx?t?1

§8.5 年缴多次保费的期末准备金

一、年缴费数次真实纯保费准备金

（一）终身保险

tVx(m)(m)??x?Ax?t?Px(m)?a?t

(m)??xAx?t?P(m)(Ax)?a?t

(Ax)? tV（二）n年两全保险

(m)

(m)(m)(m)??V?A?P?a tx:nx?t:n?tx:nx?t:n?tm?1(m)(m)1V(A)?V(A)??P(A)?Vtttx:n x:nx:nx:n2m

二、年缴数次年赋纯保险费准备金

在死亡后立即提供保额的保单，其年缴次年赋纯保险费准备金，与年缴一次年赋纯保险费准备金或其他纯保险费准备金之间，并不在在明显的联系。因此，年缴数次年赋纯保险费准备金，通常只讨论于死亡年末提供保额的情形。

（一）终身寿险

其在t年末的准备金具体表示为tVx似为(1?[m]。因为保险费是年赋的，所以相应的保险金额近

m?1[m]?Px)，这样 2m[m]?(1?tVxm?1[m](m)??xPx)?Ax?t?Px[m]a?t=tVx

2m在年赋纯保险费方式下，在死亡发生年末没有纯保险费的损失，从而也就不存在准备金的调整。具体表现为tVx

（二）n年两全保险

其在t年末的准备金记作tVx:n。于是

[m][m]?tVx。

m?1[m]](m)??x?t:n?tV?(1?Px:n)?Ax?t:n?t?Px[:man2mm?1[m]?Px:n?n?tEx?t =tVx:n?2m[m]tx:n

三、年缴数次比例纯保险费准备金

（一）死亡年末提供保额的年缴m次的比例纯保险费保单 设其在第t年末的准备金记作tV1.终身寿险

?m?，于是

1?m?1?m?由于在死亡年度的平均保险费损失为Px，而保险金额的估计值为1?Px。

22于是

21

?m?V?(1? tx

2. n年两全保险

1?m?(m)1?m???xPx)?Ax?t?Px?m?a?t=tVx?(1?Px) 2m2?m?Vtx:n?tVx:n?

m?1?m?1?Px?tVx:n2m

3.限期h年缴费的终身保险

1?h?m?1V??P?V?txhxtx:n????????(t?h)h?m???? 2?tVx:n?h??tVx??????????????????????????????????(t?h)

（二） 在死亡后立即提供保额的年缴m次的比例纯保险费保单 设其在第t年末的准备金为tV(A)，于是 1.终身保险

m????(m)??V(A)?A?P(A)atxx?txx?t?tV(Ax)

mm

2.限期h年缴费的n年两全保险

ht(m)??xV?m?(Ax:n)?Ax?t:n?t?hP?m?(Ax:n)?a?t:n?t=

htV(Ax:n)

§8.6非整数年龄责任准备金

一、非整数年龄责任准备金概念

非整数年龄责任准备金，又称为会计年度末责任准备金。前面，我们所讨论的准备金，指的是某个保险年度末的准备金；而在实际运作中，寿险公司依照法律在每一个会计年度（也称为事业年度）终了时应作出决算，评估资产和负债，计算一年内的收支损益，计算出当年的盈余（红利等）；由于会计年度各国规定也有不同，会计年度与保险年度大多不一致，这就需要计算在会计年度末的责任准备金。这是寿险公司提交的年报表中一项主要的负债数据或负债指标。

设会计年度末，某保单恰好经过t?h（0?h?1），设保单在第t保险年度末责任准备

V，因此非整数年龄责任准备金为tV，纯保险费为P，第t?1年度末的责任准备金为t?1V计算出t?hVx？ 金实际上就是计算t?hVx，即如何由tVx，t?1二、线性插值法

假设责任准备金在一个保险年度内均匀地变化，则

t?hV?(tV?P)(1?h)?t?1V?h

二、未来法

以终身寿险为例，运用未来法有

1?h1?h??x?t?h V?v?q?v?1?hpx?t?hAx?t?1?Px?1?h?|at?hx1?hx?t?h在死亡服从均匀分布之下，有

22

(1?h)qx?tpx?t??x?t?1?Ax?t?1)] ?(?Pxa1?hqx?t1?hqx?tpx?t1?h(1?h)qx?t?v[?Vx] t?11?hqx?t1?hqx?t?vqx?t(1?h)?vpx?t?t?1V

?(1?h)(tVx?Px)?hvpx?t?t?1Vx ?(1?h)(tVx?Px)?h?t?1Vx

1?hV?v[t?hx第九章 毛保险费

★本章教学目的与要求：本章首先对寿险费用进行分析，然后介绍安全加成的一般方法和毛保费计算

的规则和方法。通过本章学习，要求学生理解为什么要进行费用分析；为什么保险公司收取的保险费不是均衡纯保费，而是毛保费。掌握安全加成的方式和方法，正确运用毛保费计算原则，掌握毛保费的计算方法。

★本章教学重点与难点：毛保费与毛保险费率的计算。

★本章教学内容：寿险费用分析与附加保费计算，安全加成的基本方法，毛保费与毛保险费率的计算。

§9.1寿险费用分析与附加保费计算

毛保费就是保险人向投保人或被保险人收取的保险费，又称为营业保险费，或者总保险费。在纯保费基础上附加的费用，叫做附加费用，或者说是总保费与纯保费之差。

一、寿险费用分类

寿险经营费用种类繁多，对其划分，无统一标准。但比较常用的两种分类标准。 （一）按经营过程各环节的费用 发生为依据的分类 （二）按费用是否与保额、保险费相关进行分类

二、寿险费用预估及其分摊

（一）费用预估遵循的原则

费用预估遵循两个基本原则：一是适度性原则；二是公平性原则。 （二）费用分摊主要考虑的因素 费用分摊主要考虑的因素有

1.过去年度分配与实际发生费用的情况，失效对费用的影响，分摊比例确定的因素及变化原因。

2.合理费用分摊应考虑到每年预期费差益大小

3.合理费用分配还必须考虑实际责任准备金的提存与积累。

三、费用的补偿

投资费用由投资收益来补偿；理赔费用应由纯保费来补偿；其它费用通常由附加费用来补偿。其原则是附加保险费收支平衡原则。

§9.2 安全加成的基本方法

一、安全加成的必要性

在于预定的计算基础（精算假设）与实际的计算基础不一致，要消除随机波动需要进行安全圆成。

二、安全加成的方式和方法

（一）在纯保费的基础上附加计算安全加成 安全加成因子或系数Q可以通过下式决定

P(X?(1?Q)E(X))??

23

P(X?E(X)QE(X)?)??

Var(X)Var(X)

（二）在附加保费的基础上附加计算安全加成

§9.3 毛保费与毛保险费率的计算

一、毛保费计算原则

遵循的原则是收支平衡原则。 二、不同保单毛保费计算的差异

分红保单与无分红保单的毛保费的计算存在差异，前者较松驰，后者较严格。

三、毛保费计算的应用

（一）无分红保单毛保费的计算 （二）分红保单毛保费的计算

四、毛保险费率的计算

保额为b的毛保险费率R(b)的计算的一般公式为

R(b)?a??c? b

其中，第一项不随保额变化，第二项则随保额变化。

例 某种10年期两全保单，被保险人的签单年龄为30岁，保险金额为1000元，于死亡年末给付。设按年均缴费一次的方式购买，其费用在每保单年初发生，其大小如下： 时 间 费用类型 佣金 一般费用 保单维持费 12% 4% 1.5% 第一年 保险费百分比 常数 ― 2 1 3% － 1.5% 续 年 保险费百分比 常数 － 1 1.5 － 3.5% 3 2% 其他费用 试求保单的均衡纯保费与毛保费（以1958CSO3%为基础）。

解：年缴纯保费P?1000P30:10M30?M40?D40?1000?85.82（元）

N30?N40

设年缴均衡附加保费为e，则

??30:10?1000A30:10?21%(P?e)?6?6.5%(P?e)a30:9?2.5a30:9 (P?e)a1000A30:10?6?2.5a30:91000A30:10?3.5?2.5a30:10P?P?e????30:10?21%?6.5￡0:9??30:10?14.5%a(1?6.5%)a?

24

100P030:1?0

6P(30:10?d?)?1?21%P3(0:1?d?)0?a30:92.5??30:10a

a30:96.5%??30:10a85.8?26(0.08?5820.0?291?26)2.50.885053?96.6（元）1

1?21%(0.08?5820.0?2912?6)6.5%0.885053e?P??P?96.61?85.82?10.79（元）

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