圆最值问题题型归纳

圆中最值问题

类型一 圆上一点到直线距离的最值问题

22(x?3)?y?1上任一点，则PQ的最小例1 已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：

值为 .

变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x?3)2?y2?1上任一点，则SVQAB的最小值为 .

变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：(x?3)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为

变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC= 时，?APB最大．

变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 .

例2已知圆C：x2?y2?2x?4y?3?0，从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标．

y C O x

类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）

例3若实数x、y满足x2?y2?2x?4y?0，求x-2y的最大值． 如在上例中，改为求

y?1，(x?2)2?(y?1)2，x?y?1的取值范围，该怎么求解？ x?2类型三：转化成函数或不等式求最值

????????例4已知圆O：x?y?1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则PA?PB的最

22小值为

2例5已知圆C：（x+2）?y2?4， 过点A(?1,0)做两条互相垂直的直线l1、l2，l1交圆C

与E、F两点，l2交圆C与G、H两点，

（1）EF+GH的最大值．(2) 求四边形EGFH面积的最大值．

6、已知?C过点P(1,1),且与?M:(x?2)2?(y?2)2?r2(r?0)关于直线x?y?2?0对称.

(Ⅰ)求?C的方程；

?????????(Ⅱ)设Q为?C上的一个动点,求PQ?MQ的最小值；

(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与?C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.

7、如图，在矩形ABCD中，AB?3,BC?1，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）

（Ⅰ）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；

（Ⅱ）若动圆M与满足题（Ⅰ）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．

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