《概率论与数理统计》分章复习题

第一章 随机事件与概率

一、 选择题

1、以A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A为( ).

(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销

2、设A、B、C为三个事件，则A、B、C中至少有一个发生的事件可以表示为( ). (A)ABC (B) A?B?C (C) A?B?C (D) ABC 3、已知事件A,B满足AB??(其中?是样本空间),则下列式( )是错的.

(A) A?B （B） AB?? (C) A?B （D） B?A

4、设A、B、C为三个事件，则A、B、C中至少有一个不发生的事件可以表示为( ). (A)ABC （B）ABC (C) A?B?C （D） ABC 5、假设事件A,B满足P(B|A)?1，则( ).

(A) A是必然事件 (B) P(B|A)?0 (C)A?B (D)A?B 6、设P(AB)?0, 则有( ).

(A) A和B不相容 (B) A和B独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A) 7、设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）. （A）A与B不相容 （B）A与B相容 （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(A?B)?P(A) 8、设B?A，则下面正确的等式是( ).

(A) P(AB)?1?P(A) (B) P(B?A)?P(B)?P(A) (C) P(B|A)?P(B) (D) P(A|B)?P(A) 9、事件A,B为对立事件，则下列式子不成立的是( ).

(A)P(AB)?0 （B）P(AB)?0 (C)P(A?B)?1 （D） P(A?B)?1 10、对于任意两个事件A,B，下列式子成立的是( ).

(A) P(A?B)?P(A)?P(B) （B） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

1

(C) P(A?B)?P(A)?P(AB) （D） P(A?B)?P(A)?P(AB) 11、设事件A,B满足P(AB)?1， 则有（ ）.

（A）A是必然事件 （B）（C）A?B??(空集) （D）B是必然事件

P(A)?P(B)

12、设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（ ）. （A）P(A?B)?P(A); （B）P(AB)?P(A); （C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A) 13、设A,B为任意两个事件，A?B,P(B)?0，则下式成立的为（ ）. （A）P(A)?P(A|B) （B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B) （D）P(A)?P(A|B)

14、设A和B相互独立，P(A)?0.6，P(B)?0.4，则P(AB)?（ ） （A）0.4 （B）0.6 （C）0.24 （D）0.5 15、设 P(A)?c,P(B)?b,P(A?B)?a, 则 P(AB) 为 ( ). (A) a?b （B） c?b (C) a(1?b) （D） b?a 16、设A,B互不相容，且P(A)?0,P(B)?0,则必有（ ）.

(A) P(BA)?0 （B）P(AB)?P(A) (C) P(AB)?P(A)P(B) （D） P(AB)?0 17、设A,B相互独立，且P(A?B)?0.82,P(B)?0.3，则P(A)?（ ）。 (A) 0.16 （B）0.36 (C) 0.4 （D）0.6 18、已知P(A)?0.5，P(B)?0.4，P(A?B)?0.6，则P(AB)?（ ）。 (A) 0.2 （B）0.45 (C) 0.6 （D）0.75 19、已知A?B,P(A)?0.2,P(B)?0.3，则P(BA)?( ).

(A) 0.3 （B）0.2 (C) 0.1 （D）0.4 20、已知 P(A)?0.4,P(B)?0.6,P(B|A)?0.5, 则 P(A?B)?( ).

2

(A) 0.9 （B） 0.8 (C) 0.7 （D） 0.6

21、掷一枚钱币，反复掷 4 次，则恰有 1 次反面出现的概率是 ( ). (A) 1/2 （B） 1/4 (C) 1/6 （D） 1/8

22、一学生毫无准备地参加一项测验,其中有5道是非题,他随机地选择 ”是” 和 ”非” 作答,则该生至少答对一题的概率为( ). (A)

11531 （B） (C) （D）

532323223、掷一枚质地均匀的骰子，设A为“出现奇数点”，B为“出现1点”，则P(B|A)=( ). (A) 1/6 （B） 1/4 (C) 1/3 （D） 1/2

24、一袋中有6个黑球，4个白球. 有放回地从中随机抽取3个球，则3个球同色的概率是( ).

(A) 0.216 （B）0.064 (C) 0.28 （D）0.16

25、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是奇数的概率为（ ）. （A）

1112 （B） （C） （D） 521233111 （B） （C） （D） 5212326、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ ）。 （A）

27、掷一枚质地均匀的骰子，设A为“出现偶数点”，B为“出现两点”，则

P(BA)=( ).

(A) 1/6 （B） 1/4 (C) 1/3 （D） 1/2

28、设甲乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9和0.8，则目标被击中的概率是（ ）.

(A) 0.9 （B） 0.98 (C) 0.72 （D） 0.8

29、袋中有6个乒乓球，其中2个黄的，4个白的，现从中任取2球(不放回抽样)，则取得2只白球的概率是（ ）.

(A) 1/5 （B） 2/5 (C)3/5 （D）4/5

30、10箱产品中有8箱次品率为0.1,2箱次品率为0.2,从这批产品中任取一件为次品的概率是（ ）.

(A) 0.3 （B） 0.12 (C) 0.15 （D） 0.28

31、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是 （ ）

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5

32、一部六卷选集，按任意顺序放到书架上，则第三卷和第四卷分别在两端的概率是 ( ).

3

(A) 1/10 （B） 1/12 (C) 1/15 （D） 1/18

33、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( ). (A)

6151921 (B) (C) (D) 4040404034、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( ). (A)

7667 (B) (C) (D) 101099,n的n张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k次(1?k?n)抽到1号

35、在编号为1,2,赠券的概率是( ).

1111 (B) (C) (D) n?kn?k?1nn?k?136、某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖

(A)

的概率分别为P(A)?0.03,P(B)?0.01,P(C)?0.02, 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 ( )

(A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08

37、设N件产品中有n件是合格品，从这N件产品中任取2件，问其中有一件为不合格品，另一件为合格品的概率是（ ）。 (A)

n(N?n)n?1 （B）

N(N?1)2N?n?1n?1n(N?n) （D）

2(N?n)N2 (C)

二、 填空题

1、设A,B是两个事件，则A,B中必有一个发生应表示为 .

2、设A,B为两相互独立的事件，P(A?B)?0.6,P(A)?0.4，则P(B)?_______.

3、已知P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?，则P(A?B)?_______. 4324、已知P(A1)?P(A2)?P(A3)?0.8，且A1,A2,A3相互独立,则P(A1?A2?A3)?____.

5、随机事件A,B相互独立，且P(A)?P?B??0.2，则A、B都不发生的概率为_______.

4

2,则P(A?B)? ． 317、 设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A96、已知P(A)?0.5,P(B)?0.6及P(AB)?不发生的概率相等，则P?A? ．

8、已知P(A)?0.5,P(B)?0.6及P(BA)?0.8,则P(A?B)?_________ .

9、已知 P(A)?0.8,P(A?B)?0.5, 则 P(AB)?________________.

10、设A,B互不相容，且P(A)?p,P(B)?q；则P(AB)?_______.

11、设事件A,B及A?B的概率分别为0.4,0.3,0.5，则P(AB)?______. 12、已知事件A,B互不相容，且P?A??0.3,PAB?0.6，则P?B?＝ ． 13、设事件A,B相互独立，P?A??0.4,P?B??0.2，则PA?B?________．

????14、已知A,B两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?_______.

15、袋中有红、黄、白球各一个,每次任取一个,有放回的抽三次,则颜色全不同的概率为

__________.

16、 一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜

一个。假设他知道正确答案的概率为

11，乱猜对答案的概率为。如果已知他选对了，35则他确实知道正确答案的概率为 ．

17、设在一次试验中，A发生的概率为p，现进行5次独立试验，则A至少发生一次的概

率为 .

18、同时抛掷四颗均匀的骰子，则四颗骰子点数全不相同的概率为 .

19、有两只口袋，甲带中装有3只白球，2只黑球，乙袋中装有2只白球，5只黑球，任选

一袋，并从中任取1只球，此球为黑球的概率为______.

20、三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7，

则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_______.

21、某人射击的命中率为0.4，独立射击10次，则至少击中1次的概率为_______.

5

9、设随机变量X的概率密度为f?x?，则f?x?一定满足（ ）。 （A）0?f?x??1 （B）P?X?x??（C）

?xx??f?t?dt

?????xf?x?dx?1 （D）P?X?x?????f?t?dt

10、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，（ ）成立

(A) F(?a)?1??a0f(x)dx， (B) F(?a)?F(a)，

a1(C) F(?a)???f(x)dx， (D) F(?a)?2F(a)?1

2011、设随机变量X具有对称的概率密度，即f(x)?f(?x)，又设F(x)为X的分布函数，则对任意a?0,P{|x|?a}?( ).

A.2[1?F(a)] B.2F(a)?1 C.2?F(a) D. 1?2F(a)

12、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为f(x)，而且X与?X有相同的分布函数，则（ ）

（A）F(x)?F(?x) （B）F(x)??F(?x) （C）f(x)?f(?x) （D）f(x)??f(?x)

0?x?1,?x,?13、连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)??2?x,1?x?2, 则随机变量 X 落在区?0,其他.?间 (0.8,1.6) 内的概率为 ( ). A. 4/5 B. 3/5 C. 2/5 D. 1/5

?5x4,0

其他.?0,的实数，使 P(X?a)?P(X?a), 则 a?( ).

A. 1111 B. C. D.

46532222 11

15、设随机变量X~N(0,1), ?(x)是X的分布函数，且P{X?x}???(0,1),则x?( ).

(A) ?(?) (B) ??1(1??1?1?2)

(C) ?(1??) (D) ??1()

?216、设随机变量X~N(0,1)，对给定的?(0???1)，数z?满足P(X?z?)??. 若

P(X?c)??，则c?( ).

（A）z? （B）z1?? （C）z1?? （D）z1??

22217、设随机变量X~N?1,4?，则下列变量必服从N(0,1)分布的是 （ ） （A）

X?1X?1X?1 （B） （C） (D) 2X?1 43218、设随机变量 X~N1,32, ??1??0.8413, 则事件 ??2?X?4? 的概率为 ( ).

A. 0.6826 B. 0.8413 C. 0.5413 D. 0.3413 19、设随机变量X~N(2,?)，且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}?( ). A.0.8 B.0.2 C.0.5 D.0.4 20、设X~N2??,且P(0?X?4)?0.6，则P?X?0??（ ）

?2???? （A）0.3 （B）0.4 （C）0.2 （D）0. 5

21、设随机变量X服从正态分布N(?,?),则随着?的增大,概率P{|X??|??}( ). (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 22、X~N(?,4),Y~N(?,5),p1?P{X?222??4},p2?P{Y???5}，则（ ）.

A.对任意实数?,p1?p2 B.对任意实数?,p1?p2

C. 对任意实数?，都有p1?p2 D.只对?的个别值，才有p1?p2 23、设X的分布函数为F?x?，则Y?（A）F?1X?1的分布函数G?y?为（ ） 2?1?y?1? （B）F?2y?1? （C）F(2y?2) （D）2F?y??1 ?2? 12

24、设随机变量X的概率密度为?(x)?1，则Y?2X的概率密度为( ). 2?(1?x)(A)

1112arctany (B) (C) (D)

?(1?4y2)?(1?y2)?(4?y2)?a,N二、填空题

1、设离散型随机变量X的分布律为P{X?i}?i?1,2,,N. 则a?_______.

，则a?_______.

2、设离散型随机变量X的分布律为P{X?i}?a?ii!,i?0,1,2,3、已知随机变量X只能取?1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为

1352，则,,,2c4c8c16cc?_______.

4、已知某随机变量X的分布律为P(X?k)?k,k?0,1,C,10，则C? . X5、随机变量X的概率分布为

P01，则c? ．

9c2?c3?8c6、设随机变量X~b(n,p),且已知P(X?1)?P(X?2)?2P(X?3)，则p? ． 7、设某批电子元件的正品律为

41，次品率为.现对这批元件进行测试，只要测得一个正55品就停止测试工作，则测试次数的分布律是_______.

8、某射手每次射击击中目标的概率为 0.7， 他连续射击，直至第 i 次击中目标为止. 设

X 是直至击中时的射击次数，则 P(X?i)?________________, i?1,2,.

9、某射手每次射击命中目标的概率为0.4，现连续向一个目标射击，直至首次命中目标为止，则射击次数X的分布律P(X?k)? 。 10、设离散型随机变量 X 分布律为

(其中 a 为大于零的常数) 则P(0.5?X?2.5)?________.

X P 0 0.2 1 0.4 2 a 11、设随机变量X服从泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则P{X?4}?______. 12、设一批产品共有N个，其中有M个次品.对这批产品进行不放回抽样，连续抽取n次.

设被抽查的n个产品中的次品数为X.则P{X?i}?_______，i?0,1,2,,n.

13

13、设离散型随机变量X的分布律为

X p 0 0.2 1 0.3 2 0.5

则P{X?1.5}?_______.

14、设随机变量X~b(2,p),Y~b(3,p),，若P{X?1}?5，则P{Y?1}?_______. 915、设随机变量X服从[?2,3]上的均匀分布，则随机变量X的概率密度函数f(x)? 。

?x?,0?x?416、设随机变量X的概率密度函数为f(x)??8，则P(X?3)?_______.

??0, 其他??e?3x,x>0，17、连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 则P{X?0.1}?_______. x?0?0,18、设随机变量X的概率密度为f(x)?A,???x???，则A＝ ． 1?x2?Axe?x,x?019、已知函数f(x)??是某随机变量X的概率密度，则A的值为 .

x?0?0,20、设随机变量X的概率密度函数为f(x)?Ae?|x|,???x??，则系数A?_______.

??Asinx,0?x??21、已知函数f(x)??2，是某随机变量X的概率密度，则A? .

?其他?0,?x?,0?x?422、设随机变量X的概率密度函数为f(x)??8，则P(X?3)?_______.

??0, 其他?ax3,0?x?223、随机变量X的概率密度f?x???，则a? ．

其它?0,?Ae?x,x?024、已知f(x)??是某随机变量X的概率密度函数，则A的值为 .

0,x?0? 14

?1xe,x?0??325、已知函F(x)??是某随机变量X的分布函数，则A? .

?A?2e?2x,其它?3?x?0?0,?226、设随机变量X的分布函数为 F(x)??Ax,0?x?1, 则A?________.

?1,x?1??1?e?x， x?027、随机变量X的分布函数F(x)??，则P?X?3?? 。

，其它?028、设随机变量X的概率密度函数为f(x)?_______.

1?|x|e,???x??，则X的分布函数F(x)?2113?3?x??x?,29、设随机变量X的概率密度为f(x)??2222，则变量Y?2X?1的概率

?其它?0,密度为 .

?x,　x?0?30、设随机变量X具有分布函数F(x)??1?x ，则P(X?4)=___________ .

??0,　　　x?031、设随机变量X服从(?2,2)上的均匀分布，则随机变量Y?X的概率密度函数

2fY(y)? .

32、设连续随机变量的密度函数为f(x)，则随机变量Y?3e的概率密度函数为________.

X33、设随机变量X服从正态分布N??2,3?， 则概率密度函数为___ ___.

34、设随机变量X~N(1,9),,则若P(X?k)?1，k? . 235、设随机变量X~N1,22，?(0.5)?0.6915,则事件{0?X?2}的概率为 ． 36、设随机变量X~N(2,?)，若P{0?X?4}?0.3,则P{X?0}? 。 三、解答题

1、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数

15

2??

X的分布律.

?1000,x?1000?3、某型号器件的寿命X（以小时计）具有概率密度f(x)??x2。现有一大

?其它?0,批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取3只，问其中至少有一只寿命大于3000小时的概率是多少？

4、设随机变量K服从(0,5)上的均匀分布，求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率. 5、设随机变量X服从正态分布N?0,1?，求随机变量函数Y?X的密度函数。

2?20000,x?0?36、设某种药品的有效期间X以天计，其概率密度为f(x)??(x+100),

?0,x?0?求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率. 7、设随机变量X的概率密度函数为f(x)??分布函数.

?Ax,0?x?1,求(1)确定常数A；(2)X的

其他?0,?0,?x?8、设随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsin,a?1,??求：(1)确定常数A和B；（2）X的概率密度函数. 9、设随机变量X的分布函数为F(x)??x??a?a?x?a x?a?0,x?0?xA?(1?x)e,x?0?(1)确定常数A；(2) , 求：

X的概率密度函数.

?0,x?0?210、设随机变量X的分布函数为 F?x???x,0?x?1 ，求：（1）概率P?0.3?X?0.7?；

?1,x?1?（2）X的概率密度函数fX?x?。

?e?x,x?0211、 设随机变量X的概率密度为 f(x)??. 求Y?X的概率密度.

?0,其他 16

12、设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求（1）Y??2lnX的概率密度；（2）Y?eX 的概率密度.

13、设随机变量X的概率密度为fX(x)?1,?(??x??)求随机变量，2?(1?x)Y?1?3X 的概率密度fY(y)．

?1?(3x?1),0?x?214、设随机变量X的密度函数为f(x)??8 .

? 其他 ? 0 ,试求：（1）X的分布函数F(x)；（2）Y?2X的密度函数.

?3x?，0?x?1，试求随机变量Y?1?2X的

15、设随机变量X的概率密度为f(x)??2?其它?0，概率密度． 四、 综合题

1、设X~N(?,?), 试证明Y?2X???服从标准正态分布N(0,1).

2、随机变量X服从区间[1，6]上的均匀分布，求二次方程t2?Xt?1?0有实根的概率.

?(k?1)xk,0?x?1,3、设随机变量X的概率密度函数为f(x)??

0,其他，?已知对X独立重复观测3次，事件A?{X?}至少发生一次的概率为求常数k。

4、设随机变量X的概率密度为f(x)??1237。 64?2x,0

?1,x?1?在(,2)内的概率；(3)求概率密度f(x).

1213 17

0x??1??6、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsinx?1?x?1，

?1x?1?试求（1）常数A,B；（2）X的概率密度；（3）Y?3X?1的概率密度。 7、设随机变量X服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：

?3e?3x fX(x)???0x?0x?0，试求 Y?2X2 的概率密度函数.

?e?x,x?028、设随机变量X的概率密度为f(x)??. 求Y?X的概率密度。

?0,其他9、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求Y?eX的概率密度.

第三章 多维随机变量及其分布

一、选择题

1、设P{X??1}?P{Y??1}?P{X?1}?P{Y?1}?独立且同分布,则下列各式中成立的是（ ）

1，两个随机变量X，Y是相互21 (B) P{X?Y}?1 211 (C) P{X?Y?0}? (D) P{XY?1}?

4422、设X~N(?,?)，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，则Y~( ).

(A）P{X?Y}? （A） N(a??b, （C） N(a??b,a2?2?b2) （B）N(a??b,a2?2?b2) a2?2) （D）N(a??b,a2?2)

3、设随机变量X,Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(1,1)，则( ). （A）P(X?Y?0)?1/2 （B）P(X?Y?1)?1/2 （C）P(X?Y?0)?1/2 （D）P(X?Y?1)?1/2

4、设X~N??3?1?, Y~N?2?1?,X,Y相互独立，令Z?X?2Y?7,则Z~（ ） A. N(0,5) B. N(0,3) C. N(0,46) D. N(0,54)

5、设随机变量X与Y相互独立，且X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),则Z?X?Y仍

22 18

具有正态分布，且有( ).

A.Z~N(?1,?1??2) B.Z~N(?1??2,?1?2) C.Z~N(?1??2,?1?2) D.Z~N(?1??2,?1??2) 6、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

222222?a(x?y),0?x?1,0?y?2f(x,y)??，则常数a? （ ）

?0,其他(A)

11 (B) 3 (C) 2 (D) 32?12e?(3x?4y),x?0,y?0，7、设二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

0,其他?则P{0?x?1,0?Y?2}?( ).

(A) (1?e)(1?e) (B) e(1?e) (C) (1?e)(1?e) (D) e(1?e)

?3?8?8?3?6?8?3?8?6x2y,0?x?1,0?y?18、设?X,Y?的联合概率密度函数为f(x,y)??,

0其他? 则下列中错误的是( )。

(A)P{X?0}?1 (B)P{X?0}?1 (C)X,Y相互独立 (D) 随机点?X,Y?落在D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}的概率为1

9、设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线y?x与y?x所围，则(X,Y)的联合概率密度函数为( ).

2?6,(x,y)?G?1/6,(x,y)?G(A) f(x,y)?? (B) f(x,y)??

0,其他0,其他??(C) f(x,y)???2,(x,y)?G?1/2,(x,y)?G (D) f(x,y)??

其他其他?0,?0,2210、设二维随机变量(X,Y)在圆域G：x?y?36服从均匀分布，则(X,Y)的联合概率密度函数为（ ）.

19

?1,(x,y)?G?36?,(x,y)?G?A. f(x,y)?? B. f(x,y)??36?

其他?0,?其他?0,?1,(x,y)?G?6?,(x,y)?G?C. f(x,y)?? D. f(x,y)??6?

0,其他??其他?0,11、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X、Y 的分布函数分别为 FX(x)、FY(y), 令 Z?max(X,Y)，则 Z 的分布函数 FZ(z)?( ). A. FX(z)FY(z) B. 1?FX(z)FY(z)

C. (1?FX(z))(1?FY(z)) D. 1?(1?FX(z))(1?FY(z)) 二、填空题

1、设X,Y为相互独立的随机变量，P{X?0}?P{Y?0}?5,则P{max(X,Y)?0}? . 82、随机变量X,Y相互独立且服从同一分布，P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3，

k?0,1，则P(X?Y)?.

_________ (写出

3、若随机变量X与Y独立且都服从标准正态分布N(0,1)，则X?Y具体分布).

4、设随机变量X和Y均服从N(0,1),分布，且X与Y相互独立，则(X,Y)的联合概率密度函数为 .

5、X与Y相互独立且都服从泊松分布?(?)，则X?Y服从的泊松分布为_________. 6、X,Y独立且服从相同分布N?,??2?，则2X?Y?3~ ．

?2e?(2x?y),x?0,y?07、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??，则

其他?0,P{X?1,Y?2}? 。

8、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

20

?1?3?x?3?y?3?(x?y),x?0,y?0F(x,y)??，

其他?0,则二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 . 三、解答题

1、设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布律为：

12P?X?1??,P?X?2??

33求Z?X?Y的分布律.

2、设有5个产品，其中3件正品，2件次品，采用有放回的方式从中任意抽取两件，每次任取一件，并分别以X和Y表示第一次和第二次取到的次品数，求(X,Y)的联合分布律. 3、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和

Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布.

4、袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量X和Y：

?1,第一次摸出白球?1,第二次摸出白球X??，Y??；

?0,第一次摸出黑球?0,第二次摸出黑球求：(1)随机变量(X,Y)的联合概率分布；(2)X与Y的边缘分布. 5、某射手每次打靶能命中的概率为

2，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为X，后两3次中靶数为Y,求（1）(X,Y)的分布律；（2）关于X和Y的边缘分布律

?Ae?(x?y),6、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)???0,（2）P{X?2,Y?1}。 A的值；

x?0,y?0其他，求（1）

?Ae?(x?y),7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)???0, 求（1）A的值；（2）P{X?1,Y?2} 8、设二维随机变量?X,Y?的联合概率密度为

x?0,y?0其他

?1?(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)??8，求P{X?Y?4}.

?0其他? 21

?21?x?xy,0?x?1,0?y?29、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)?? ，3?0,其他?试求:(1)(X,Y)的联合分布函数；(2)X的边缘密度函数；(3) P(Y?2X).

?6xe?3y,0?x?1,y?0，10、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??

0,其他? 试求(1)X和Y的边缘密度函数；(2)P{X?0.5,Y?1}.

?ke??3x?4y?,x?0,y?011、设二维连续型随机变量?X,Y?的联合概率密度为f(x,y)??，

0其它?（1）确定常数k； （2）讨论X,Y的独立性； (3) (X,Y)的联合分布函数; (4)P?0?X?1,0?Y?2?.

?2e?2x?y,12、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)???0,求：(1)(X,Y)的联合分布函数；(2) 关于X的边缘分布函数. 13、设二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度为

x?0,y?0其他,

f(x,y)?6,222?(4?x)(9?y)???x??,???y??

求：(1)(X,Y)的联合分布函数； (2)关于Y的边缘概率密度.

?A(x?y)2,14、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)???0,求（1）A的值；（2）P{X?3,Y?}。 四、 综合题

x?1,y?1

其他121、设二维随机变量?X,Y?是区域D内的均匀分布，D:x2?y2?1．试写出联合概率密度函数，并确定X,Y是否独立？是否相关？ 2、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?x2?Axy, f(x,y)???0,

0?x?1,0?y?2其他22

求（1）A的值；（2）判断两个随机变量是否独立。

?Cx2y3,0?x?1,0?y?1，3、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??

?0,其他试求：(1) 常数C； (2) X和Y的边缘密度函数；（３）证明X与Y相互独立.

4、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)???6x,0?x?y?1?0,其他，

求（1）X,Y的边缘密度函数； （2）P(X?Y?1).

5、设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)???8xy , 0?x?1,0?y?x?0 其他，试求 ：(1)X和Y的边缘概率密度函数； (2)概率P(Y?X2)的值. 6、设随机向量 (X,Y) 的联合概率密度函数为 f(x,y)???Ce?(2x?3y),x?0,y?0,?0,其他.求：(1) 常数 C； (2) 联合分布函数 F(x,y)； (3) P(0?X?1,0?Y?2). 7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

f(x,y)???Ae?(2x?4y),x?0,y?0?0,其他，

求（1）A的值；（2）关于X的边缘概率密度函数；（3）P(0?X?1,0?Y?2). 8、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

(x,y)???8e?(2x?4y) f,x?0,y?0，

?0,其他求（1）关于Y的边缘概率密度函数；（2）P(0?X?2,0?Y?3). 9、设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

f?1,0?x?1?e?y,y?0X(x)???0,其他，fY(y)??. ?0,其他 求（1）X,Y的联合概率密度；（2）随机变量Z?X?Y的概率密度.

23

试

10、一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知X和Y的联合分布函数为：

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0F(x,y)??

0,其他.?(1) 求联合概率密度f(x,y)； （2）求X和Y的边缘概率密度; (3) 判别X和Y是否相互独立.

11、设随机变量X与Y相互独立，X与Y的概率密度分别为

??e??x,x?0??e??x,,fY(y)?? fX(x)??x?0?0,?0, 试求M?max{X,Y}的概率密度。

y?0,其中??0,??0且???， y?012、设P{X?0}?P{Y?0}?P{X?1}?P{Y?1}?1，两个随机变量X，Y是相互独2立且同分布，求随机变量Z1?max(X,Y),Z2?X?Y的分布律.

13、设有5个产品，其中3件正品，2件次品，采用不放回的方式从中任意抽取两件，每次任取一件，并分别以X和Y表示第一次和第二次取到的次品数，求(X,Y)的联合分布律. 14、已知随机变量X,Y的分布律为

X P

Y P 0 1 -1 0 1 1 4 1 21 41 21 2且P(XY?0)?1,求X,Y的联合分布律。

第四章 随机变量的数字特征

一、选择题

x?0?0,?31、随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1, 则E(X)?( ).

?1,x?1? 24

(A)

??0xdx (B) ?3xdx (C) ?xdx (D) ?3x3dx

43000114?4?,0?x?1?22、设桃树的直径X的概率密度为f(x)???(1?x) 则E(X)?( ). ，?0,其他?(A)

ln2? (B) ln4 (C)

???32ln4? (D)

ln8 2?3、设 X 的概率密度函数为 f(x)??(x?4)3,x?0, Y?X?5，则 E(Y)?( ).

?0,其他. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

?2(1?x),0?x?1,34、某随机变量 X 的概率密度为 f(x)?? 则 E(X)?( ).

其他.?0, A. 1/18 B. 1/14 C. 1/10 D. 1/6 5、设X与Y为两个随机变量，则下列给出的四个式子那个是正确的( ). (A) E(X?Y)?E(X)?E(Y) (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y) (C) E(XY)?E(X)E(Y) (D) D(XY)?D(X)D(Y) 6、如果X,Y满足D(X?Y)?D?X?Y?，则必有 （ ）

（A）X与Y独立 （B）X与Y不相关 （C）DY?0 （D）DX?0 7、若随机变量X，Y相互独立，则 ( )

(A)D(XY)?D(X)?D(Y) (B) D(2X?Y)?2D(X)?D(Y) （C）D(3X?2Y)?9D(X)?4D(Y) （D）D(X?Y)?D(X)?D(Y) 8、若随机变量X和Y相互独立，则下列结论正确的是（ ）.

??Y?E（Y）???0 (B) E??X?E（X）??Y?E（Y）???0 (A) E??X?E（X） (C) 相关系数?XY?1 (D) 相关系数?XY?0 9、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则 ( )

(A)D(XY)?D(X)?D(Y) (B)D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X和Y独立 （D）X和Y不独立

10、设随机变量(X,Y)满足D(X)?4,D(Y)?1,相关系数?XY?0.6,则方差

25

D(2X?Y)?( )。

A.40 B.12.2 C.25.6 D.17.6

11、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间??1,3?和?2,5?上服从均匀分布，则E(XY)?（ ）。

A.3.5 B. 6 C.3 D. 12

12、设随机变量X，Y相互独立，且X~b(10,0.3),Y~b(10,0.4) (都是二项分布)，则

E[(X?2Y)2]?( )。

A.12.6 B.14.8 C.15.2 D.36.7

13、 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和向下的次数，则X和Y的相

关系数?等于（ ）

(A)?1． (B) 0． (C) 1/2． (D) 1． 14、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布,即

k?2P(X?k)?2ek!(k?0,1,2,?),

则随机变量Y?3X?2的数学期望为( ).

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

15、设X1,X2,X3都服从[0,2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)?( ). (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 2

16、设X,Y都服从区间[0,2]上的均匀分布,则X?Y的期望为( ). (A) 1 (B) 2 (C) 1.5 (D) 无法计算

17、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差为( ).

A. 8 B. 16 C. 28 D. 44

18、已知离散型随机变量X~B(n,p)，且EX?8，DX?4.8，则n?（ ） A.10 B.15 C.20 D.25 19、设X服从参数??3的泊松分布，则E(X)?（ ）.

A. 1 B. 9 C. 10 D. 12

226

20、设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数?XY?0.6, 则方差

D(3X?2Y)?( ).

（A）40 （B）34 （C）25.6 （D）17.6.

21、已知随机变量X服从二项分布，且有E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数

n,p的值为( ).

(A) n?4,p?0.6 (B) n?6,p?0.4 (C) n?8,p?0.3 (D) n?24,p?0.1

22、二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X?Y与X?Y不相关的充要条件为 （ ）

（A）EX?EY (B) EX?[EX]?EY?[EY]

22(C)EX?EY (D) EX?[EX]?EY?[EY]

2222222223、设5个灯泡的寿命Xi(i?1,则5个灯泡的平均寿命Y?,5)独立同分布，D(Xi)?b,(i?1,且E(Xi)?a，

,5)，

X1?X2?X3?X4?X5的方差D(Y)?（ ）

51(X1?X2?X3)，则3（A）5b （B）b （C）0.2b （D）0.04b 24、设X1,X2,X3相互独立同服从参数??3的泊松分布，令Y?E(Y2)?（ ）

（A）1 （B）9 （C）10 （D）6 二、填空题

4? 上服从均匀分布，Y 服1、设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，且 X 在 ?0，从参数为 0.5 的指数分布，则数学期望 E(XY)= _____________.

2、设随机变量X服从参数为5的泊松分布,Y?3X?2，则E(Y)?______. 3、设随机变量X服从均匀分布U(-3，4），则数学期望E(2X?1)=___________.

4、设X~b(20, 0.3)，则方差D(1?2X)=

5、设X~N(10,0.3),Y~N(1,4)，且X与Y相互独立，则D(2X?Y)? .

27

6、设随机变量X,Y相互独立，其中X服从0－1分布（p?0.6），Y服从泊松分布且

E(Y)?0.6,则D(X?Y)? .

7、若随机变量X，Y是相互独立，且D(X)?0.5，D(Y)?1，则D(3X?Y)? .

8、已知E(X)?1,E(Y)?2,D(X)?1,D(Y)?4,则其数学期望E(Z)? .

?XY?0.6，设Z?(2X?Y?1)2，

9、设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从[0,6]上的均匀分布，X2服从正态分布

N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，令Y?X1?2X2?3X3，则E(X)?____.

10、如果随机变量X的期望E(X)?2，E(X)?9，那么D(1?3X)? ． 11、X,Y服从相同分布N??,?2?，则E??aX?bY??aX?bY??? ． 2、设随机变量X~b(3,0.1)（二项分布），则Y?2X?1的数学期望为 . 13、设随机变量(X,Y)~N(0,0,1,4,0)，则D(2X?3Y)? .

14、 设方差D?X??4,D?Y??1, 相关系数?XY?0.6,则D?3X?2Y?? ． 15、X 与 Y 相互独立且都服从泊松分布 P(2)， 则方差 D(X?2Y)?___________. 16、设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X服从（0，2）上的均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，则D(X?2Y)?______.

17、已知E（X）=1，D（X）=3，则E（3X-2）=___________.

18、设随机变量X,Y相互独立，其中DX?1,DY?2,则D＝ ． （3X?2Y）19、设随机变量X服从上的均匀分布，则方差D(2X?1（0，3））? ． 20、已知离散型随机变量X～B(n,p),且E(X)?8,D(X)?4.8, 则n=_______。

2

2?8?,x?221、设X,Y相互独立，X和Y的概率密度分别为fX(x)??x3，

??0,其他?2y,0?y?1fY(y)??, 则E(XY)?______.

其他?0,

28

22、某商店经销商品的利润率X的概率密度为f(x)??______.

23、设随机变量(X,Y)的联合分布律为

?2(1?x),0?x?1则D(X)?，其他?0,(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 0.1 0.3

则Cov(X,Y)? 。

24、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?1??e?x2?2x?1,???x???；则

E(X)?______.

25、设 X 与 Y 相关系数为 0.8, 记 Z??2X?0.5, 则 Y 与 Z 相关系数为____. 26、现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元.今某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望是______. 三、解答题

1、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束．假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望． 2、已知随机变量X的概率分布律为

X -2 0.3 0 0.2 2 0.2 4 0.3 P Y?X2?1，求Y的分布律和数学期望E(Y).

3、一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5. 在其中同时任取3只，记X为取出的3只球的最大编号；试求(1)X的分布律；(2)X的期望.

4、设随机变量X的可能取值为?1,0,1,且取这三个值的概率之比为1:2:3，试求：(1)X的分布律； (2)X的期望.

5、一袋中装有4只球，编号为1，2，3，4.在袋中同时取2只，以X表示取出的2只球中

29

最小的号码，（1）写出随机变量X的分布律；（2）求X的方差D(X)。

6、设随机变量X的概率密度为f(x)???ax?b,0?x?1，已知E(X)?1，求系数a,b.

其它?0,?32?x,0?x?2,7、设X的概率密度为f(x)??8

??0,其他.试求：（1）X的分布函数； （2）数学期望E(X)

2?a?bx2,0?x?13，8、设随机变量X的概率密度为f(x)?? 已知E(X)?，试

5其他?0,求:(1)a和b的值； (2) D(X).

?ax?b ,1?x?2199、设随机变量X的概率密度为f(x)??，E?X??，试求：（１）

12其他 ?0 , 系数a,b的值；（2）方差D?X?。

?Axe?x,x?010、设随机变量X的概率密度为f(x)??，试求（1）系数A;（2）方差D(X) .

x?0?0,

11、设(X,Y)的联合分布律为

试求：（1）Y的边缘分布律；（2）E(Y)；（3）D(Y).

12、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径X服从[0,3]上的均匀分布，则求横截面积

2 Y -1 X 1 2 0.2 0.3 1 2 0.1 0.2 0.1 0.1 X2. Y的数学期望和方差，其中Y???413、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互

30

独立的，且概率都是

2，设X为途中遇到红灯的次数，求(1)X的分布律；(2)X的期望. 514、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量X,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算X和Y的分布律和数学期望. 15、设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个，随机变量X表示取到的白球数,试求：(1)、随机变量X的分布律； (2)、数学期望E(X)。

16、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差. 17、设 X 的概率密度

?3x，0?x?1,?f(x)??2 求：(1)

?0，其它.?P(X?0.25)；(2) E(X)； (3)

D(X).

?ax2?bx?c,0?x?1，已知18、设随机变量X的概率密度为f(x)??0,其他?E(X)?0.D5,X?(，求系数a,b,c. )四、综合题

?a?bx21、随机变量X的概率密度f(x)???0数F?x? ．

， 0?x?11，且E?X??，求a,b及分布函

，其它4?e?x,2、设随机变量X的概率密度为 f(x)???0,x?0x?0， 试求：（1）X的分布函数；（2）

（3）Y?e?X的数学期望。 Y?3X的概率密度函数；

?32?x,0?x?2,3、设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为 f(x)??8

?其他.?0,（1）已知事件A?{X?a}和B?{Y?a}独立，且P(A?B)?（2）求

3，求常数a; 41的数学期望。 X24、设随机变量X的概率密度函数为f(x)???Ax?1,0?x?2,求：(1)常数A；(2) X其他?0, 31

的分布函数；（3）方差D(X)。

x?1?1?e3， x?05、已知随机变量X的概率密度为fX(x)??3， 随机变量Y的概率密度

??0，x?0?6e?6y， y?0fY(x)??，且X,Y相互独立．试求

?0，y?0（1）、X,Y的联合密度函数f?x,y?；（2）P?X?Y?； （３）数学期望Ｅ（XY）.

?12y2,6、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)???0,0?y?x?1其他,

求（1）E(X),E(Y),E(XY)；（2）D(X),D(Y)；（3）相关系数?XY. 7、设随机变量X1，X2的概率密度分别为

?e?x, f1(x)???0,x?0?4e?4x,， f2(x)??x?0?0,x?0x?0

2求（1）E(X1?2X2)；（2）设X1，X2相互独立，求E(X1X2).

D?Y??4，Cov?X,Y??1，8、已知随机变量X和Y的方差为D?X??1，记U?X?2Y，

（1）D?U?、D?V?；（2）相关系数?UV。 V?2X?Y，试求：

9、一袋中有4张卡片，分别记为1,2,3,4，从中有放回地抽取出2张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

10、某射手有3发子弹，已知其射中某目标的概率为

1，规定只要射中目标或子弹打完就8立刻转移。记X为转移前射出的子弹数，试求：（1）X的分布律；（2）X的数学期望E(X).

第五、六、七章

1、设 X1,X2,,X10 为 N(0,0.2) 的一个样本，则数学期望 E(?Xi2)?( ).

2i?110 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

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1622、设X1,X2,?,X6是来自N(?,?)的样本，S??(Xi?X)2，则D(S)?( ).

5i?122 (A)?4 (B)?4 (C)?4 (D)?2

131525251n???(Xi?X)2，其中X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，则 3、设?ni?12?)?( ). 有E(? (A) ?2 (B) 4、设随机变量X2n?12nn?12? (C) ?2 (D) ? nn?1nN(0,1)，YN(0,2)，并且X与Y相互独立，下列哪个随机变量服从

?2(2)分布 ( ).

(A)(X?Y)2 (B)X2?1312112Y (C)(X?Y)2 (D)X2?Y2 223321105、已知总体X服从正态分布N(2,?)，则样本均值X?Xi服从（ ） ?10i?1222 (A) N(2,?) (B) N(2,10?) (C) N(20,?) (D) N(2,?210)

6、设随机变量X与Y互相独立，X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2), 从X得到样本

22X1,X2,,Xn1，从Y得到样本Y1,Y2,1n11n2,Yn2，X??Xi,Y??Yi，则有( ).

n1i?1n2i?1(A) X?Y~N(?1??2,???) (B) X?Y~N(?1??2,2122?2n1??2n2)

(C) X?Y~N(?1??2,?2n1?2?2n2) (D) X?Y~N(?1??2,?2n1??2n2)

7、样本容量为n时，样本方差S是总体方差?2的无偏估计量，这是因为（ ）

(A) ES?? (B) ES?222?2n2222 (C) S?? (D) S??

8、二项分布b(n,p)在n足够大，且p不太接近0或1时常用的近似分布为 ( ).

A. 指数分布 B. 均匀分布 C. t分布 D.正态分布

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二、填空题 1、若X1,X2,,Xn是正态总体N(?,?2)的容量为n的简单随机样本，则其均值

1nX??Xi服从______分布.

ni?12、设X1,X2,X3,X4相互独立且服从相同分布N（?,?),则X?服从分布 N(___,___)．

2X1?X2?X3?X4

41623、设X1,X2,?,X6是来自N(?,?)的样本，S??(xi?x)，则E（S2）? .

5i?1224、随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式，估计PX?E?X??2? ． 5、设随机变量Ｘ的E(X)、D(X)存在，则对任意的??0,根据切比雪夫不等式有

??P(X?E?X???)? ________ .

6、设X1,X2,X3,X4相互独立且服从相同分布?2?n?，则

X1?X2?X3~ ．

3X4n7、设总体X~N(2,3), X1,X2分布是 .

2,Xn为X的一个简单样本，则?i?1(Xi?2)232服从的

8、若X1,X2,,Xn1是正态总体N(?,?2)的容量为n的简单随机样本，则

?(Xi?1ni??)2

?2服从______分布. 9、设总体X～N(?,?), 则

21?2?(Xi?1n2i?X)服从 分布.

3610、设（X1,X2,?,X6）是来自正态分布N(0,1)的样本，Y?(?Xi?1i)?(?Xi)2

2i?4当c＝ 时， cY服从?分布.

2

11、测量铝的比重16次，设这16次测量结果可以看作一个正态分布N(?,?)样本,?未

22知，x?2.7，标准差s?0.03，则铝的比重均值?的置信水平为0.95置信区间

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为 ，其中t0.025(15)?2.1315. 三、解答题

1、设随机变量X代表某生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望

E?X??73，标准差??7．试用切比雪夫不等式估计概率P(52?X?94)．

2、设X1,X2,2,Xn是总体X的一个样本，若E(X)??,D(X)??2，样本方差

1nS?(Xi?X)2，试求E(S2)。 ?n?1i?13、已知总体X服从b(1,p)(二点分布)，X1,X2,?,Xn为总体X的样本，试求未知参数

p的最大似然估计．

4、设总体X服从正态分布N(0,?)，其中?2是未知参数，X1,X2,的一个简单随机样本，x1,x2,似然估计量.

5、设总体X的概率密度为

2,Xn是来自总体X,xn是相应的一个样本值，试求?2的极大似然估计值和极大

??x??1,0?x?1f(x)??

其它?0,其中??0是未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本， 求

1n?（1）?的矩阵估计量?；（2）判断X??Xi是否为?的无偏估计量.

ni?1 (3)求?的极大似然估计量。

6、设X服从正态分布N(?,?)，?和?2均未知参数，试求?和?2的最大似然估计量. 7、设X1,X2,及矩估计量.

8、设总体X的概率密度为

2,Xn是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本,试求?的最大似然估计量

?6x?(??x),0?x??f(x)???3, X1,X2,?0,其他?,Xn是取自总体X的简单随机样

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?； (2)求??的方差D(??). 本；(1)求?的矩估计量?9、设总体X的概率密度为

?2?(??x),0?x??f(x;?)???2,

?0,其他??. 假设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求?的矩估计量??(??1)x?,0?x?1,其中???1是未知参数，10、设总体X的概率密度为f(x)??其它?0,X1,X2,,Xn是来自总体X的一个简单随机样本，求?的极大似然估计量。

11、设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3 P p2 2 p(1-p) p2 1-2p

其中p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 . 12、设总体X的概率密度为

??c?x?(??1),x?cf(x;?)??,

0,x?c?其中c?0为已知，??1,?是未知参数，???x??.X1,X2,,Xn是来自总体X的一

?；(2)?的最大似然估计量??. 个容量为n的简单随机样本，求(1)?的矩估计量?13、X1,X2为来自总体X的样本，证明当a?b?1 时，aX1?bX2为总体均值E(X) 的无偏估计.

四、综合题 1、设X1,X2,1n,Xn是来自总体N（?，?）的一个样本，且X??Xi,

ni?121n2S?(Xi?X)2, 试求E（X）、D（X）、E（S）. ?n?1i?12 36

2、设X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，E(X)??,?2有效. ?1比??1?X,??2?X1是关于?的无偏估计，并且?D(X)??2.试证明?3、设总体X在[a,b]上服从均匀分布,其中a,b为未知参数,又x1,x2,?,xn为样本,求未知参数a,b的矩估计量.

?1,1?x????4、 设总体X服从均匀分布，其概率密度为f(x;?)?????1?0,判别??是否为?的无偏估计?

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，求?的矩估计量?，其他

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