数论之同余问题
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数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必
考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),
知识点拨:
三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等 于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2. 3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论: 若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除 用式子表示为:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b) 例如:20和8被自然数3除有相同的余数2。则20-8一定能被2整除
【模块:三大余数定理的应用】
【例 1】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据
同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两
数差的公约数.101?45?56,59?45?14,(56,14)?14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。
【巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
【解析】 (法1) 39?3?36,147?3?144,(36,144)?12,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小
于除数,这个数是4,6,12;
(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.51?39?12,147?39?108,(12,108)?12,所以这个数是4,6,12.
【巩固】 在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.
1~198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同, 而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数.
【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于
它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?
7a?m?19b?n【解析】 设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和n,则s?1.
根据题意可知a?m?b?n,所以s??a?m??s??b?n?,即16a?18b,得8a?9b.所以a是9
81的倍数,b是8的倍数.此时,由a?m?b?n知n?m?a?b?a?a?a.
99由于s为三位数,最小为100,最大为999,所以100?17a?m?999,而1?m?16,
所以17a?1?17a?m?999,100?17a?m?17a?16,得到5?a?58,而a是9的倍数,所以a最小为9,最大为54.
1当a?54时,n?m?a?6,而n?18,所以m?12,故此时s最大为17?54?12?930;
91当a?9时,n?m?a?1,由于m?1,所以此时s最小为17?9?1?154.
9所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.
【例 2】 两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a?b,求ab?ba.
(10b?a)?9?(a?b)ab?ba能被7整除,【解析】 即(10a?b)?能被7整除.所以只能有a?b?7,那么ab可能为92和81,验算可得当ab?92时,ba?29 满足题目要求,ab?ba?92?29?2668
【巩固】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,
那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?
【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34
的公约数,所求答案为17.
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数
是_________.
【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除.(392,686)?98,所以所求的最大整数是98.
【例 3】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________. 【解析】 找规律.用7除2,22,23,24,25,26,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2
的个数是3的倍数时,用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4.因为22003?23?667?2,所以22003除以7余4.又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1.故22003与20032的和除以7的余数是4?1?5.
【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数
的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.
【解析】 1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.
因为2?5?2?5?0?7,2?5?3?6?0?2?5?3?6?7?9,
?,?1998,2000,2003? , 所以这样的数组共有下面4个:?2000,2003?2000,2003? ,?1998,2000,2003?. ,2001,1995,2001,1995
【例 4】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数
之和是50,那么这个整数是______.
(70?110?160)?50?290,50?3?16......2,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能【解析】
是29和58,110?58?1......52,52?50,所以除数不是58.
70?29?2......12,110?29?3......23,160?29?5......15,12?23?15?50,所以除数是29
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为
25,那么n=________
【解析】 n能整除63?91?129?25?258.因为25?3?8...1,所以n是258大于8的约数.显然,n
不
能大于63.符合条件的只有43.
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码
的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,
1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。
【例 5】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、
26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》的定价是________元.
【解析】 六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以
他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1.易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(14?17?18?21?26)?3?32 (元) .
【巩固】 .
【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数.
(15?16?18?19?20?31)?(1?2)?119?3?39...2,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是
20 千克.
【例 6】 求2461?135?6047?11的余数. 11【解析】 因为246?1?22,3135?11?12...3,6047?11?549...8,根据同余定理(三),
2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数,而8?3?8?192, 192?11?17...5,所以2461?135?6047?11的余数为5.
【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478?296?351除以17的余数.
【解析】 先求出乘积再求余数,计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除
以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2?7?11)?17?9......1.
【巩固】 求31997的最后两位数.
【解析】 即考虑31997除以100的余数.由于100?4?25,由于33?27除以25余2,所以39除以25余8,
310除以25余24,那么320除以25余1;又因为32除以4余1,则320除以4余1;即320?1能被4
和25整除,而4与25互质,所以320?1能被100整除,即320除以100余1,由于
1997?20?99?17,所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数,而36?729除以100余
29,35?243除以100余43,317?(36)2?35,所以317除以100的余数等于29?29?43除以100的余数,而29?29?43?36163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63.
【巩固】 222?2除以13所得余数是_____. ?????2000个\2\【解析】 我们发现222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9。
【巩固】 求14389除以7的余数. 【解析】 法一:
由于143?3?mod7? (143被7除余3),
所以14389?389?mod7? (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)
而36?729,729?1?mod7?(729除以7的余数为1), 所以389?36?36?14个?36?35?35?5?mod7?.
故14389除以7的余数为5.
法二:
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表:
31 32 33 6 34 35 5 36 37 3 mod7 3 2 4 1 于是余数以6为周期变化.所以389?35?5?mod7?.
【巩固】 (2007年实验中学考题)12?22?32?【解析】 由于12?22?32??20012?2002除以7的余数是多少?
?20012?20022?2002?2003?4005而1001是7的倍数,?1001?2003?1335,
6?20012?20022除以7的余数是0;
所以这个乘积也是7的倍数,故12?22?32?
【巩固】 3130?3031被13除所得的余数是多少? 【解析】 31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,
12,8,1
时5n被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,
??以4为周期循环出现,所以530被13除的余数与52被13除的余数相同,余12,则3130除以13的余数为12;
30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,10,1,4,3,12,9,10,
时,4n被13除所得的余数分别是4,3,12,9,
以6为周期循环出现,所以431被13除所得的余数等于41被13
除所得的余数,即4,故3031除以13的余数为4; 所以3130?3031被13除所得的余数是12?4?13?3.
【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a?200820082008个2008??2008,问:a除以13所得的余数是多少?
【解析】 2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008?2008?10000?2008;
200820082008?20082008?10000?2008; 2008200820082008?200820082008?10000?2008;
根据这样的递推规律求出余数的变化规律:
20082008除以13余6?3?6?13?11,200820082008除以13余11?3?6?39?0,即200820082008是13的倍数.
而2008除以3余1,所以a?200820082008个20082008除以13的余数与2008除以13的余数相同,为6.
【巩固】 777???77除以41的余数是多少?
1996个7【解析】 找规律:7?41?□???7,77?41?□???36,777?41?□???39,7777?41?□???28,
77777?41?□???0,……,所以77777是41的倍数,而1996?5?3991,所以777???77可以分
1996个7成399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7.
11?22?33?44?【巩固】
?20052005除以10所得的余数为多少?
【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,
而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的. 首先计算11?22?33?44??2020的个位数字,
为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字,为4,
由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0,另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005,它们和的个位数字是1?4?7?6?5?23的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3.
【例 7】 求所有的质数P,使得4p2?1与6p2?1也是质数.
【解析】 如果p?5,则4p2?1?101,6p2?1?151都是质数,所以5符合题意.如果P不等于5,那么P
除以5的余数为1、2、3或者4,p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况.如果p2除以5的余数为1,那么4p2?1除以5的余数等于4?1?1?5除以5的余数,为0,即此时4p2?1被5整除,而4p2?1大于5,所以此时4p2?1不是质数;如果p2除以5的余数为4,同理可知6p2?1不是质数,所以P不等于5,4p2?1与6p2?1至少有一个不是质数,所以只有p?5满足条件.
【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上89~98这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所
得的余数都是3.
【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于
因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 两个数分别除以11的余数之积.因此原题中的89~98
可以改换为1~10,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了.我们得到下面的结果:
进而得到本题的答案是:
因数 因数
【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式abc?bca?cab?234235286 (其中a?b?c),
在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的abc是多少?
【解析】 由于234235286?2?3?4?2?3?5?2?8?6?8(mod9),abc?bca?cab?(a?b?c)3(mod9),
于是(a?b?c)3?8(mod9),从而(用a?b?c?0,1,2,...,8(mod9)代入上式检验)
a?b?c?2,5,8(mod9)…(1),对a进行讨论:
因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 如果a?9,那么b?c?2,5,8(mod9)…(2),又c?a?b的个位数字是6,所以b?c的个位数字为4,b?c可能为4?1、7?2、8?3、6?4,其中只有(b,c)?(4,1),(8,3)符合(2),经检验只有983?839?398?328245326 符合题意.
4?3、如果a?8,那么b?c?3,6,0(mod9)…(3),又b?c的个位数字为2或7,则b?c可能为2?1、6?2、7?6、7?1,其中只有(b,c)?(2,1)符合(3),经检验,abc?821不合题意.
如果a?7,那么b?c?4,7,1(mod9)…(4),则b?c可能为4?2、6?3,其中没有符合(4)的(b,c). 如果a?6,那么b?5,c?4,abc?bca?cab?700?600?500?210000000?222334586,因此这时abc不可能符合题意.综上所述,abc?983是本题唯一的解.
【例 8】 一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为a,a?2,a?5,则这个自然数是多少? 【解析】 根据题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数(都为a).
既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然数是290?233?57的约数,又是233?195?38的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19.
【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余
数,则这个自然数是多少?
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90?164?254后所得的余
数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是254?220?34的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件;如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是17.
【例 9】 甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少?
【解析】 根据题意,这三个数除以A都有余数,则可以用带余除法的形式将它们表示出来:
603?A?K1r1 939?A?K2r2 393?A?K3r3
由于r1?2r2,r2?2r3,要消去余数r1, r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减. 这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4. 于是我们可以得到下面的式子:603?A?K1r1 ?939?2??A?2K22r2
?393?4??A?2K3最后两两相减消去余数,意味着能被A整除. 4r3这样余数就处理成相同的.
939?2?603?1275,393?4?603?969,?1275,969??51?3?17.
51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足,检验17和51可知17满足,所以A等于17.
【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a,求这个自然数和a的值. 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数:?429?5??2?848,791、500?2?1000,这样
这些数被这个自然数除所得的余数都是2a,故同余.
将这三个数相减,得到848?791?57、1000?848?152,所求的自然数一定是57和152的公约数,而?57,152??19,所以这个自然数是19的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是19时,除429、791、500所得的余数分别为11、12、6,a?6时成立,所以这个自然数是19,a?6.
课后练习:
练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和
等
于415,则被除数是_______.
【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍,所以根据和倍问题可知,除数为
(415?4?8?8)?(4?1)?79,所以,被除数为79?4?8?324
练习2. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个
数,
甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________.
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