数论之同余问题

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必

考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），

知识点拨：

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则20-8一定能被2整除

【模块：三大余数定理的应用】

【例 1】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据

同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两

数差的公约数．101?45?56，59?45?14，(56,14)?14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】 (法1) 39?3?36，147?3?144，(36,144)?12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小

于除数，这个数是4,6,12；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51?39?12，147?39?108，(12,108)?12，所以这个数是4,6,12．

【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同， 而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于

它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

7a?m?19b?n【解析】 设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则s?1．

根据题意可知a?m?b?n，所以s??a?m??s??b?n?，即16a?18b，得8a?9b．所以a是9

81的倍数，b是8的倍数．此时，由a?m?b?n知n?m?a?b?a?a?a．

99由于s为三位数，最小为100，最大为999，所以100?17a?m?999，而1?m?16，

所以17a?1?17a?m?999，100?17a?m?17a?16，得到5?a?58，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54．

1当a?54时，n?m?a?6，而n?18，所以m?12，故此时s最大为17?54?12?930；

91当a?9时，n?m?a?1，由于m?1，所以此时s最小为17?9?1?154．

9所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．

【例 2】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a?b，求ab?ba．

（10b?a)?9?（a?b）ab?ba能被7整除，【解析】 即(10a?b)?能被7整除．所以只能有a?b?7，那么ab可能为92和81，验算可得当ab?92时，ba?29 满足题目要求，ab?ba?92?29?2668

【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34

的公约数，所求答案为17．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数

是_________．

【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686，

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)?98，所以所求的最大整数是98．

【例 3】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________． 【解析】 找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003?23?667?2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4?1?5．

【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数

的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．

因为2?5?2?5?0?7，2?5?3?6?0?2?5?3?6?7?9，

?，?1998,2000,2003? ， 所以这样的数组共有下面4个：?2000,2003?2000,2003? ，?1998,2000,2003?． ,2001,1995,2001,1995

【例 4】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数

之和是50，那么这个整数是______．

(70?110?160)?50?290，50?3?16......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能【解析】

是29和58，110?58?1......52，52?50，所以除数不是58．

70?29?2......12，110?29?3......23，160?29?5......15，12?23?15?50，所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为

25，那么n=________

【解析】 n能整除63?91?129?25?258．因为25?3?8...1，所以n是258大于8的约数．显然，n

不

能大于63．符合条件的只有43．

【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码

的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，

1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。

【例 5】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、

26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．

【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以

他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(14?17?18?21?26)?3?32 (元) ．

【巩固】 ．

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．

(15?16?18?19?20?31)?(1?2)?119?3?39...2，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是

20 千克．

【例 6】 求2461?135?6047?11的余数． 11【解析】 因为246?1?22，3135?11?12...3，6047?11?549...8，根据同余定理(三)，

2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数，而8?3?8?192， 192?11?17...5，所以2461?135?6047?11的余数为5．

【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478?296?351除以17的余数．

【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2?7?11)?17?9......1．

【巩固】 求31997的最后两位数．

【解析】 即考虑31997除以100的余数．由于100?4?25，由于33?27除以25余2，所以39除以25余8，

310除以25余24，那么320除以25余1；又因为32除以4余1，则320除以4余1；即320?1能被4

和25整除，而4与25互质，所以320?1能被100整除，即320除以100余1，由于

1997?20?99?17，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36?729除以100余

29，35?243除以100余43，317?(36)2?35，所以317除以100的余数等于29?29?43除以100的余数，而29?29?43?36163除以100余63，所以31997除以100余63，即31997的最后两位数为63．

【巩固】 222?2除以13所得余数是_____. ?????2000个\2\【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求14389除以7的余数． 【解析】 法一：

由于143?3?mod7? (143被7除余3)，

所以14389?389?mod7? (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)

而36?729，729?1?mod7?（729除以7的余数为1）， 所以389?36?36?14个?36?35?35?5?mod7?．

故14389除以7的余数为5.

法二：

计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

31 32 33 6 34 35 5 36 37 3 mod7 3 2 4 1 于是余数以6为周期变化．所以389?35?5?mod7?．

【巩固】 （2007年实验中学考题）12?22?32?【解析】 由于12?22?32??20012?2002除以7的余数是多少？

?20012?20022?2002?2003?4005而1001是7的倍数，?1001?2003?1335，

6?20012?20022除以7的余数是0；

所以这个乘积也是7的倍数，故12?22?32?

【巩固】 3130?3031被13除所得的余数是多少？ 【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，

12，8，1

时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，

??以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，10，1，4，3，12，9，10，

时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，

以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13

除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4； 所以3130?3031被13除所得的余数是12?4?13?3．

【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a?200820082008个2008??2008，问：a除以13所得的余数是多少？

【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到20082008?2008?10000?2008；

200820082008?20082008?10000?2008； 2008200820082008?200820082008?10000?2008；

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

20082008除以13余6?3?6?13?11，200820082008除以13余11?3?6?39?0，即200820082008是13的倍数．

而2008除以3余1，所以a?200820082008个20082008除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

【巩固】 777???77除以41的余数是多少？

1996个7【解析】 找规律：7?41?□???7，77?41?□???36，777?41?□???39，7777?41?□???28，

77777?41?□???0，……，所以77777是41的倍数，而1996?5?3991，所以777???77可以分

1996个7成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．

11?22?33?44?【巩固】

?20052005除以10所得的余数为多少？

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，

而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的． 首先计算11?22?33?44??2020的个位数字，

为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字，为4，

由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1?4?7?6?5?23的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【例 7】 求所有的质数P，使得4p2?1与6p2?1也是质数．

【解析】 如果p?5，则4p2?1?101，6p2?1?151都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P

除以5的余数为1、2、3或者4，p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果p2除以5的余数为1，那么4p2?1除以5的余数等于4?1?1?5除以5的余数，为0，即此时4p2?1被5整除，而4p2?1大于5，所以此时4p2?1不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知6p2?1不是质数，所以P不等于5，4p2?1与6p2?1至少有一个不是质数，所以只有p?5满足条件．

【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所

得的余数都是3．

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于

因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的89～98

可以改换为1～10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：

进而得到本题的答案是：

因数 因数

【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式abc?bca?cab?234235286 (其中a?b?c)，

在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？

【解析】 由于234235286?2?3?4?2?3?5?2?8?6?8(mod9)，abc?bca?cab?(a?b?c)3(mod9)，

于是(a?b?c)3?8(mod9)，从而(用a?b?c?0,1,2,...,8(mod9)代入上式检验)

a?b?c?2,5,8(mod9)…(1)，对a进行讨论：

因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 如果a?9，那么b?c?2,5,8(mod9)…(2)，又c?a?b的个位数字是6，所以b?c的个位数字为4，b?c可能为4?1、7?2、8?3、6?4，其中只有(b,c)?(4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有983?839?398?328245326 符合题意．

4?3、如果a?8，那么b?c?3,6,0(mod9)…(3)，又b?c的个位数字为2或7，则b?c可能为2?1、6?2、7?6、7?1，其中只有(b,c)?(2,1)符合(3)，经检验，abc?821不合题意．

如果a?7，那么b?c?4,7,1(mod9)…(4)，则b?c可能为4?2、6?3，其中没有符合(4)的(b,c)． 如果a?6，那么b?5，c?4，abc?bca?cab?700?600?500?210000000?222334586，因此这时abc不可能符合题意．综上所述，abc?983是本题唯一的解．

【例 8】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a?2，a?5，则这个自然数是多少？ 【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．

既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是290?233?57的约数，又是233?195?38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．

【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余

数，则这个自然数是多少？

【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90?164?254后所得的余

数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254?220?34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．

【例 9】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？

【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

603?A?K1r1 939?A?K2r2 393?A?K3r3

由于r1?2r2，r2?2r3，要消去余数r1, r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子：603?A?K1r1 ?939?2??A?2K22r2

?393?4??A?2K3最后两两相减消去余数，意味着能被A整除． 4r3这样余数就处理成相同的．

939?2?603?1275，393?4?603?969，?1275,969??51?3?17．

51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．

【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值. 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：?429?5??2?848，791、500?2?1000，这样

这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.

将这三个数相减，得到848?791?57、1000?848?152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而?57,152??19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a?6时成立,所以这个自然数是19，a?6.

课后练习：

练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和

等

于415，则被除数是_______．

【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为

（415?4?8?8）?（4?1）?79，所以，被除数为79?4?8?324

练习2. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个

数，

甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aa1f.html